高二物理竞赛晶格振动课件.pptx
第三章 晶格振动第一节第一节 一维晶格的振动一维晶格的振动1.1 1.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动1.2 1.2 一维双原子链一维双原子链( (复式格子复式格子) )的振动的振动本节主要内容本节主要内容: :1.1 一维单原子链的振动1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为，原子质量为m。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 用用xn和和xk分别表示序号为分别表示序号为n和和k的原子在的原子在t时刻偏离平衡位置的时刻偏离平衡位置的位移，用位移，用xnk= xn- -xk表示在表示在t时刻第时刻第n个和第个和第k个原子的相对位移。个原子的相对位移。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a(2)振动方程和解振动方程和解平衡时，第平衡时，第n个原子与近邻第个原子与近邻第k个原子相距个原子相距: 为为两个原子间的互作用势能，平衡时为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ，)(ru)(0ru0 .ra)()(0rruru t时刻为时刻为 3332220)(dd61)(dd21dd)(000rrurrurrururrr nkx 333222000dd61dd21)()(nkrnkrxruxrururu 第第n个与近邻第个与近邻第k个原子间的相互作用力个原子间的相互作用力:)()(0rruru 2332200dd21ddddnkrnkrnkxruxruruf 2332200dd21ddddnkrnkrnkxruxruruf 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（ r r）二次方以上的二次方以上的高次项，只保留到高次项，只保留到( ( r r) )2 2项项-简谐近似简谐近似。（ 忽略掉作用力中非线性项的近似忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似。）简谐近似。）得得:nknknkrnkxxruf 022dd022ddrnkru 弹性恢复力系数弹性恢复力系数只考虑近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：只考虑近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等： 11. nnnnxxxxnmx 11.2 nnnxxxnmx 给出试探解：给出试探解： naqtinAx e11eaq)n(tinAx 2sin2aqm 原子都以同一频率原子都以同一频率 ，同一振幅同一振幅 A 振动振动,相邻原子间的位相相邻原子间的位相差为差为 aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。即原子的振动形成了波，这种波称为格波。色散关系色散关系(晶格振动谱晶格振动谱) 将试探解代入振将试探解代入振动方程得振动频率动方程得振动频率:原子的振动方程原子的振动方程: aqntiaqntinaqwtinaqtiAAAmA112eee2e 给出试探解给出试探解: naqtinAx e 11.2 nnnxxxnmx )(miaqiaqee22 2sin4)cos22()sin(cos)sin(cos222aqaqaqiaqaqiaqm naqtin.Aix e naqtin.A)i(x e2 naqtiA e22sin2aqm 由色散关系式可画图如下由色散关系式可画图如下:;2,maxmaq 当当0, 0min q当当2.色散关系 是波矢是波矢q的周期性函数的周期性函数,且且 (-q)= (q)。 0 ma/ a/a/2a/2 2sin2aqm )q(xAqxn)saq(natin 2e)(且且),2为为整整数数当当s(saqq, (q)q( aaa4 54a xoa a2 a2am 2sin2aqm 故取故取aqa 简约布里渊区简约布里渊区)q(x)q(xnn 且且),2为为整整数数当当s(saqq, )()(qq oa am 3. 玻恩玻恩-卡门周期性边界条件及波矢卡门周期性边界条件及波矢q的取值的取值 (1)玻恩玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件 设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 晶体中任一个原子，当其原胞标数增加晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中为晶体中原胞的个数原胞的个数 ）后，其振动情况复原后，其振动情况复原。由。由N个原胞组成的单原个原胞组成的单原子链，由玻恩子链，由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:Nnnxx Nnnxx 1e iNaq对于一维布拉维晶格对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同原胞标数与原子标数相同): eeaq)Nn(tinaqtiAA sNaq 2sNaq2 整数(2)波矢波矢q的取值的取值aqa 22NsN 波矢波矢 也只能取也只能取N个不同的值。个不同的值。sNaq2 2, 2, 1, 0, 1,),32(),22(),12(NNNNs (共共N个值个值)晶格振动波矢只能取分立的值晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目波矢的数目(个数个数)=晶体原胞的数目晶体原胞的数目4. 长波极限:02 qqmaaqmaqm 222sin2qVp mavp oa a2 a2aqm 弹弹性性波波由连续介质波由连续介质波的传播速度：的传播速度：介介质质密密度度弹弹性性模模量量 pvmavp qVp mavp 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
