四章多变数函数的微分学偏导数定义定义极限值.ppt

四章多变数函数的微分学偏导数定义定义极限值 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望定理4.1.1極限值的基本定理(1)極限值的唯一性:若存在，則其值必為唯一。(2)若且(與為常數)，則且為常數且2(3)若為多項式函數，則(4)若為有理函數，則其中與均為多項式函數且。(5)若存在且點以及點，則反之亦然。3一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在:若點及點，則(1)若且，而且，則不存在。(2)若，則不存在。(3)若，則不存在。4例1.試求下列各題的極限值。(1)若函數但，試決定。(2)若函數但，試決定。(3)若函數但，試決定。(4)若函數但，試決定。5解:(1)我們考慮通過原點之直線上的點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在6(2)我們考慮通過原點之直線上的點，則7(3)我們考慮通過原點之直線上的點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在8(4)我們考慮通過原點之直線上的點，則若，則我們有若，則我們有得知不存在9定義4.1.2連續函數在點連續在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即此時必須滿足下列三個條件:(1)函數值存在(即點必定在函數的定義域內)。(2)極限值存在。(3)(即“極限值等於函數值”)。當然，倘若函數在其定義域中的任意點均連續，則稱函數在中為連續函數。10定理4.1.2連續的基本性質(1)倘若與在點均為連續函數，則與與以及(為常數且)在點均為連續函數。(2)倘若為單變函數且為多變數函數，使得在點連續且在連續，則合成函數亦在點連續。(3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義域內均為連續函數。11例3.試討論下列各函數的連續性。(1)若且(2)12解:(1)點的定義域又考慮通過原點之直線上的點，則在點之外均為連續。13(2)點的定義域，且又在任何實數點均為連續。144.2偏導數與微分定義.2.1第一階偏導數假設函數被定義在點的某個鄰域內，則函數在點對的第一階偏導數為而函數在點對的第一階偏導數為15定義4.2.2第一階偏導數假設函數的定域義為，則函數對的第一階偏導數為而函數對的第一階偏導數為同理，函數對的偏導數為。事實上，的偏導數還有其它的通用符號:16例1.試求下列各函數的第一階偏導數。(1)解:(1)17定理4.2.1倘若為包含兩個自變數的函數，則與亦為包含兩個自變數的函數，而且與的第一階偏導數亦存在。定理.2.1裡四個函數稱為函數的第二偏導數，其常用的符號為18同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例如倘若為包含三個自變數的函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如19例2.若，試求，與解:20定理4.2.2假設為包含兩個變數的函數，倘若與在二度空間某開區域為連續，則;同理，倘若函數的高階偏導數在某開區域為連續，則，同理，倘若的高階偏導數為連續函數，則我們有21例3.若，若而且，試證明與均存在但不相等。證明:22我們得證23定義4.2.3可微分(的)假設為與的函數且定義在點的某個鄰域，倘若存在常數以及與的函數與，使得對任意向量且而言，恒有(1)。(2)當。則稱函數在點為可微分的。24定義4.2.4微分假設為與的函數且定義在點的某個鄰域，倘若存在常數以及與，則對任意向量且而言，我們稱函數在點的微分或全微分為因此，假設為與的函數，而且其第一階偏導數與均存在，則函數的全微分為25例4.試求函數(即)在各定點與向量的全微分。解:26定理4.2.3倘若函數在點為可微分的(differentiable)，而且，則證明:且當時我們有#27由定理4.2.3，我們因此得到亦即我們有其中。28例5.試利用微分法求的近似值。解:設則,取則即29例6.一等腰三角形的三邊長為呎、呎、呎且其頂角為弳。倘若把此三角形的兩等腰長增加一吋且頂角增加徑，試問其面積改變若干?解:兩腰長為且頂角為之等腰三角形的面積為取則其面積的改變量為平方呎30例7.倘若，若而且，試證明與均存在，但是函數在點是不可微分的。證明:取31則即不存在由定理4.2.3得知在點為不可微分的。32定理4.2.4倘若函數在點為可微分的，則函數在點為連續。證明:函數在點為可微分的取，則由定理7.2.3得知即由定義7.1.2得知函數在點為連續。#33定理4.2.5假設為二變數函數且定義在點的某個鄰或。倘若其一階偏導數與在存在且在點為連續函數，則函數在點為可微分的。總之，倘若為多變數函數，則我們得知(1)倘若函數在點為可微分的，則函數在點為連續。(2)倘若函數的一階導數存在且在點為連續，則函數在點為可微分的。即，若與均連續，則必可微分。(3)倘若函數的二階導數為連續函數，則;倘若函數的三階導數為連續函數，則有，高階導數則依此類推。344.3鏈導法則與隱函數的導數(thechainrule)定義7.3.1若為之一可微分函數，而又為之可微分函數，則於的導數存在，而且為定義7.3.2偏微分(偏導數)若為之一可微分函數，令而且對於之偏微分均存在，而且為;35定理4.3.1鏈導法則(thechainrule)(1)若為與之一可微分函數，而且及均為之可微分函數，則對於而言均為可微分函數，而且為(2)若為與之一可微分函數，令與而且與對於之偏微分均存在，則對於之一階偏導數均存在，而且為36由上面定理4.3.1得知，如果而且，則我們有;同理，如果而且，則我們有37例1.試求，若解:38例2.試求與，若解:39例3.倘若我們有試求解:40定理4.3.2隱函數的導數(1)若為與之一可微分函數，且為之一可微分函數，則對於而言為一微分函數，而且以及41(2)若為與以及之一可微分函數，且為與之一可微分函數，則對於與而言為一可微分函數，而且以及42例4.若滿足方程式試求與解:令則43定義4.4.1極值(extrema)設為二變數函數，為定域義的子集合且為上一點，則(1)當，我們稱為函數在的極大值(maximumvalue)。(2)當，我們稱為函數在的極小值(minimumvalue)。(3)當為函數在的極大值或極小值，我們稱為在的極值(extremevalue或extremum)。44定義4.4.2相對極值(relativeextremum)設為二變數函數，而且存在以為半徑且以點為圓心之點的鄰域，則(1)若，我們稱為函數在的相對極大值(relativemaximumvalue)或局部極大值(localmaximum)。(2)若，我們稱為函數在相對的極小值(relativeminimumvalue)或局部極小值(localminimum)。(3)若為函數在的相對極大值或相極小值，則我們稱為函數在的相對極值或局部極值。45定義4.4.3絕對極值(absoluteextremum)設為二變數函數且定義域為以及點，則(1)若，我們稱為函數的絕對極大值(absolutemaximum)。(2)若，我們稱為函數的絕對極小值(absoluteminimum)。(3)若為函數的絕對極大值或絕對極小值，則我們稱為函數的絕對極值。46定理4.4.1極值檢驗法(testforextrema)設為二變數函數且定義域為一開集合(openset)，而且在內函數的第一階與第二階偏導數均為連續。令函數的定義域為且，倘若存在一點使得與，則(1)若且，則為函數的相對極大值。(2)若且，則為函數的相對極小值。(3)若，則，則不為函數的極值，此時為函數圖形上的一馬鞍點(saddlepoint)或稱為鞍點。(4)若，則無法判斷是否為函數的極值。47例1.試求下列各函數的極值。(1)(2)48解:(1)且令且令與則或不為的極值且為圖形上的一鞍點。且為的相對極小值。49(2)令且令與50則且且且或或無法判斷下否為的極值。且為相對極大值。51例2.試求點與平面之間的最短距離。解:設平面上的一點，而且設點，則我們有由得到令函數52且令與平面上點與點有最短的距離為53例3.欲製造一具能容納立方米液體之無蓋長方體容器，則長、寬、高各為多少米，可使表面積材料為最少?解:設此長方體容器的長、寬、高分別為、米，則體積為依題意，使用最少的材料做此長方體意謂求表面積的極小值。54N525;令且令與此長方體底為一正方形且高為底之邊長的一半時可使用最少的材料，此時長為米、寬為米、高為米。55