2021_2021学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二课时素养评价含解析新人教A版必修.doc
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) (20分钟35分)1.(2020·金昌高一检测)与相等的是()A.tan 66°B.tan 24°C.tan 42°D.tan 21°【解析】选B.原式=tan(45°-21°)=tan 24°.2.已知tan =,tan(-)=-,那么tan(2-)的值为()A.-B.C.-D.【解析】选D.因为tan =,tan(-)=-,所以tan(2-)=tan+(-)=.3.已知为锐角,且tan(+)=3,tan(-)=2,则角等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为tan 2=tan(+)+(-)=-1,因为为锐角,所以0<2<,所以2=,得=.4.已知+=,则(1-tan )(1-tan )=()A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.因为tan(+)=-1=,所以tan +tan =-1+tan tan .所以(1-tan )(1-tan )=1-tan -tan +tan tan =2.5.(2020·平顶山高一检测)已知ABC中,tan Atan B-tan A-tan B=,则C的大小为. 【解析】依题意有=-,即tan(A+B)=-.又因为0<A+B<,所以A+B=,所以C=-A-B=.答案:6.已知,且tan ,tan 是方程x2+3x+4=0的两个根,求+.【解析】因为tan ,tan 是方程x2+3x+4=0的两个根,所以tan +tan =-3,tan tan =4,所以tan(+)=.因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.又,所以,所以+(-,0),故+=-. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°的值是()A.2B.C.D.【解析】选C.因为tan 60°=tan(20°+40°)=,所以(1-tan 20°tan 40°)=tan 20°+tan 40°,所以原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.2.(2020·沈阳高一检测)锐角ABC中,tan Atan B的值()A.不小于1B.小于1C.等于1D.大于1【解析】选D.由于ABC为锐角三角形,所以tan A,tan B,tan C均为正数.所以tan C>0.所以tan180°-(A+B)>0.所以tan(A+B)<0,即<0.而tan A>0,tan B>0所以1-tan Atan B<0,即tan Atan B>1.3.已知tan =,则的值是()A.2B.C.-1D.-3【解析】选B.方法一:因为tan =,所以tan=3,所以=.方法二:=tan=tan =.4.已知tan 和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是()A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab【解析】选C.由根与系数的关系可知tan +tan=-,且tan tan=,所以tan=tan=1.所以-=1-.所以-b=a-c.所以c=a+b.5.的值应是()A.-B.C.1D.-1【解析】选A.因为tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°,所以原式=-tan 60°=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tan =2,tan =-3,其中0°<<90°,90°<<180°,则=,-=. 【解析】=-7.因为tan(-)=-1,又0°<<90°,90°<<180°,所以-180°<-<0°,所以-=-45°.答案:-7-45°7.(2020·沈阳高一检测)tan 69°-tan 24°-tan 69°tan 24°=. 【解析】因为tan 69°-tan 24°=tan(69°-24°)(1+tan 69°tan 24°)=tan 45°(1+tan 69°tan 24°)=1+tan 69°tan 24°所以tan 69°-tan 24°-tan 69°tan 24°=1+tan 69°tan 24°-tan 69°tan 24°=1.答案:18.tan 20°tan 30°+tan 30°tan 40°+tan 40°tan 20°=. 【解析】原式=(tan 20°+tan 40°)+tan 40°tan 20°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)+tan 40°tan 20°=1-tan 20°tan 40°+tan 40°tan 20°=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·蕲州高一检测)(1)已知+=,求(1+tan )(1+tan ).(2)利用(1)的结论求(1+tan 1°)·(1+tan 2°)·(1+tan 3°)··(1+tan 44°)的值.【解析】(1)因为+=,所以tan(+)=1,即=1,所以tan +tan =1-tan tan .所以(1+tan )(1+tan )=(tan +tan )+1+tan tan =2.(2)由(1)知当+=45°时,(1+tan )(1+tan )=2.所以原式=(1+tan 1°)(1+tan 44°)(1+tan 2°)·(1+tan 43°)··(1+tan 22°)(1+tan 23°)=222.10.已知A,B,C是ABC的三内角,向量m=(-1,),n=(cos A,sin A),且m·n=1.(1)求角A.(2)若tan=-3,求tan C.【解析】(1)因为m·n=1,所以(-1,)·(cos A,sin A)=1,即sin A-cos A=1,2sin=1.所以sin=.因为0<A<,所以-<A-<,所以A-=,即A=.(2)由tan=-3,解得tan B=2.又A=,所以tan A=.所以tan C=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-=-=.【补偿训练】已知tan(+)=-,tan(+)=.(1)求tan(+)的值.(2)求tan 的值.【解析】(1)因为tan(+)=-,所以tan =-,因为tan(+)=,所以tan(+)=.(2)因为tan =tan(+)-=,所以tan =.1.若(tan -1)(tan -1)=2(,为锐角),则+=. 【解析】(tan -1)(tan -1)=2tan tan -tan -tan +1=2tan +tan =tan tan -1=-1,即tan(+)=-1,因为,为锐角,所以0<+<.所以+=.答案:2.是否存在锐角,使得(1)+2=,(2)tan tan =2-同时成立?若存在,求出锐角,的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在锐角,使得(1)+2=,(2)tan tan =2-同时成立.由(1)得+=,所以tan =.又tan tan =2-,所以tan +tan =3-,因此tan ,tan 可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得:x1=1,x2=2-.若tan =1,则=,这与为锐角矛盾,所以tan =2-,tan =1,所以=,=,所以满足条件的,存在,且=,=.
