2018年度全国统一高考~数学试卷~(理科)(新课标ⅱ)【史上最全解析】.doc

.2018 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） =（ ）A i B C D2 （5 分）已知集合 A=（x，y ）|x 2+y23，x Z，yZ ） ，则 A 中元素的个数为（ ）A9 B8 C5 D43 （5 分）函数 f（x ）= 的图象大致为（ ）A B CD4 （5 分）已知向量 ， 满足| |=1， =1，则 （2 ）=（ ）A4 B3 C2 D05 （5 分）双曲线 =1（a 0，b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= ± xBy=± xCy=± x Dy=± x.6 （5 分）在ABC 中， cos = ，BC=1，AC=5 ，则 AB=（ ）A4 B C D27 （5 分）为计算 S=1 + + ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）Ai=i +1 Bi=i+2 Ci=i +3Di=i +48 （5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）A B C D9 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1 ，AA 1= ，则异面直线 AD1 与DB1 所成角的余弦值为（ ）A B C D10 （5 分）若 f（x ）=cosxsinx 在 a，a 是减函数，则 a 的最大值是（ ）A B C D.11 （5 分）已知 f（x ）是定义域为（ ，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ）A 50 B0 C2 D5012 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C： =1（ab 0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2 为等腰三角形，F 1F2P=120°，则 C 的离心率为（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 15 （5 分）已知 sin+cos=l，cos +sin=0，则 sin（+）= 16 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若 SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根要求作答。 （一)必考题：共 60 分。17 （12 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，已知 a1=7，S 3=15（1）求a n的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn 的最小值18 （12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1，2 ，17）建立模型： =30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2 ， ，7）建立模型： =99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB |=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程20 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x ）1；（2）若 f（x）在（0，+ ）只有一个零点，求 a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（ 1，2） ，求 l 的斜率选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围.2018 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） =（ ）A i B C D【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解： = = + 故选：D【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查2 （5 分）已知集合 A=（x，y ）|x 2+y23，x Z，yZ ） ，则 A 中元素的个数为（ ）A9 B8 C5 D4【分析】分别令 x=1，0， 1，进行求解即可【解答】解：当 x=1 时， y22，得 y=1，0，1，当 x=0 时，y 23，得 y=1，0，1，当 x=1 时，y 22，得 y=1，0，1，即集合 A 中元素有 9 个，故选：A【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键3 （5 分）函数 f（x ）= 的图象大致为（ ）.A B CD【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数 f（x）= = =f（ x） ，则函数 f（x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，当 x=1 时，f（1）=e 0，排除 D当 x+时， f（x）+ ，排除 C，故选：B【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键4 （5 分）已知向量 ， 满足| |=1， =1，则 （2 ）=（ ）A4 B3 C2 D0【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =1，则 （2 ）=2 =2+1=3，故选：B.【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5 （5 分）双曲线 =1（a 0，b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= ± xBy=± xCy=± x Dy=± x【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为 e= = ，则 = = = = = ，即双曲线的渐近线方程为 y=± x=± x，故选：A【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键6 （5 分）在ABC 中， cos = ，BC=1，AC=5 ，则 AB=（ ）A4 B C D2【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC 中，cos = ，cosC=2× = ，BC=1，AC=5 ，则 AB= = = =4 故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力7 （5 分）为计算 S=1 + + ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）.Ai=i +1 Bi=i+2 Ci=i +3Di=i +4【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=NT，由此知空白处应填入的条件【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=NT=（1 ）+（ ）+ +（ ） ；累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2故选：B【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题8 （5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）A B C D【分析】利用列举法先求出不超过 30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可.【解答】解：在不超过 30 的素数中有，2，3 ，5 ，7，11 ，13，17 ，19 ，23，29 共 10 个，从中选 2 个不同的数有 =45 种，和等于 30 的有（7，23） ， （11，19） ， （13 ，17） ，共 3 种，则对应的概率 P= = ，故选：C【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过 30 的素数是解决本题的关键9 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1 ，AA 1= ，则异面直线 AD1 与DB1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1= ，A（1，0 ， 0） ，D 1（0，0， ） ，D（0，0，0） ，B1（1 ，1 ， ） ，=（ 1，0， ） ， =（1，1， ） ，设异面直线 AD1 与 DB1 所成角为 ，则 cos= = = ，异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 故选：C