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数学选修 2-2 知识点总结导数及其应用一导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数( )yf x在0 xx处的瞬时变化率是000()()limxf xxf xx，我们称它为函数( )yf x在0 xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxf xxf xx例1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位： m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系2( )4.96.510h ttt运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？解：根据定义0(2)(2)(2)lim13.1xhxhvhx即该运动员在t=2s 是 13.1m/s,符号说明方向向下2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。 容易知道， 割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx，当点nP趋近于P时， 函数( )yf x在0 xx处的导数就是切线PT 的斜率 k，即0000()()lim()nxnf xf xkfxxx3.导函数： 当 x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数， 我们称它为( )f x的导函数 . ( )yf x的导函数有时也记作y,即0()( )( )limxf xxf xfxx二.导数的计算(1)1.函数( )yf xc的导数2.函数( )yf xx的导数3.函数2( )yf xx的导数4.函数1( )yf xx的导数(2)基本初等函数的导数公式: 1 若( )f xc(c 为常数 )，则( )0fx；2 若( )f xx,则1( )fxx; 3 若( )sinf xx,则( )cosfxx4 若( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若( )xf xa,则( )lnxfxaa6 若( )xf xe,则( )xfxe7 若( )logxaf x,则1( )lnfxxa8 若( )lnf xx,则1( )fxx(3)导数的运算法则1. ( )( )( )( )f xg xfxg x2. ( )( )( )( )( )( )fxg xfxg xf xgx3. 2( )( )( )( )( )( )( )f xfxg xf xgxg xg x(4)复合函数求导( )yf u和( )ug x,称则y可以表示成为x的函数 ,即( ( )yfg x为一个复合函数( ( )( )yfg xg x三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间( , )a b内，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递增；如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x的极值的方法是: (1) 如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极大值 ; (2) 如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极小值 ; 3.函数的最大 (小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系. 求函数( )yf x在 , a b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值；（2）将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( )f a，( )f b比较， 其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大 (小)值,从而解决实际问题第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致 )性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想 ); (3) 一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的 . (4) 一般情况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二演绎推理 (俗称三段论 ) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法. 2.步骤 :A.命题在 n=1（或0n）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立C.证明 n=k+1 时命题也成立 , 完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n=0n,且nN)结论都成立。考点四证明（1）反证法 : （2）分析法 : （3）综合法 : 第三章数系的扩充和复数的概念考点一 :复数的概念(1) 复数 :形如(,)abi aR bR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类 :复数(,)abi aR bR中,当0b,就是实数 ; 0b,叫做虚数 ;当0,0ab时,叫做纯虚数 .(3) 复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数 :当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。考点二：复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行（1）设12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则12()()zzacbd i（2）12()()zzacbdadbc i（3）12222()()(0)zacbdadbc izzcd2,几个重要的结论(1) 2222121212|2(| )zzzzzz(2) 22|zzzz(3)若z为虚数 ,则22|zz3.运算律(1) mnm nzzz;(2) ()mnmnzz;(3)1212()(,)nnnzzzzm nR4.关于虚数单位i 的一些固定结论：（1）21i（2）3ii（ 3）41i（ 2）2340nnnniiii计数原理知识点知识网络一：两个计数原理1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有1m种不同的办法；在第 2类办法中有2m种不同的方法； . 在第n类办法中有nm种不同的方法那么， 完成这件事共有nmmmN21中不同的方法.2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有1m种不同的方法；做第 2步有2m种不同的方法； . 做第n步有nm种不同的方法那么， 完成这件事共有nmmmN21种不同的方法.3、两个计数原理的区别二、排列与组合1. 排列（1）排列定义：一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。（2）排列数： 从n个不同元素中取出)(nmm个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号mnA表示 . （3）排列数公式：其中*,Nmn，并且nm特殊的，当nm时，即有nnA称为n的阶乘 ，通常用! n表示，即! nAnn!121mnnmnnnnAmn12321nnnAnn2. 组合：（1）组合定义： 一般地， 从n个不同元素中取出)(nmm个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。（2）组合数： 从n个不同元素中取出)(nmm个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号mnC表示。（3）组合数公式：其中*,Nmn，并且nm，规定10nC注意：判断一个具体问题是否为组合问题, 关键是看取出的元素是否与顺序有关, 有关就是排列, 无关便是组合. 判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质：排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列。它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素； 从位置的特殊性上讲， 对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置。即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；(7 ） 平均法：若把 n 个不同元素平均分成k 组， 每组 n 个， 共有kknnnnknknACCC)1(；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rkrnrrAA；（10）指定元素排列组合问题：从 n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合） ，规定某 r个元素都包含在内。 先 C 后 A 策略，排列kkrkrnrrACC；组合rkrnrrCC；!121mnmnmmnnnnCmnmnnmnCCmnmnmnCCC11从 n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都不包含在内。先C 后 A 策略，排列kkkrnAC；组合krnC；从 n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合） ，规定每个排列 （或组合）都只包含某 r个元素中的 s个元素。 先 C后 A 策略， 排列kkskrnsrACC；组合skrnsrCC。二. 二项式定理1. 一般地，对于任意正整数n，都有01()()nnnrnrrnnnnnnabC aC a bC abC bnN这个公式就叫做 二项式定理 ，右边的多项式叫做()nab的二项展开式。其中各项的系数),2, 1 ,0(nrCrn叫做二项式系数。注意： （1）二项展开式有 n+1项；（2）二项式系数 与二项展开式系数 是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依 a 的降幕排列， b的升幕排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba) 1()1()(110；nrrnnnnxxCxCxCx22111)1(；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题。2. 二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1 项1rTrrnrnbaC),2, 1 ,0(nrCrn叫做二项展开式的通项公式。它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用。注意： （1） 通项公式表示二项展开式的第r+1 项，注意二项式系数和系数的分别。（2）字母 b 的次数和组合数的上标相同；（3）a 与 b 的次数之和为 n。3、二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等对称性）(mnnmnCC，（2）增减性与最大值： 当 k时，二项式系数是逐渐增大的。由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的， 且在中间取最大值。 当 n 为偶数时， 则中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，则中间的二项式系数与相等， 且同时取得最大值。求展开式系数的最大问题，首先要区分“展开式系数最大 ” “二项式系数最大”以及“最大项 ”等；其次要注意展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正数的前提下， 它们的最大值只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式组即可。（3）3 对称性）(mnnmnCCmnmnmnCCC11(4) 当n为偶数时，二项式系数最大2nnC ;当n为奇数时，最大2121nnnnCC.(5)各二项式系数的和 ：nnrnnnnnCCCCC210) 11(=n2。(6)15314202nnnnnnnCCCCCC（令1, 1 ba）注意： （1）求二项式所有项的系数和，可以采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为 1，即nnrnnnnnCCCCC210) 11 (=n2。一般地 ，多项式f(x)=+x+x 2 +的各项系数和为f(1) ，奇次方系数和为f(1)-f(-1) ，偶次项系数和为 f(1)+f(-1) 。（2）关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法。4 二项式定理的应用（1）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nba)(展开，另一方面可将展开式合并为二项式nba)(，即二项式定理从左到右使用为展开，从右到左使用可以化简、求和或证明，这种公式的逆用不可忽视。（2）由于二项式定理是一个恒等式，因此通过对a、 b 取不同的特殊值，可得到一些给解决某些问题带来方便的特例恒等式。