等差数列知识点及类型题.pdf
学习好资料欢迎下载等差数列知识点及类型题一、数列由na与nS的关系求na由nS求na时，要分 n=1 和 n 2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。例 1根据下列条件，确定数列na的通项公式。nnnSaa222,0分析：将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。（ 1）通项法：若数列na 的通项公式为n 的一次函数，即na=An+B,则na 是等差数列；（ 2）前 n 项和法：若数列na的前 n 项和nS是2nSAnBn的形式（ A，B是常数），则na是等差数列。注： 若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例 2已知数列 na 的前 n 项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSS Sna（ 1）求证： 1nS 是等差数列；（ 2）求na的表达式。【变式】已知数列 an的各项均为正数，a11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa2nanp(pR)，学习好资料欢迎下载则an的通项公式为_（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式na=1a+（ n-1 ） d及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan nSnad，共涉及五个量1a，na，d,n, nS, “知三求二”，体现了用方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注： 因为11(1)222nSdddnaann，故数列 nSn 是等差数列。例 3已知数列 nx 的首项1x=3，通项2(,)nnxpnq nNp q为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（ 1）,p q的值；（ 2）数列 nx的前 n 项和nS的公式。分析： （1）由1x=3 与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,p q；（ 2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若 d0, 则数列递增；若d0,d0, 且满足100nnaa，前 n项和nS最大；（ 2）若 a10 ，且满足100nnaa，前 n 项和nS最小；（ 3）除上面方法外，还可将na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。例 4在等差数列na中，161718936aaaa，其前 n 项和为nS。（ 1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n 的值；（ 2）求12nnTaaa。分析：（1）可由已知条件，求出a1,d, 利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（ 2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。例 5已知数列na是等差数列。（ 1）若,(),;mnm nan am mna求（ 2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求【变式】已知数列 an 的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3. (1)求数列 an 的通项公式；学习好资料欢迎下载(2)设数列 bn的通项公式是bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数n，总有 Tn0，anan112，于是 an是等差数列，故an1(n 1) 12n12. （二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式na=1a+（ n-1 ） d及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan nSnad，共涉及五个量1a，na，d,n, nS, “知三求二”，体现了用方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注： 因为11(1)222nSdddnaann，故数列 nSn 是等差数列。例 3已知数列 nx 的首项1x=3，通项2(,)nnxpnq nNp q为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（ 1）,p q的值；（ 2）数列 nx的前 n 项和nS的公式。分析： （1）由1x=3 与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,p q；（ 2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答 ：（ 1）由1x=3 得23pq又454515424 ,25 ,2xpq xpqxxx且，得5532528pqpq由联立得1,1pq。（ 2）由（ 1）得2n nnx，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若 d0, 则数列递增；若d0,d0, 且满足100nnaa，前 n项和nS最大；（ 2）若 a10 ，且满足100nnaa，前 n 项和nS最小；（ 3）除上面方法外，还可将na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函学习好资料欢迎下载数的图象或配方法求解，注意nN。例 4在等差数列na中，161718936aaaa，其前 n 项和为nS。（ 1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时n 的值；（ 2）求12nnTaaa。分析：（1）可由已知条件，求出a1,d, 利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（ 2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答： （1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，1791617181717336,12,3,179aaaaaaad91(9)363,360nnaandnan，令13630,: 2021,3600nnannan得202120 60( 3)6302SS，当 n=20 或 21 时，nS最小且最小值为-630. （ 2）由（ 1）知前 20 项小于零，第21 项等于 0，以后各项均为正数。2( 60363)312321.222nnnnnSnn当时， T2212122( 60363)312321221260.2223123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnnTnnn当时，综上，例 5已知数列na是等差数列。（ 1）若,(),;mnm nan am mna求（ 2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求解答： 设首项为1a，公差为d，（1）由,mnan am，1nmdmn()( 1)0.m nmaamnm dnn（ 2）由已知可得11(1)2,(1)2n nmnadm mnmad解得221.2()nmmnmnamnmndmn1()(1)()()2m nmn mnSmn admn【变式】已知数列 an 的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3. (1)求数列 an 的通项公式；(2)设数列 bn的通项公式是bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数n，总有 Tn1. (1)解当 n1 时，由 2Sn3an3 得， 2a13a1 3，a13. 当 n2 时，由 2Sn3an3 得，2Sn13an13. 学习好资料欢迎下载两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即 2an3an3an1，an3an1，又 a1 30， an是等比数列，an3n. 验证：当n1 时， a13 也适合 an3n. an的通项公式为an 3n. (2)证明bn1log3an log3an11log33n log33n11(n1)n1n1n1，Tnb1 b2 bn(112)(1213)(1n1n1) 11n11.跟踪训练1. 已知等差数列首项为2，末项为 62，公差为 4，则这个数列共有（ ）A13 项 B14 项 C15 项 D16 项2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a 为常数，则公差d= （ ）3. 在等差数列 an 中，若 a1+a2=-18，a5+a6=-2，则 30 是这个数列的（）A第 22 项 B第 21项 C第 20项 D第 19 项4. 已知数列 a，-15，b，c，45 是等差数列，则a+b+c的值是 （ ）A-5 B 0 C5 D10 5. 已知等差数列 an 中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则 a1= （ ）A-1 B -3 C -5 D -7 6. 已知等差数列 an 满足 a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是（ ）7. 已知数列 an 是等差数列，且 a3+a11=40，则 a6+a7+a8等于 （ ）A84 B 72 C60 D43 8. 已知等差数列 an 中，a1+a3+a5=3，则 a2+a4= （ ）A3 B2 C1 D-1 9. 已知数列na：3，7，11，15，19 ，则191在此数列na中应是（）A第 21 项 B第 41项 C第 48项 D第 49 项10.已知数列na中，31a前n和1(1)(1) 12nnSna（1）求证：数列na是等差数列（2）求数列na的通项公式（3）设数列11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。学习好资料欢迎下载
