等差数列、等比数列知识点梳理.pdf
等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列， 记：daann1（d为公差） （2n，*nN）2、等差数列通项公式：1(1)naand，1a为首项，d为公差推导过程：叠加法推广公式：()nmaanm d变形推广：mnaadmn3、等差中项（1） 如果a，A，b 成等差数列，那么 A叫做a与b 的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4、等差数列的前 n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn前 N相和的推导 : 当 mnpq 时, 则有qpnmaaaa， 特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa。 （注：12132nnnaaaaaa， ）当然扩充到 3 项、4 项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若daann1或daann 1(常数Nn)na是等差数列（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中A、B是常数）。6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发na是等差数列7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、 d 、n、na及nS，其中1a、 d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为 d ） ；偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad, （注意；公差为2d ）8、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差 d ； 前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0。（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当 mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa。 （注：12132nnnaaaaaa， ）当然扩充到 3 项、4 项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4）na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列【新数列可以化为一次函数的形式】 (5) 若na 是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列推导过程： (6) 数列na为等差数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列推导过程：（7）na、nb的前n和分别为nA、nB，则2121nnnnaAbB（8）等差数列na中，若mSn，nSm，则m nSmn（1）若,nmam an，则0m na（2）推导：2nSAnBn解出 A和 B 就可以推导出（ 1）（2）式直接用推广公式即可 (9) 求nS的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值或求na中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为2pqn等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：12nnaq qna0， q为公比2、通项公式：11nnaa q，1a为首项， q为公比推广公式：n mnmaa qnmnmaqa3、等比中项（1）如果,a A b成等比数列， 那么 A叫做a与 b 的等差中项即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前 n 项和nS公式：(1) 当1q时，1nSna(2) 当1q时，11111nnnaqaa qSqq1111nnnaaqAA BA BAqq（,A B A B为常数）推导过程：5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na为等比数列（2） 等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）na为等比数列（3） 通项公式：0nnaA BA Bna为等比数列（4） 前 n 项和公式：,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数na为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnaqana为等比数列7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、 q、n、na及nS，其中1a、 q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：11nnaa q如奇数个数成等比， 可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为 q，中间项用a表示） ；注意隐含条件公比 q 的正负8、等比数列的性质：(1) 当1q时等比数列通项公式1110nnnnaaa qqA BA Bq是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q前 n 项和1111111111nnnnnnaqaaqaaSqAA BA BAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,n*N,在等比数列na中,有n mnmaa q,特别的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 mnst (, , ,m n s t*N),则nmstaaaa。特别的 ,当2mnk 时 ,得2nmkaaa(4) 列na,nb为等比数列 ,则数列nka,nk a,kna,nnk abnnab(k 为非零常数) 均为等比数列。【可以化为0nnaA BA Bna为等比数列】(5) 数列na为等比数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等比数列(6) 如果na是各项均为正数的等比数列,则数列logana是等差数列(7) 若na为等比数列 ,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8) 若na为等比数列 ,则数列12naaa,122nnnaaa, 21223nnnaaa成等比数列备注：和（ 7）本质上是一样的。(9) 当1q时，当1q0时，1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列, 1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列na中, 当项数为 2n (n*N)时,1SSq奇偶,。(11)若na是公比为 q 的等比数列 ,则nnmnmSSqS
