对数函数知识点总结.pdf

对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：Nxalog（a 底数，N 真数，Nalog 对数式）说明：1注意底数的限制0a，且1a；2xNNaaxlog；3注意对数的书写格式两个重要对数：1常用对数：以10 为底的对数Nlg；2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：1Ma(log)NMalogNalog；2NMalogMalogNalog；3naMlognMalog)(Rn注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b） 利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog； （2）abbalog1log（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且) 1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0， +） 注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a2、对数函数的性质：a1 0a0 得0 x，函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（ 3 ） 由9-02x得 -33x， 函 数)9(log2xya的 定 义 域 是33xx例 2求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。解： （1）125xy115( )log (2)fxx(-2)x；（2）211-22xy-112( )log ( - 2)fxx5(2)2x例 4比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a. 解： （1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log 3.42log 8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；（3） 当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数， 于是log 5.1alog 5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log 5.1alog 5.9a例 5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6；（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3解： （1）66log 7log 61，77log 6log 71，6log 77log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8log 10，3log2log 0.8 (3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3例 7求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx； （3）2log (47)ayxx（0a且1a） 解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域为2(,log 3（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log 3ay，即值域为log3,)a，当01a时，log 3ay， 即值域为(,log3a例 8判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x为奇函数。例 9求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(, 2上递减，又2320 xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增， 在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 10若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2( )ug xxaxa，函数2logyu为减函数，2( )ug xxaxa在 区 间(,13)上 递 减 ， 且 满 足0u， 132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3,2【例1】 (1)y =log(2)y =11log(a0a1)(3)f(x)01y = flog(3x)12a13求函数的定义域求函数 ，且 的定义域已知函数的定义域是，求函数的定义3221xxxa()解(1)由或 log()()1232210322102103221132 210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx121122312231 或 xxxxx 所求定义域为 x|23x1解 (2)1loga(x a) 0， loga(x a) 1当 a1 时， 0 xaa，函数的定义域为( a，0) 当 0a1 时， xaa，函数的定义域为(0 ， ) 解 (3)f(x)01y = flog(3x)13的定义域为，函数有意义，必须满足 ，即， ， 故函数的定义域为，0log (3x)1loglog (3x)log13133x12xy = flog(3x)2131313131318383【例2】y =10 x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110 x域和值域解y =10y1y =10(1y)10= y10=y1y00y1xxxx已知函数的定义域为， ，由得， ，即为函数的值域R110110 xx由得，即反函数10=y1yx = lgy1yf(x) = lgx1xx1反函数的定义域为(0 ，1) ，值域为yR【例 3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg(x) (2)y=log2|x 1| (3)y =|log (x1)|(4)ylog (1x)122，解 (1)y=lg(x) 的图像与y=lgx 的图像关于y 轴对称，如图283 所示，单调减区间是( ， 0) 解 (2)先作出函数y=log2|x| 的图像，再把它的图像向左平移1 个单位就得ylog2|x 1| 的图像如图28 4 所示单调递减区间是( ， 1) 单调递增区间是( 1， ) 解 (3)y = log x1y = log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到的图像，保留其在x轴及 x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到轴上方，就得到的图像如图 xy =|log (x1)|28512所示单调减区间是 ( 1，2 单调增区间是 2 ， ) 解 (4)函数 y=log2( x) 的图像与函数y=log2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log2( x) 的图像，再把ylog2( x) 的图像向右平移1 个单位得到y=log2(1 x) 的图像如图286 所示单调递减区间是( ， 1) 【例 4】图 28 7 分别是四个对数函数，y=logaxy=logbxy=logcx y=logdx的图像，那么a、b、c、 d 的大小关系是 Adcba Ba bcd Cbadc Db cad 解选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个x1 的值，易得ba1dc【例 5】已知 loga3logb3，试确定a 和 b 的大小关系解法一令 y1=logax，y2=logbx， logaxlogb3，即取 x3 时， y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1) 当 loga3logb30 时，由图像288，取 x=3，可得 ba1(2) 当 0loga3logb3 时，由图像289，得 0 ab1(3) 当 loga30logb3 时，由图像2810，得 a1b 0【例6】aba1logloglog alog b2abba若 ，则、的大小abba顺序是 ：_解aba1011logab0logba00log a1log b1aba1a1loglog a1logloglog alog b2abba2bbabba ， ， ， ， ， 由 得 ，故得：abbababaabba【例8】f(x) = log (x)(a0a1)a已知函数 ，且 ，判断其12x奇偶性解法一已知函数的定义域为R ，则 xR f(x) = log ( 1+ xx)= loga2a()()111222xxxxxx= log= log=logaaa1111122222xxxxxxxxf x()( )f(x)是奇函数解法二已知函数的定义域为R 由 f(x)f(x) = log ( 1+ xx)log( 1+ xx)= log1+ x1+ xa22a22()()xx=loga1=0 f(x)=f(x)，即 f(x)为奇函数单元测试一、选择题（每小题5 分，共 50 分） . 1对数式baa)5(log2中，实数 a的取值范围是（）A)5 ,(B(2,5) C),2(D)5 ,3()3 ,2(2如果 lgx=lga+3lgb5lgc ，那么（）Ax=a+3bc Bcabx53C53cabxDx=a+b3c33设函数 y=lg(x25x) 的定义域为 M ，函数 y=lg(x 5)+lgx 的定义域为 N，则（）AM N=R BM=N CMN DMN 4若 a0， b0，ab1，a21log=ln2 ，则 logab与a21log的关系是（）Alogaba21logBlog ab=a21logC logaba21logDlogaba21log5若函数 log2(kx2+4kx+3) 的定义域为 R，则 k的取值范围是（）A43,0B43,0C43,0D,430 ,(6下列函数图象正确的是（） A B C D 7已知函数)(1)()(xfxfxg，其中 log2f(x)=2x，xR，则 g(x) （）A是奇函数又是减函数B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数D是偶函数又是减函数9如果 y=log2a 1x在(0 ，+)内是减函数，则a的取值范围是（）A a 1 B a 2 Ca2D21a10下列关系式中，成立的是（）A10log514log3103B4log5110log3031C03135110log4logD0331514log10log二、填空题： （每小题 6 分，共 24 分） . 11函数)2(log221xy的定义域是，值域是 . 12方程 log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2 的解为 . 13将函数xy2的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将 C1向上平移一个单位得到图象 C2，作出 C2关于直线y=x 对称的图象C3，则 C3的解析式为 . 14函数 y=)124(log221xx的单调递增区间是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76 分 ). 15 （12分）已知函数)(log)1(log11log)(222xpxxxxf. (1) 求函数 f (x)的定义域； (2) 求函数 f (x)的值域 . 16（ 12分）设 x，y，z R+，且 3x=4y=6z. (1)求证：yxz2111; (2)比较 3x，4y，6z的大小 . 17 （12分）设函数)1lg()(2xxxf. (1) 确定函数 f (x)的定义域；(2) 判断函数 f (x)的奇偶性；(3) 证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；(4) 求函数 f(x) 的反函数 . 18现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成 2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301） . 20 （14 分）已求函数)1,0)(log2aaxxya的单调区间 . 必修 1 数学章节测试（7）第二单元（对数函数）一、 DCCAB BDBDA 二、 112, 112，,0； 12 0； 131) 1(log2xy；14)2,(；三、15 解： (1) 函数的定义域为(1， p). (2) 当p3时，f (x) 的值域为 ( ， 2log2(p+1)2) ；当1p3 时，f (x)的值域为( ， 1+log2(p+1).16 解： (1) 设3x=4y=6z=t. x0，y0，z0， t 1，lgt 0，6lglg,4lglg,3lglglog3tztyttxyttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11. (2)3x 4y6z.17解： (1) 由010122xxx得xR，定义域为 R. (2)是奇函数 . (3)设x1，x2R ，且x1 x2，则11lg)()(22221121xxxxxfxf. 令12xxt，则)1()1(22221121xxxxtt. =)11()(222121xxxx =11)()(2221212121xxxxxxxx =1111)(222121222121xxxxxxxxx1x2 0，01121xx，01222xx，0112221xx，t1t2 0， 0t1t2，1021tt，f (x1) f (x2) lg1=0 ，即 f (x1) f (x2) ，函数 f(x)在R上是单调增函数. (4) 反函数为xxy1021102(xR). 18解：现有细胞100 个，先考虑经过1、2、 3、4 个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为1131001002100222；2 小时后，细胞总数为13139100100 210022224；3 小时后，细胞总数为191927100100210024248；4 小时后，细胞总数为127127811001002100282816；可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：31002xy，xN由103100102x，得83102x，两边取以10 为底的对数，得3lg82x，8lg 3lg 2x，8845.45lg3lg 20.4770.301，45.45x. 答：经过46 小时，细胞总数超过1010个. 19解：（1）过 A,B,C, 分别作 AA1,BB1,CC1垂直于 x轴，垂足为 A1,B1,C1，则S=S梯形 AA1B1B+S梯形 BB1C1CS梯形 AA1C1C. )441(log)2(4log232231ttttt（2）因为 v=tt42在),1 上是增函数 , 且v5, .541在vv上是减函数，且10得0 x1，所以函数)(log2xxya的定义域是 (0,1) 因为 02xx=4141)21(2x，所以，当 0a1时, 41log)(log2aaxx函数)(log2xxya的值域为41log,a当0a1 时，函数)(log2xxya在21, 0上是增函数，在1 ,21上是减函数 .