高二物理竞赛三维晶格振动课件.pptx
三三维晶格振维晶格振动动1 1、 三三维晶格振维晶格振动动mk1aa23aRnkRnunki 1,2,3i u(i 1,2,3)n kinkuk晶体晶体基矢分基矢分量量 a 晶胞晶胞中中第第 k 个个原子质原子质量量 m (k 1,2,P)第第n 个晶个晶胞中胞中第第 k 个原子个原子的的平平衡位衡位置置矢矢量量Rnk第第个晶个晶胞中胞中第第个原子个原子的的偏偏离平离平衡衡位位置置沿沿的位移：的位移：nki 1,2,3a i1 1、模型、模型n 1,2,3,N N1N2 N3;k 1,2,3,P21212B 0iqam( )A e 12 1 2BAm2 ( ) eiqa iaq12 e2 1 2 1mm1 1、光光学学波波、声学波及其物理意声学波及其物理意义义在同一时在同一时刻刻 t，同同一一原原胞中的两个原胞中的两个原子子的位移之比的位移之比：u2 (na, t) B u1 (na, t) A由于：由于：122221m M 8mM 1 cos(qa) 2 1 2 m M 12mM2mM若 m M，得到：21122221cos(qa)m 2 2 1 2 1m若 1 2 ，得到：1/ 2 1 1sin2 (aq)4mMm M 2mm M 2 21122221212cos(qa)m 2 1miaqmm12 1 e2 1 22112221/ 221212 2 2cos(aq) sin(aq)1 cos(aq) (cos(aq) i sin(aq)2 1eiaq因为：因为：2112222121cos(qa)m2A 2 1m21122221212cos(qa)mo 2 1m21光学光学支支格波格波圆圆频率频率， 21声学声学支支格波格波圆圆频率频率， qa a声学波声学波0o minmA max m 21m 22o max 2(1 2 ) 0Amin光学波光学波禁带禁带（禁止禁止出出现的现的振振动模动模式式）禁带禁带宽度宽度= = o minAmax声学声学支格支格波波ia q21 e eiaq 21ia qAB21 e eiaq 21ia qAB21 e eiaq 21光学光学支格支格波波B A12 21 1ia qAB e eiaq 讨论讨论:A、对光学对光学支支格格波波，当当 , q 0，原原胞胞中中两两个个原原子子位移位移之之比比：表明表明原胞中原胞中两两个原个原子子相相对对振动振动，原原子子质质心心不动不动，形形成成长长光光学学波波。波传播方向波传播方向若原若原胞包含胞包含一一个正个正离离子子，一个一个负负离离子子，形形成随成随时时间间变变化化的的电电偶偶极极矩矩。波传播方向波传播方向+ +-B A12 21 1ia qia qA eB e原胞原胞中两原中两原子子同方同方向向振振动动（与（与原原胞胞原原子子质质心振心振动动等等效效），长长声声学学波波。波传波传播播方方向向对声学对声学支支格格波波，当当 , q 0 ，原原胞中胞中两两个个原原子位子位移移之之比比：qaA1 212 122m( ) 格波格波圆频率圆频率与与波矢波矢成成正正比比（声（声学学波波）2cos aq 1 1 aq2212 121 (aq)2m ( )2A在在长波长波极极限限下下，q q / a ( (布布里渊区里渊区中中心附心附近近),),得到得到: :iaqmmm1221122221cos(qa) 1 e 1 2 2 2 1 2 1mmAm2, A B1202, A B1122D D、当当 q / a相相邻原胞的邻原胞的位位移相移相反反周周期期性性边边界条件、振动模式界条件、振动模式数数u1 (na) u1 (n N )a)u2 (na) u2 (n N )a) 1ei N a qNaq l 2 ,l 0,1,2 q 2l, l 0,1,2 Nai (naqt )1i (naqt )u2 (na) Beu (na) Ae q aaq 取取值限制在一维双原子链的值限制在一维双原子链的第第一布里渊区一布里渊区：N l N22q 取取值在一维双原子链的第一布值在一维双原子链的第一布里里渊区中渊区中有有 N个个不不同同值值。 对每对每个个 q 对对应有两个圆频应有两个圆频率率 O ,A ，一一维维双双原子链晶格原子链晶格有有2N 个个独立振动模式（状态）独立振动模式（状态）。第第 n 个晶个晶胞中胞中第第 k个原个原子子受受到到晶晶体其体其它它原原子子作用作用的的简简谐谐（弹弹性）性）势势能能：n , n 1 , 2 , N ;i, i 1,2,3;k, k 1,2,P; kk nn Wi i 定义定义恢复力恢复力系系数数：代表代表第第 n个原个原胞中胞中第第 k个个原子在其原子在其它它原原子子不不动动的情的情况况下下，沿沿 i 方向方向振振动动 位移位移一个单一个单位位长度长度时时，第第n个原胞个原胞中中第第 k 个个原子原子在在 i 方向上方向上受到受到的的弹弹性性力力。0R0Rnkin ki n k i RRnk i2两个两个原原胞编胞编号号两个两个原原胞中胞中原原子编子编号号 kk n nk k nn W Wkk nnWiii iii势能势能只与原只与原子子间的间的相相对对距距离有离有关关，则则： W kkk k nn nn W iiii三维三维晶格中晶格中两两个原个原胞胞 n, n 的相对的相对距距离离为为(RnRn )，恢复恢复力力常常数数可可以写以写为为：
