2021_2021学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时素养评价含解析新人教A版必修.doc
平面向量数量积的物理背景及其含义 (20分钟35分)1.对于向量a,b,c和实数,下列命题中为真命题的是()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若a=0,则=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c【解析】选B.A错,当a与b的夹角为时,a·b=0;C错,a2=b2即|a|=|b|;D错,数量积不能约分;只有B对.2. 在RtABC中,C=90°,AC=4,则·=()A.-16B.-8C.8D.16【解析】选D.设CAB=,所以AB=.·=|cos =×4cos =16.【补偿训练】在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于()A.-B.-C.D.【解析】选A.由题意,结合图形有·(+)=·2=·=-=-=-.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,·b=0,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.因为·b=a·b+b·b=0,所以a·b=-|b|2.设a与b的夹角为,则cos =-,故=120°.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为cd,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.(2020·平顶山高一检测)已知|a|=4,|b|=6,且a·b=12,则向量a在向量b的方向上的投影为. 【解析】设a与b的夹角为,因为a·b=|a|b|cos =12,又|b|=6,所以|a|cos =2,即a在b方向上的投影为2.答案:26.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=. 又|a|=1,所以|b|=.因为a·b=,所以|a|·|b|cos =,所以cos =,所以向量a,b的夹角为45°.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2=,所以|a-b|=. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.点O是ABC所在平面上的一点,且满足·=·=·,则点O是ABC的()A.重心B. 垂心C. 内心D. 外心【解析】选B.因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,所以,同理 ,所以O是ABC的垂心.2.如图,e1,e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|=()A.20B.C.2D.【解析】选C.由题意,知a=-e1-e2,b=-e1-e2,所以a+b=-2e1-4e2,所以|a+b|=2.3.(2020·潍坊高一检测)在ABC中,BAC=60°,AB=3,AC=2,若D为BC的中点,E为AD的中点,则·=()A.-B.-C.D.-【解析】选A.根据题意,=(+)=-+=-+(-)=-+,所以·=·=-·+=-×3×2×+×4=-.4.在ABC中,C=90°,|=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为()A.9B.16C.18D.25【解析】选B.取AB的中点D,连接CD,因为C=90°,AB=6,所以|CD|=|AB|=3.设与的夹角为,则·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2·=4+2|·|cos =4+2×2×3cos =4+12cos ,所以当=0°时,·的最大值为16.【补偿训练】在ABC中,已知·=,|=3,|=3,M,N分别是BC边上的三等分点(M靠近B,N靠近C),则·的值是()A.B.C.6D.7【解析】选B.方法一:因为·=,|=3,|=3,所以·=|cosBAC=3×3cosBAC=,所以cosBAC=.因为BAC(0,),所以BAC=,所以ABC是等边三角形,即|=3.因为M,N分别是BC边上的三等分点,所以=+=+,=+=+=-,所以·=·=·-·+·-|2,因为·=,·=3×3×cos 120°=-,·=3×3cos 60°=,所以·=-×+×-1=.方法二:=+=+=+,=+=+(-)=+,·=+·=(32+32)+×=4+=.5.任意四边形ABCD内有一点O满足+=0,则O点的位置是()A.对角线的交点B.对边中点连线的交点C.BD的中点D.AC的中点【解析】选B.如图,分别取四边形ABCD各边的中点E,F,G,H.所以+=2,+=2;因为+=0,所以2+2=0=-,即O是EG的中点,同理O是FH的中点,所以点O为两组对边中点连线的交点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知圆O是ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·=. 【解析】因为M是BC的中点,所以=,又O是ABC的外接圆圆心,所以·=|cosBAO=|2=8,同理,所以·=|2=2,所以·=·=·+·=4+1=5.答案:57.(2020·鞍山高一检测)已知平面向量,|=1,|=2,(-2),则|2+|的值是. 【解析】|=1,|=2,由(-2),知·(-2)=0,2·=1,所以|2+|2=42+4·+2=4+2+4=10,故|2+|=.答案:8.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)4,则a与b的夹角的取值范围是. 【解析】(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=2×9-3|a|b|cos -2×16=-14-3×3×4cos 4,所以cos -,又0,所以.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=(e1+te2),<0,则所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得cos =<0,所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是.【补偿训练】已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+b与a+b的夹角为锐角,求实数的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a|b|cos 60°=2×3×=3,又(a+b)·(a+b)=a2+(2+1)a·b+b2,而向量a+b与a+b的夹角为锐角,所以a2+(2+1)a·b+b2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以32+13+3>0,解得>或<.但是当=1时,向量a+b与a+b共线,其夹角不是锐角,故的取值范围是(1,+).10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角.(2)求(a-2b)·b.(3)当为何值时,向量a+b与向量a-3b互相垂直?【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影为|a|cos =-1,所以cos =-=-,因为0,所以=.(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因为a+b与a-3b互相垂直,所以(a+b)·(a-3b)=a2-3a·b+b·a-3b2=4+3-1-3=7-4=0,所以=.1.(2019·江苏高考)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是. 【解析】如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.6·=3·(-)=(+)·(-)=(+)·=·-+=·,得=,即|=|,故=.答案:2. 如图,在直角ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·最大?并求出这个最大值.【解析】设与的夹角为,则·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cos .故当cos =1,即=0°(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.
