定积分的简单应用高考数学总复习高中数学课时训.doc
定积分的简单应用基础自测1.将由y=cosx,x=0,x=,y=0所围图形的面积写成定积分形式为 .答案 cosxdx+|cosxdx|2.一物体沿直线以v=3t+2 (t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3 s6 s间的运动路程为 m.答案 46.53.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N，变力F做的功W为 J.答案 104.曲线y=cosx（ 0x）与坐标轴所围成的面积是 .答案 35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1，则棒的质量M为 .答案 例1 求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解 由方程组解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一 选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=-x，所以S=-(-)dx=2xdx=2·x|=，S=4-x-(-)dx=(4x-x2+x)|=,于是：S=+=18.方法二 选y作积分变量，将曲线方程写为x=及x=4-y.S=（4-y）-dy=(4y-)|=30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值. 解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=（x-x2）dx=()|=-=.6分抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1=0,x2=1-k,9分所以=（x-x2-kx）dx=|=(1-k)，12分又知S=，所以(1-k)=，于是k=1-=1-.14分例3 一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程.解 由速度时间曲线易知，v（t）=由变速直线运动的路程公式可得s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt=t2|+30t|+（-t2+90t）|=1 350 (m).答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S.解 方法一 由得抛物线与直线的交点为P（1，-1），Q（9，3）（如图）.S=-(-)dx+(-)dx=2dx+(-+)dx= |+（x-+|=+=.方法二 若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)|=(9+9-9)-(1-3+)=.2.如图所示,阴影部分的面积是 .答案 3.一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.解 物体的速度v=x(t)=(bt3)=3bt2,媒质阻力f阻=kv2=k·（3bt2）2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k0)当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=,阻力做的功是：W阻=f阻dx=kv2·vdt=kv3dt=k（3bt2）3dt=kb3=k=ka2.一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为 .答案 g(x)-f(x)dx+f(x)-g(x)dx2.设f（x）=则f（x）dx= .答案 3.设f(x)=sintdt,则f（f（）= .答案 1-cos14.一物体在力F（x）= (单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m)处，则力F（x）做的功为 J.答案 465.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为 J.答案 6.函数F(x)=t(t-4)dt在-1,5上的最大值为 ，最小值为 .答案 0 -7.汽车以v=3t+2 (单位：m/s）作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.答案 6.58.若f(x)是一次函数，且f(x)dx=5, xf(x)dx=,那么函数f(x)的解析式是 .答案 f(x)=4x+3二、解答题9.证明：把质量为m（单位：kg）的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W=G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径.证明 根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力为f（r）=G·，其中G为引力常数.则当质量为m的物体距地面高度为x(0xh)时，地心对它的引力f（x）=G·.故该物体从地面升到h高处所做的功为W=f（x）dx=G··dx=GMmd（k+x）=GMm|=GMm=G·.10.设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.（1）求常数a,b的值；（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.解 （1）由题意知f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2且f(1)=0,即，解得a=0,b=-3,即f(x)=x3-3x.(2)作出曲线y=x3-3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x3-3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.所以(-,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等.所以所求图形的面积为S=20-(x3-3x)dx=-2（x4-x2）|=.11.如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.（1）求使PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.（1）解 解方程组，得x1=1,x2=-4.抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A（1，3），B（-4，-12），P点的横坐标a(-4,1).点P（a,b)到直线y=3x的距离为d=,P点在抛物线上，b=4-a2，=·(4-3a-a2)= (-2a-3)=0,a=-，即当a=-时，d最大，这时b=4-=,P点的坐标为（-,）时，PAB的面积最大.（2）证明 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,位于x=-右侧的面积为S1.S=（4-x2-3x)dx=,S1=（4-x2-3x)dx=,S=2S1,即直线x=-平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.12.在区间0，1上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴、x=t,x=1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2，（1-t），即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分的面积S为S=S1+S2=t3-t2+（0t1）.S(t)=4t2-2t=4t(t-)=0时，得t=0，t=.当t=时，S最小，最小值为S()=.
