选修-坐标系与参数方程知识点及经典例题.pdf

坐标系与参数方程*选考内容 坐标系与参数方程 高考考试大纲要求：1坐标系： 理解坐标系的作用 . 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别， 能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程 .通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 . 2参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲一、平面直角坐标系伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换).0( ,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变换 ，简称伸缩变换 。方法 1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、y, 代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例: ：在一个平面直角坐标系中, 求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法 2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中, 求下列图形变换的伸缩变换: 二、极坐标1. 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 O，叫做 极点；自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位( 通常取弧度 ) 及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个 极坐标系 。2. 点M的极坐标： 设M是平面内一点，极点 O与点M的距离|OM叫做点M的极径，记为；以极轴 Ox为始边，射线 OM 为终边的xOM 叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标 ，记为),(M. 极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(. 3. 若0, 则0, 规定点),(与点),(关于极点对称， 即),(与),(表示同一点。如果规定20,0， 那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。4. 极坐标与直角坐标的互化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，( ，)(1)极坐标化直角坐标(2)直角坐标化极坐标方法 3：极坐标与直角坐标的互化例：（1）点 M322，的极坐标是（2）点 M32, 2的直角坐标是练：三、简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点 (0，0) r (0 2 ) 圆心在点 (r，0) 2rcos_(22) 圆心在点 (r，2) 2rsin_(0 ) 圆心在点 (r，) 2rcos_(232) 圆心在点 (r，32) 2rsin_(0) (2)一般情形：设圆心C(0，0)，半径为 r，M( ，)为圆上任意一点，则|CM|r， COM| 0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为220cos( 0)20r20 即2. 直线的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为(1) ( R) 或 ( R) (2) ( 0) 和 ( 0) 过点 (a，0)，且与极轴垂直 cos_a 过点a，2，且与极 sin_a (0 ) 轴平行过点 (a，0)倾斜角为 sin( )asin (0 )(2)一般情形，设直线l 过点 P(0，0)，倾斜角为 ，M( ，)为直线 l 上的动点，则在 OPM中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为 sin( )0sin( 0)方法 4：直角坐标方程与极坐标方程的互化方法 5：极坐标系下的运算方法 6：曲线极坐标方程的求法四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）1、柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设 P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q，用 ( ，)( 0，02 )表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ ，z）(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组( ，z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 ( ，z)叫做点 P 的柱坐标， 记作 P( ，z)，其中0，02，zR(2)空间点 P 的直角坐标 (x，y，z)与柱坐标 ( ，z)之间的变换公式为x cos y sin zz2、球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设 P 是空间任意一点， 连接 OP，记|OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为，设 P 在 Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为 ，这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，)表示，这样，空间的点与有序数组 (r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系 )，有序数组 (r，)，叫做点 P 的球坐标，记作P(r，)，其中 r0，0， 0b0)的参数方程是xacos ybsin (是参数 )，规定参数 的取值范围是 0，2)(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y2a2x2b21(ab0)的参数方程是xbcos yasin (是参数 )，规定参数 的取值范围是 0，2)(3)中心在 (h， k)的椭圆普通方程为（xh）2a2（yk）2b21， 则其参数方程为xhacos ykbsin (是参数 )2双曲线的参数方程(1)中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线x2a2y2b21 的参数方程是xasec ybtan (为参数 )，规定参数 的取值范围为 0，2 )且 2，32(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2x2b21 的参数方程是xbtan yasec (为参数 )3抛物线的参数方程(1)抛物线 y22px的参数方程为x2pt2y2pt(t 为参数 )(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数方法 1：参数方程和普通方程的互化五、直线的参数方程1直线的参数方程经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos yy0tsin (t 为参数 )2直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数 t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点 M0的距离(2)当M0M与 e(直线的单位方向向量)同向时， t 取正数当 M0M与 e反向时， t 取负数，当M与 M0重合时， t03直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线，选取参数tM0M 得到的参数方程xx0tcos yy0tsin (t 为参数 )称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义一般地，过点M0(x0，y0)，斜率 kba(a，b 为常数 )的直线，参数方程为xx0atyy0bt(t 为参数 )，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义方法 2：求直线参数方程方法 3：参数方程问题的解决办法解决参数问题的一个基本思路：将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。方法 4：利用参数的几何意义解题六、渐开线与摆线（了解）1渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径为r，绳子外端 M 的坐标为 (x，y)，则有xr（cos sin ），yr（sin cos）(是参数 )这就是圆的渐开线的参数方程2摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线(2)半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为xr（ sin ），yr（1cos ）(是参数 )练习1曲线25()12xttyt为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,) (,0)52、B11(0,) (,0)52、C(0,4) (8,0)、D5(0,) (8,0)9、2把方程1xy化为以t参数的参数方程是（）A1212xtytBsin1sinxtytCcos1cosxtytDtan1tanxtyt3若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（）A23B23C32D324点(1,2)在圆1 8cos8sinxy的（）A内部B外部C圆上D与的值有关5参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（）A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线6两圆sin24cos23yx与sin3cos3yx的位置关系是（）A内切B外切C相离D内含7与参数方程为()2 1xttyt为参数等价的普通方程为（）A2214yxB221(01)4yxxC221(02)4yxyD221(01,02)4yxxy8曲线5cos()5sin3xy的长度是（）A5B10C35D3109点( , )P x y是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为（）A22B2 3C11D2210直线112()33 32xttyt为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为（）A(3, 3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)11若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则|PF等于（）A2B3C4D512直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（）A98B1404C82D934 313参数方程()2()ttttxeetyee为参数的普通方程为 _14直线22()32xttyt为参数上与点( 2,3)A的距离等于2的点的坐标是 _ 15直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_ 16设()ytx t为参数，则圆2240 xyy的参数方程为 _17求直线11:()53xtltyt为参数和直线2:2 30lxy的交点P的坐标，及点P与(1, 5)Q的距离18已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程（2）设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积19分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos21()sin2ttttxeeyee化为普通方程：（1）为参数，t为常数；（ 2）t为参数，为常数20已知直线l过定点3( 3,)2P与圆C：5cos()5sinxy为参数相交于A、B两点求：（ 1）若| 8AB，求直线l的方程；（2）若点3( 3,)2P为弦AB的中点，求弦AB的方程