2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析试题.docx

人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E若，则的值（ ）A2：3B4：9C2：5D4：252、如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（ ）A4：1BCD2：13、如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF交于点H下列结论：CF2AE；DFPBPH；DP2PHPC；PE：BC（23）：3正确的有（）A1个B2个C3个D4个4、如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（）ABCD5、下列四个命题中正确的是（ ）A菱形都相似；B等腰三角形都相似；C两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形相似；D两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形相似6、如图，BC2，则AB的长为（ ）A6B5C4D37、如图，P是直角ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线可以作（）A4条B3条C2条D1条8、如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，：的值为（ ）ABCD9、在小孔成像问题中，如图所示，若点O到的距离是，点O到的距离是，则像的长与物体长的比是（ ）ABCD10、下面两个图形中一定相似的是（ ）A两个长方形B两个等腰三角形C有一组对应角是的两个直角三角形D两个菱形 第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在ABCD中，E是AD上一点，连接BE、AC相交于F，则下列结论：；，正确的是 _2、如图，已知四边形内接于，半径，对角线AC、BD交于E点，且，则_3、如图，以点O为位似中心，将OAB放大后得到OCD，若OA3，AC7，则_4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _5、如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作ACAB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（2，1），（3，1），（1）以点O为位似中心，将OAB放大为原来的两倍，画出图形；（2）A点的对应点A'的坐标是 ；B点的对应点B的坐标是 ；（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P的坐标是 2、在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DEBC交AC于点E，点F在BC边上，连接DF，EF（1）如图1，当DF是BDE的平分线时，若AE2，求EF的长；（2）如图2，当DFDE时，设AEa，则EF的长为 （用含a的式子表示）3、已知：如图，ABC为锐角三角形（1）求作菱形AEDF，使得A为菱形的一个内角，点D，E，F分别边BC，AB，AC上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=AC=10，BC=8求菱形AEDF的面积4、如图，在RtABC中，C90°，BC4，A60°，四边形DEFG是ABC的内接矩形，顶点D、G分别在边AC、BC上，点E、F在边AB上，设AEx，DGy（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当矩形DEFG的面积S取得最大值时，求CDG与BFG的相似比5、（1）基本模型：如图1，与交于点，且，求证：；（2）模型应用：如图2，在中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，连接，若，求的值（3）综合应用：在（2）的条件下，若，平分，求的长 -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】由题意易得，然后根据相似三角形的性质可求解【详解】解：DEBC，；故选D【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键2、B【解析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得【详解】根据条件可知：矩形AEFB矩形ABCD，E为AD中点，原矩形纸片长与宽的比为故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键3、D【解析】【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论【详解】解：BPC是等边三角形，BPPCBC，PBCPCBBPC60°，在正方形ABCD中，ABBCCD，AADCBCD90°，ABEDCF30°，BE2AE，ADBC，FEPPBC，EFPPCB，EPFBPC，FEPEFPEPF60°，EFP是等边三角形，BECF，CF2AE，故正确；PCCD，PCD30°，PDC75°，FDP15°，DBA45°，PBD15°，FDPPBD，DFPBPC60°，DFPBPH，故正确；PDHPCD30°，DPHDPC，DPHCPD，DP2PHPC，故正确；ABE30°，A90°，AEABBC，DCF30°，DFDCBC，EFAE+DFBCBCBC，FE：BC（23）：3，EFPE，PE：BC（23）：3，故正确，综上，四个选项都正确，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理4、C【解析】【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题【详解】解：根据勾股定理，AC，BC，所以，夹直角的两边的比为2，观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似故选：C【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键5、C【解析】【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答【详解】解：A、菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，本选项说法错误；B、等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误；C、两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形相似，故本选项正确；D、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误故选：C【点睛】本题考查了命题与定理的知识，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键6、C【解析】【分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解答案【详解】解：且， ， ， 故选：C【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键7、B【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案【详解】解：如图，过点P可作PEBC或PEAC，APEABC、PBEABC；过点P还可作PEAB，可得：EPAC90°，AAAPEACB；满足这样条件的直线的作法共有3种故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理从是解题的关键8、C【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为a，关键黄金分割点的性质得到和，用a表示出、和的面积，再求比例【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，点E是AB上的黄金分割点，故选C【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质9、B【解析】【分析】由题意可知与是相似三角形，相似比为1：3，故CD：AB=1：3【详解】由小孔成像的定义与原理可知与高的比为6：18=1：3与相似比为1：3CD：AB=1：3故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比10、C【解析】【分析】根据相似图形定义，相似三角形的判定定理逐项判断即可求解【详解】解：A、因为长方形的大小，形状不确定，所以两个长方形不一定相似，故本选项不符合题意；B、因为等腰三角形的大小，形状不确定，所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意；C、因为直角相等，所以有一组对应角是的两个直角三角形中有两对相等的角，所以有一组对应角是的两个直角三角形一定相似，故本选项符合题意；D、因为两个菱形的大小，形状不确定，所以两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了相似图形定义，相似三角形的判定定理，熟练掌握形状相同的图形是相似图形是解题的关键二、填空题1、【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据，即可求得，进而判断，根据三角形的面积和平行四边形的面积可得，分别用表示出与 ，进而求得其比值【详解】解：四边形是平行四边形，则不正确，正确；过点作设平行四边形，边上的高为，故正确故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键2、【解析】【分析】连接BO并延长交AD于点F，连接OD，然后根据三角形的相似可以求得CD的长，然后根据勾股定理可以求得AD的长【详解】解：连接BO交AD于点F，连接OD，BABD，OAOD，BF是线段AD的垂直平分线，BFAD，AC是O的直径，ADC90°，即ADDC，BFCD，BOEDCE，AO6，EC2，OB6，OC6，OE4，解得，CD3，在RtADC中，ADC90°，AC12，CD3，AD，故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答3、【解析】【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可【详解】解：以点为位似中心，放大后得到，故答案为：【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质4、5【解析】【分析】因为DGEF2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI1，可证GDICDG，从而得出GICG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在RtDEF中，G是EF的中点，DG，点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI1，连接GI，GDICDG，GDICDG，IG，BG+BG+IGBI，当B、G、I共线时，BG+CG最小BI，在RtBCI中，CI3，BC4，BI5，故答案是：5【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键5、【解析】【分析】连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，则点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴，轴于点，则当时，最小，再利用相似三角形的判定和性质，结合勾股定理解答即可【详解】如图：过点作于点，连接，为中点，点在线段的垂直平分线上作线段的垂直平分线交轴，轴于点，当，最小连接，则（，4），设，则，即，（，）在中当时， 最小故答案为：【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，点到直线的距离，勾股定理等知识，能够综合熟练运用这些性质和判定是解题关键三、解答题1、（1）图见解析；（2）或，或；（3）或【解析】【分析】（1）分放大后的图形在左侧，放大后的图形在右侧两种情况，先分别将点的横纵坐标乘以2或得到点，再顺次连接点即可得；（2）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得；（3）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得【详解】解：（1）当放大后的图形在左侧时，画图如下：当放大后的图形在右侧时，画图如下：（2），或，即或，故答案为：或，或；（3），或，故答案为：或【点睛】本题考查了画位似图形、点坐标与位似图形，正确分两种情况讨论是解题关键2、（1）EF=2（2）【解析】【分析】（1）根据DEBC证明ADE是等边三角形，再根据D是AB中点，可证明BFD是等边三角形，在证明DEF是等边三角形，从而求得EF=2,（2）过点A作AM垂直BC于点M，可证DBFABM,由相似可求出DF=，在利用勾股定理即可求出EF【详解】解：（1）ABC是等边三角形，A=B=C=60°，DEBC，ADE=ABC=60°，A=ADE=60°，ADE是等边三角形，AD=DE=2,D是AB中点，BD=AD=2，DF平分BDE，BDF=EDF=BDE=（180°-60°）=60°，又B=60°，BFD是等边三角形，DF=BD=2,DF=DE=2,EDF=60°，DEF是等边三角形，EF=DE=DF=2;（2）过点A作AM垂直BC于点M，DEBC，DFDE，BFD=FDE=90°，DFB=AMB=90°，又B=B，DBFABM,D为AB中点，,DF=AM，AM是等边三角形BC边上的高，M是BC的中点， BM=BC=a，AM=，DF=AM=，在中，EF=【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本题的关键3、（1）见解析；（2）421【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分和菱形的对角线平分内角进行作图即可；（2）先根据菱形的性质和三线合一定理得到ADBC，BD=CD=12BC=4，即可利用勾股定理求出AD的长，然后证明AEOABD，得到EOBD=AOAD=12，求出EO=12BD=2则EF=4，再根据S菱形AEDF=12ADEF求解即可【详解】解：（1）如图所示，菱形AEDF为所作（2）四边形AEDF是菱形，AD是BAC的平分线，AO=DO，ADEF，EF=2EO，又AB=AC，ADBC，BD=CD=12BC=4，在RtABD中，AD=AB2-BD2=102-42=221，EFAD，AOE=ADB=90°，又EAO=BAD， AEOABD，EOBD=AOAD=12，EO=12BD=2EF=4，S菱形AEDF=12ADEF=421【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，尺规作图作角平分线，作线段垂直平分线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解4、（1）y84x；（2）233【解析】【分析】（1）依据RtABC中，C=90°,BC=43,A=60°，即可得到AC=4，AD=2AE=2x，DC=12DG=12y，再根据CD=AC-AD，可得12y=4-2x，进而得出y与x之间的函数关系式；（2）依据S=DE×DG=3x×(8-4x)=-43(x-1)2+43，可得当x=1时，S最大=43，再根据DCGGFB，即可得到DGGB=423=233，进而得出CDG与BFG的相似比【详解】解：（1）RtABC中，C90°，BC4，A60°，AC4，AD2AE2x，DC=12DG=12y，CDACAD，12y=4-2x，即y与x之间的函数关系式为y84x；（2）DEAEx，SDE×DGx×（84x）4（x1）2+4，当x1时，S最大4，此时，GFDE，BG2GF2，DG844，CBFG90°，DGCB，DCGGFB，DGGB=423=233，CDG与BFG的相似比为233【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键5、（1）见解析；（2）；（3）53【解析】【分析】（1）由ABCD，可得A=D，B=C，即可证明AOBDOC；（2）如图所示，过点C作CFAB交AD延长线于F，先证明ABDFCD得到ABFC=BDCD，由BAD=CED，得到F=CED，则CE=CF，即可推出ABCE=BDCD=12；（3）如图所示，延长CE交AB于G，过点C作CHAF于H，由三线合一定理可得CGAB，AB=2AG，然后证明ECF=90°，设AG=AE=x，则AB=2x，CF=CE=4x，则CG=CE+GE=5x，先求出EF=CE2+CF2=42x，从而得到CH=EH=FH=12EF=22x，在直角ACG中AC2=AG2+CG2，则13=x2+25x2，求出x=22，然后求出DH=CD2-CH2=43，AE=AG2+GE2=1，即可得到AD=AE+DE=53【详解】解：（1）ABCD，A=D，B=C，AOBDOC；（2）如图所示，过点C作CFAB交AD延长线于F，CFAB，BAD=F，B=FCD，ABDFCD，ABFC=BDCD，又BAD=CED，F=CED，CE=CF，ABCE=BDCD=12；（3）如图所示，延长CE交AB于G，过点C作CHAF于H，AC=BC，CE平分ACB，CGAB，AB=2AG，BAD=45°，AEG=45°，F=CED=45°，ECF=90°，设AG=AE=x，则AB=2x，CF=CE=4x，CG=CE+GE=5x，CHEF，CH=EH=FH=12EF，EF=CE2+CF2=42x，CH=EH=FH=12EF=22x，在直角ACG中AC2=AG2+CG2，13=x2+25x2，x=22，EH=CH=2，BDCD=12，CD=23BC=23AC=2133，DH=CD2-CH2=43，ED=EH-DH=23，又AE=AG2+GE2=1，AD=AE+DE=53【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解