2021_2021学年新教材高中数学单元素养评价二第六章导数及其应用含解析新人教B版选择性必修第三册.doc

单元素养评价(二)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.从x0到x1的平均变化率B.在x=x1处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间x0,x1上的导数【解析】选A.=表示函数从x0到x1的平均变化率.2.(2020·宁城高二检测)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2,则物体开始运动后第4 s时的动能是()A.160 JB.165 JC.170 JD.175 J【解析】选A.根据题意,物体的运动距离s与时间t的关系式为s(t)=1+t2,则有s(t)=2t,物体开始运动后第4 s时速度v=s(4)=8(m/s),物体开始运动后第4 s时的动能Ek=×mv2=×5×64=160(J).3.若f(x)=sin -cos x,则f(x)等于()A.cos +sin xB.2sin +cos xC.sin xD.cos x【解析】选C.函数是关于x的函数,因此sin 是一个常数.4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为()A.B.C.D.1【解析】选A.y=-2e-2x,y|x=0=-2,点(0,2)处的切线方程为y-2=-2x.令y=0,得x=1.由得所以S=××1=.5.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.f(x)=x2+a,当a0时,f(x)0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.f(x)=3x2+2ax+3,由条件知,x=-3是方程f(x)=0的实数根,所以a=5.7.将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时,AB的长为()A.B.C.D.1【解析】选B.因为矩形ABCD周长为4,设BC=x(0<x<2),则AB=2-x,所以将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积为V(x)=x2(2-x)=(2x2-x3),0<x<2,则V(x)=(4x-3x2),由V(x)>0得4x-3x2>0,解得0<x<由V(x)<0得4x-3x2<0,解得<x<2,所以V(x)=(2x2-x3)在上单调递增;在上单调递减,所以当x=,即BC=,AB=时,V(x)=(2x2-x3)取得最大值.8.(2020·全国卷)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【解析】选D.设直线l在曲线y=上的切点为,由题意知x0>0,函数y=的导数为y=,则直线l的斜率k=,直线l的方程为y-=,即x-2y+x0=0,由于直线l与圆x2+y2=相切,则=,两边平方并整理得5-4x0-1=0,解得x0=1,x0=-(舍),则直线l的方程为x-2y+1=0,即y=x+.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020·济南高二检测)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导,其中正确的是()A.=B.(cos 2x)=-2sin 2xC.=3xD.(lg x)=【解析】选BC.=-,(cos 2x)=-2sin 2x,=3x,(lg x)=.10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,则()A.在x=-2时,函数y=f(x)取得极值B.在x=1时,函数y=f(x)取得极值C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增【解析】选AD.由题图可知,x=-2是导函数f(x)的一个变号零点,故当x=-2时,函数f(x)取得极值,选项A正确;x=1不是导函数f(x)的一个变号零点,故当x=1时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误;y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f(0)>0,选项C错误;当x(-2,2)时,f(x)0,此时函数y=f(x)单调递增,选项D正确.11.已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示,则g(x)=()A.在区间(0,1)上是单调递增的B.在区间(1,4)上是单调递减的C.在区间上是单调递减的D.在区间上是单调递减的【解析】选AC.当x=0或x=2时,f(x)=0,则函数g(x)=的定义域为(-,0)(0,2)(2,+),排除选项B,D;g(x)=,由图易得当x(0,1)时,f(x)>f(x),即g(x)=>0,所以函数g(x)=在(0,1)上是单调递增的,故选项A正确;又由图易得当x时,f(x)<f(x),即g(x)=<0,所以函数g(x)=在上是单调递减的,故选AC.12.(2020·烟台高二检测)已知函数f(x)=xln x,若0<x1<x2,则下列结论正确的是()A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.<0D.当ln x>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)【解析】选AD.A正确.因为令g(x)=ln x,在(0,+)上是增函数,所以当 0<x1<x2 时,g(x1)<g(x2),所以<,即x2f(x1)<x1f(x2).B错误.因为令g(x)=f(x)+x=xln x+x,所以g(x)=ln x+2,所以x(e-2,+)时,g(x)>0,g(x)单调递增,x(0,e-2)时,g(x)<0,g(x)单调递减.所以x1+f(x1)与x2+f(x2)无法比较大小.C错误.函数f(x)既有单调增区间,又有单调减区间,故有可能大于0,也有可能小于0,故C错误.D正确.因为ln x>-1时,f(x)单调递增,又因为A正确,所以x1·f(x1)+x2·f(x2)-2x2f(x1)>x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0,即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1).三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知f(x)=x(2 016+ln x),f(x0)=2 017,则x0=_. 【解析】f(x)=2 016+ln x+1=2 017+ln x,又因为f(x0)=2 017,所以f(x0)=2 017+ln x0=2 017,则ln x0=0,x0=1.答案:114.已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x时,f(x)=x+sin x,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是_. 【解题指南】利用f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),再结合f(x)在的单调性比较大小.【解析】f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),因为f(x)=1+cos x0,故f(x)在上是增函数,因为>-2>1>-3>0,所以f(-2)>f(1)>f(-3),即c<a<b.答案:c<a<b15.(2020·长沙高二检测)已知曲线C1:f(x)=-ex-2x,曲线C2:g(x)=ax+cos x,(1)若曲线C1在x=0处的切线与C2在x=处的切线平行,则实数a=_. (2)若曲线C1上任意一点处的切线为l1,总存在C2上一点处的切线l2,使得l1l2,则实数a的取值范围为_. 【解析】(1)f(x)=-ex-2,曲线C1在x=0处的切线的斜率f(0)=-3,g(x)=a-sin x,曲线C2在x=处的切线的斜率g=a-1,由题意得,a=-2.(2)曲线C1上任意一点处的切线的斜率k1=f(x)=-ex-2,则与l1垂直的直线的斜率为,而曲线C2上任意一点处的切线的斜率k2=g(x)=a-sin xa-1,a+1,由题意,解得-a1.答案:(1)-2(2)16.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x-10245f(x)12021函数y=f(x)在x=2取到极小值;函数f(x)在0,1是减函数,在1,2是增函数;当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.其中所有正确命题是_(写出正确命题的序号). 【解析】由图象可知当-1<x<0,2<x<4时,f(x)>0,此时函数单调递增,当0<x<2,4<x<5时,f(x)<0,此时函数单调递减,所以当x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以正确.函数在0,2上单调递减,所以错误.因为x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以f(0)=2,f(4)=2,f(2)=0,因为f(-1)=f(5)=1,所以由函数图象可知当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点,所以正确.因为函数在-1,0上单调递增,且函数的最大值为2,所以要使当x-1,t时,f(x)的最大值是2,则t0即可,所以t的最小值为0,所以正确.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)是一次函数,x2f(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.【解析】由f(x)为一次函数,知f(x)为二次函数.设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.把f(x),f(x)代入方程x2f(x)-(2x-1)f(x)=1,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.要使方程对任意x恒成立,则需有a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,故f(x)=2x2+2x+1.18.(12分)设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0),若f(x)在(0,1上的最大值为,求a的值.【解析】函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)=-+a,当x(0,1时,f (x)=+a>0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a,因此a=.19.(12分)(2020·西安高二检测)已知f(x)为函数f(x)的导函数,且f(x)=e2x+2f(0)ex-f(0)x.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)由f(0)=1+2f(0),得f(0)=-1,因为f(x)=2-2ex-f(0),所以f(0)=-f(0),解得f(0)=0.(2)因为f(x)=-2ex,则f(x)=2ex(ex-1).当x(-,0)时,f(x)<0,则函数f(x)在(-,0)上单调递减;当x(0,+)时,f(x)>0,则函数f(x)在(0,+)上单调递增.故f(x)在x=0处取得极小值,极小值为-1,无极大值.20.(12分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值.(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围.【解析】(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),即a+1=1+b,2a=3+b,解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h(x)=3x2+6x-9.令h(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h(x)在(-,2上的变化情况如下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,2)2h(x)+0-0+h(x)28-43所以,当k-3时,h(x)在k,2上的最大值为h(-3)=28;当-3<k<2时,h(x) 在k,2上的最大值小于28.所以k的取值范围是(-,-3.21.(12分)(2019·全国卷)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f(x)为f(x)的导数.(1)证明:f(x)在区间(0,)上存在唯一零点.(2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.【解析】(1)设g(x)=f(x),则g(x)=cos x+xsin x-1,g(x)=xcos x.当x时,g(x)>0;当x时,g(x)<0,所以g(x)在上单调递增,在上单调递减.又g(0)=0,g>0,g()=-2,故g(x)在(0,)上存在唯一零点.所以f(x)在(0,)上存在唯一零点.(2)由(1)知,f(x)在(0,)上只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)>0;当x(x0,)时,f(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减.又f(0)=0,f()=0,所以当x0,时,f(x)0.所以ax0恒成立,又因为x0,所以a0.因此,a的取值范围是(-,0.22.(12分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P=(其中c为小于6的正常数)(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品).已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?【解析】(1)当x>c时,P=,所以T=x·2-x·1=0.当1xc时,P=,所以T=(1-)·x·2-()·x·1=.综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:T=(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0,当1xc时,T=,令T=0,解得x=3或x=9.因为1xc,c<6,所以()当3c<6时,Tmax=3,此时x=3.()当1c<3时,由T=,知函数T=在1,3)上递增,所以Tmax=,此时x=c.综上,若3c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.关闭Word文档返回原板块