2021_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数课时素养评价含解析新人教B版必修第二册.doc

幂函数(15分钟30分)1.已知幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+)上单调递增,则实数m的值为()A.-1B.3C.-1或3D.1或-3【解析】选B.幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+)上单调递增,所以m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1;又m2+m-1>0,所以m=3时满足条件,则实数m的值为3.【补偿训练】已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+)上单调递减,则m的值为()A.-1B.2C.-1或2D.-2【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+)上单调递减,所以解得所以m的值为-1.2.函数y=的图像是()【解析】选B.幂函数过点(1,1),排除A,D,当x>1时,<x.3.(2020·唐山高一检测)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A.y=x-1B.y=tan xC.y=x3D.y=log2x【解析】选C.y=x-1是非奇非偶函数,A不符合题意;y=tan x是周期函数,B不符合题意;y=x3满足条件,C符合题意;y=log2x是非奇非偶函数,D不符合题意.4.若幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),设m=,n=,t=-loga3,则m,n,t的大小关系是()A.m>t>nB.n>t>mC.t>m>nD.m>n>t【解析】选D.幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),所以3a=9,a=2;所以m=,n=,t=-loga3=-log23<0,所以>>-log23,所以m>n>t.5.已知点在幂函数y=f(x)的图像上,则f(x)的解析式是_,f=_. 【解析】设幂函数y=f(x)=x,为常数;把点的坐标代入解析式,得=,解得=3,所以幂函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3.f=-.答案:f(x)=x3-6.已知幂函数f(x)=x的图像过点,求函数g(x)=(x-1)f(x)在区间上的最小值.【解析】由幂函数f(x)=x的图像过点,可得2=,解得=-1,即有f(x)=,函数g(x)=(x-1)f(x)=1-在区间上单调递增,所以g(x)的最小值为g=1-2=-1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020·沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图像过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为()A.1B.C.2D.【解析】选B.设f(x)=x,因为f(x)的图像过点(2,),所以f(2)=2=,则=,则f(x)=,y=+1-x=-+,故其最大值为.2.已知幂函数y=f(x)的图像过点(,2),且f(m-2)>1,则m的取值范围是()A.m<1或m>3B.1<m<3C.m<3D.m>3【解析】选D.设幂函数f(x)=x(为常数),由它的图像过点(,2),可得()=2,解得=3,所以f(x)=x3;再根据f(m-2)>1,得(m-2)3>1,解得m>3,所以m的取值范围是m>3.3.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图像过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为()A.(-2,+)B.(1,+)C.(-1,+)D.(2,+)【解析】选B.由题意得:m+2=1,解得:m=-1,故f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式得,2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),令x-1>0,解得x>1,故g(x)在(1,+)上单调递增.4.在同一坐标系内,函数y=xa(a0)和y=ax-的图像可能是()【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-是减函数,且在y轴上的截距为->0,y=xa在(0,+)上是减函数,所以B,D均错误.对于A,C,若a>0,则y=ax-是增函数,且-<0,y=xa在(0,+)上是增函数,所以A错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知幂函数f(x)的图像经过点,则幂函数f(x)具有的性质有()A.在其定义域上为增函数B.在(0,+)上为减函数C.奇函数D.定义域为R【解析】选BC.设幂函数f(x)=xa(a为常数),因为幂函数图像过点(27,),所以f(x)=,所以由f(x)的性质知,f(x)是奇函数,定义域为,在(-,0),(0,+)上是单调递减函数.6.若幂函数f=x2m-3没有零点,则f满足()A.在定义域上单调递减B.f在x(0,+)单调递减C.关于y轴对称D.f+f=0【解析】选BD.函数f(x)=x2m-3为幂函数,所以2m2-6m+5=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f=x-1,函数没有零点,是奇函数,且满足f+f=0;所以C不正确,D正确,当m=2时,f=x,函数有零点,不满足题意.所以,由函数f=x-1的性质可知,A不正确,B正确.【补偿训练】(2020·东营高一检测)已知函数f(x)=x图像经过点(4,2),则下列结论正确的有()A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x>1,则f(x)>1D.若0<x1<x2,则<f【解析】选ACD.将点(4,2)代入函数f(x)=x得:2=4,则=.所以f(x)=,显然f(x)在定义域0,+)上为增函数,所以A正确.f(x)的定义域为0,+),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确.当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确.当0<x1<x2时,-f=-=-=-<0.即<f成立,所以D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知x+x-=2,x>1,<0,则x-x-=_. 【解析】因为x+x-=2,则(x+x-)2=x2+x-2+2=20,所以x2+x-2=18,所以(x-x-)2=x2+x-2-2=18-2=16,因为x>1,<0,所以x<x-,即x-x-<0,所以x-x-=-4.答案:-48.(2020·台州高一检测)若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2时,恒有,<0.则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:f(x)=; f(x)=x2; f(x)=;f(x)=则被称为“理想函数”的有_(填相应的序号). 【解析】若f(x)是“理想函数”,则满足以下两条:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2时,恒有<0,(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0,所以x1<x2时,f(x1)>f(x2),即函数f(x)是减函数,故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数.f(x)=在定义域上是奇函数,但不是减函数,所以不是“理想函数”;f(x)=x2在定义域上是偶函数,所以不是“理想函数”;f(x)=不是奇函数,所以不是“理想函数”;f(x)=在定义域R上既是奇函数,又是减函数,所以是“理想函数”.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)-ax-3在1,3上不是单调函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意m2-5m+7=1,解得m=2或3,因为f(x)是偶函数,故f(x)=x2.(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,g(x)的对称轴是x=,若g(x)在1,3上不是单调函数,则1<<3,解得:2<a<6.10.(2020·北京高一检测)已知幂函数f(x)=(m-1)2在上单调递增.(1)求m值及f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=-+2ax+1-a在上的最大值为3,求实数a的值.【解析】(1)幂函数f(x)=(m-1)2在上单调递增,故解得m=0,故f(x)=x3.(2)由于f(x)=x3,所以函数g(x)=-+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a,函数的图像为开口方向向下的抛物线,对称轴为x=a,由于在上的最大值为3,当a2时,g(x)在上单调递增,故g(x)max=g(2)=3a-3=3,解得a=2.当a0时,g(x)在上单调递减,故g(x)max=g=1-a=3,解得a=-2.当0<a<2时,g(x)在上单调递增,在上单调递减,故g(x)max=g=a2+1-a=3,在(0,2)上无解,综上所述:a=±2.1.(2020·牡丹江高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=()A.12B.20C.28D.-14【解析】选A.当x<0时,f(x)=2x3+x2,则f=2×+=-12,由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2)=-f=12.2.(2020·福州高一检测)已知函数f(x)=3x3+2x,x(-,+).(1)证明:函数f(x)是奇函数;(2)判断函数f(x)在区间(-,+)上的单调性(直接写结论,不需证明);(3)当k>3时,不等式f(mlog3k)+f(log3k)2-log3k+3>0恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f=3+2=-3x3-2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)是上的增函数,(3)由(1)(2)知f(x)是奇函数且是上的增函数,因为f(mlog3k)+f(log3k)2-log3k+3>0恒成立,所以f>f,即mlog3k>-(log3k)2+log3k-3,令log3k=t,因为k>3,所以t>1,由mt>-t2+t-3,可得m>-+1,令g=-+1,t.因为函数g是上的增函数,上的减函数,所以g(t)max=g=1-2.故实数m的取值范围是.【补偿训练】已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).(1)求g(x)的解析式.(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)=x(为常数).因为幂函数g(x)过点,所以2=,解得:=-1,所以g(x)=.(2)由(1)得:f(x)=x2+.当a=0时,f(x)=x2.由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数.当a0时,由于f(-x)=(-x)2+=x2-x2+=f(x),且f(-x)=(-x)2+=x2-=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.