2021年高考数学一轮复习专题二函数的概念及其基本性质苏教版.doc

专题二 函数的概念及其基本性质【命题趋势探秘】命题规律考查内容函数的概念函数的图象函数的性质考查热度考查题型和分值填空题5分填空题5分填空题5分考纲要求B级B级B级命题趋势 1. 高考主要考查二次函数、指数函数、对数函数等几种常见函数为主，属于中低档题；2. 高考主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性等；【高频考点聚焦】考点1 函数的概念及其表示【基础知识梳理】1函数的概念：设A、B是       的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有        确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 3函数的三要素是：       、       、       .如果两个函数的定义域       ，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.4函数的三种表示方法：       、       、       .5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数【参考答案】非空； 惟一；定义域；值域；定义域、对应关系、值域；相同； 解析法、图象法、列表法；并集；并集【核心考点讲练】题型一：函数的定义域【典例1】（1）（2014·山东卷）函数的定义域为       .【解析】要使函数有意义，则或 或【答案】 或【技巧点拨】求出使分式、根式有意义的的取值范围即可（1）函数的定义域应使每个含有自变量的式子有意义（2）若的定义域为，求的定义域，即解不等式；若的定义域为，求的定义域，即求在上的值域（2）（扬州市2015届一模）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是【答案】【解析】由于f（x）的值域为R，则知22+a2+a2，整理有a2a20，解得a1或a2【技巧点拨】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域根据条件借助于图象可得22+a2+a2，解一元二次不等式求解【典例2】（2014·江西卷）已知函数，若，则       .【解析】， 【答案】【技巧点拨】（1）求类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，则必须依据条件准确地确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值 （2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围专题热点集训1 函数的概念及其表示（时间：10分钟）1（2014·江西卷） 函数的定义域为 2（常州市·2015届一模）函数的定义域为 3（苏州市·2015届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为 4（泰州市·2015届一模）函数的定义域为 5（常州市2015届一模）已知函数，则函数的值域为 6（2014·浙江卷）设函数，若，则_参考答案与解析1【答案】或，故2【答案】3【答案】4【答案】5【答案】【解析】由题可得y=f（x1）=|2x12|，x（0，3），结合对应的图象可知当x=2时，取得最小值为0，而f（3）=|2312|=2，故对应函数的值域为0，2）【易错警示】注意函数图象的数形结合应用，这里综合指数函数的图象以及绝对值的含义，同时涉及给定的区间，以及函数在取得最值时的条件等，否则容易出错6【答案】设，则若，则，此时不成立若，由得，即，解得或，即或若，则，此时不成立或，即，解得若，由得，此时无解由得，此时无解，综上：，故为：考点2 函数的单调性、奇偶性、周期性【基础知识梳理】1函数单调性的证明方法：(1)定义法：设，那么上是增函数；上是减函数.步骤：       . 格式：解：设且，则：=(2)导数法：设函数在某个区间内可导，若     ，则为增函数；若     ，则为减函数.2函数的奇偶性(1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有     ，那么就称函数为     .偶函数图象关于轴对称.（2）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有     ，那么就称函数为     .奇函数图象关于原点对称.3函数的周期性周期函数的最小周期必须满足下列两个条件：(1)当取定义域内的每一个值时，都有；（2）是不为零的最小正数【参考答案】取值作差变形定号判断；偶函数；奇函数【核心考点讲练】题型一：函数的单调性【典例1】（1）（镇江市2015届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为 【答案】【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维【解析】当x<0时，x>0，则f（x）=f（x）=（x）ln（x）=xln（x），则f（x）=，当x>0时，f（x）=lnx+1，令f（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f（x）<0；当x>时，f（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+）上递增，当x=时取得极小值f（）=>e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<e在（0，+）上无解，而当x<0时，由于f（e）=elne=e，则不等式f（x）<e= f（e），可得x<e（2）(2014·郑州模拟)函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.【答案】6.【解析】易知f(x)在a，b上为减函数，.【技巧点拔】函数单调性应用问题的常见类型有：(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值题型二：函数的奇偶性【典例2】（2014·新课标全国卷） 设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A是偶函数 B是奇函数C是奇函数D是奇函数【解析】设，则，是奇函数，是偶函数，为奇函数，选C【答案】C【技巧点拔】（1）判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数是非奇非偶函数若对称，再进一步判断是否满足或“函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要但不充分条件（2）若函数是奇（偶）函数，则对定义域内的每一个，均有（）,而不能说存在使（）题型三：函数的周期性【典例3】（2014·安徽文）若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式，则【解析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可由题易知【答案】【技巧点拔】充分利用函数的奇偶性以及函数的周期性化简，注意代入分段函数计算的准确性专题热点集训2 函数的单调性、奇偶性、周期性（时间：10分钟）1（2014·新课标全国卷） 已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_2（2014·福建卷） 已知函数则下列结论正确的是（）A是偶函数B是增函数C是周期函数 D的值域为3（泰州市2015届一模）已知函数是奇函数，则 4（淮、宿、连、徐四市2015届一模）已知 是定义在R上的奇函数，当 时，则的值为_5（南通市2015届一模）已知是上的奇函数，且时，则不等式的解集为 6（南京市、盐城市2015届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，函数 如果对于，使得，则实数的取值范围是 7（2014·安徽卷）设函数满足当时，则 8（2014·四川卷） 设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 参考答案与解析1【答案】是偶函数，又在单调递减，解之：2【答案】由解析式可知当时，为周期函数，当时，为二次函数的一部分，故不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为值域为，故函数的值域为，故正确故选D3【答案】4【答案】5【答案】6【答案】7【答案】8【答案】是定义在上的周期为2的函数，故答案为：12015届江苏省高三一、二、三模数学试题1（常州市2015届一模）函数的定义域为 【答案】2（泰州市2015届一模）函数的定义域为 【答案】3（苏锡常镇市2015届调研一）函数的定义域为 【答案】【命题立意】本题考查了函数定义域.【解析】依题意得，解得.4（泰州市2015届二模）已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为 【答案】 【命题立意】本题考查了函数的定义域，值域，恒成立的问题 【解析】问题可以转化为对于定义域为，恒成立，且值域为，故，解得a=15（苏州市2015届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为 【答案】6.（徐州、连云港、宿迁市2015届三模）设函数，则的值为 .【答案】2【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数值的求解【解析】由于f（1）=41=，故f（f（1）=f（）=log2=27（扬州市2015届一模）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是【答案】（，12，+）【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域【解析】由于f（x）的值域为R，则知22+a2+a2，整理有a2a20，解得a1或a28（常州市2015届一模）已知函数，则函数的值域为 【答案】9（淮、宿、连、徐四市2015届一模）已知 是定义在R上的奇函数，当 时，则的值为_【答案】10（南通市2015届一模）已知是上的奇函数，且时，则不等式的解集为 【答案】11（镇江市2015届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为 【答案】【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维【解析】当x<0时，x>0，则f（x）=f（x）=（x）ln（x）=xln（x），则f（x）=，当x>0时，f（x）=lnx+1，令f（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f（x）<0；当x>时，f（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+）上递增，当x=时取得极小值f（）=>e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<e在（0，+）上无解，而当x<0时，由于f（e）=elne=e，则不等式f（x）<e= f（e），可得x<e12（南京市、盐城市2015届二模）已知知函数，则不等式的解集是 【答案】(1，2)【命题立意】本题旨在考查函数的性质及解不等式【解析】由，当x<0时为增函数，解得1x213（淮、宿、连、徐四市2015届一模）已知函数 ，则不等式 的解集为_【答案】【命题立意】本题旨在考查分段函数的解析式，不等式的解法【解析】当x0时，f（f（x）=f（x2）=（x2）2+2（x2）=x42x23，解得0x；当2<x<0时，f（f（x）=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）3，解得2<x<0；当x2时，f（f（x）=f（x2+2x）=（x2+2x）23，解得x2；综上所述可得x【举一反三】涉及分段函数的问题，其处理的原理就是进行分类讨论，这也是解决问题的关键14（南京市、盐城市2015届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，函数 如果对于，使得，则实数的取值范围是 【答案】【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，函数的解析式以及函数最值之间的关系【解析】由于f（x）是定义在2，2上的奇函数，则有f（0）=0，而当x（0，2时，f（x）=2x1（0，3，则当x2，2时，f（x）3，3，若对于，使得，则等价于g（x）max3且g（x）min3，而g（x）=x22x+m=（x1）2+m1，x2，2，则有g（x）max=g（2）=8+m且g（x）min=g（1）=m1，则满足8+m3且m13，解得m5且m2，故5m215（泰州市2015届一模）已知函数是奇函数，则 【答案】16（泰州市2015届二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】【命题立意】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题【解析】根据题意可得：，,函数在区间上单调递增等价于在区间上成立，当时，要满足在区间上成立，即是要保证在区间上成立，令，等价于，解得，同理，当时，在区间上成立，等价于，解得，综上：实数的取值范围是17（南京市2015届三模）已知a，t为正实数，函数f(x)x22xa，且对任意的x0，t，都有f(x)a，a若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 【答案】(0，1)2【命题立意】本题旨在考查二次函数的图象与性质，分类讨论【解析】由于f（x）x22xa=（x1）2+a1，而f（0）=a，f（x）min=f（1）=a1，由a+（a1）=0可得a=，当0<a<时，此时a1<a，那么t的最大值g（a）<1，即0<g（a）<1；当a时，此时a1a，那么t的最大值g（a）=2；综合可知函数g(a)的值域为（0，1）2江苏五年高考真题1（2010·江苏）设函数f(x)=x(ex+ae-x),(xR)是偶函数，则实数a=_【答案】1【解析】由偶函数Þf(-x)=f(x) Þx(ex+ae-x)=x(e-x+aex) Þx(ex+e-x)(1+a)=0 a=12（2010·江苏）已知函数,则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的范围是_【答案】(1,1)【解析】设t=1x2，当x<1时，t<0，2x<2；f(1x2)=1，f(2x)=1Þ f(1x2)= f(2x)；当x>1时，t<0，2x>2，f(1x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1x2)>f(2x)；当1£x<0时，t³0，2x<0，所以f(1x2)=(1x2)2+1³1，f(2x)=1，Þf(1x2)>f(2x) (x¹1)；当0£x£1时，t³0，2x³0，所以f(1x2)=(1x2)2+1³1，f(2x)=(2x)2+1，由f(1x2)>f(2x)Þ (1x2)2+1>(2x)2+1Þx46x2+1>0Þ0£x<1综上，xÎ(1,1)3（2011·江苏）2、函数的单调增区间是_【答案】4（2011·江苏）11、已知实数，函数，若，则a的值为_【答案】【解析】考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。，不符合； 5（2012·江苏）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 【答案】-106（2012·江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 【答案】97（2013·江苏）已知是定义在R上的奇函数当时，则不等式的解集用区间表示为 【答案】(5，0) (5，)【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x0的图像。不等式，表示函数y的图像在yx的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5，)xyyxyx24 xP(5,5)Q(5, 5)8（2014·江苏）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 【答案】【命题立意】本题主要考查二次函数含参数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立【解析】二次函数开口向上，在区间上始终满足，只需即可，解得，则9（2015·江苏）不等式的解集为 【答案】（1，2）【命题立意】本题考查指数不等式，不等式的求解，同时考查运算能力。难度为简单。【解题思路】由<4=22，可得x2x<2，即（x+1）（x2）<0，解得1<x<2。18