数列知识点及常用解题方法归纳总结.pdf
1数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义：为常数，aad daandnnn111()等差中项：， 成等差数列xAyAxy2前 项和nSaannan ndnn11212性质：是等差数列an（ ）若，则；1mnpqaaaamnpq（）数列，仍为等差数列；2212aakabnnnSSSSSnnnnn，仍为等差数列；232（ ）若三个数成等差数列，可设为， ，；3adaad（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm（ ）为等差数列（ ， 为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn0 的二次函数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000当，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa313222331132Saanaannnnn12122131218n27）二、等比数列的定义与性质定义：（ 为常数，），aaqqqaa qnnnn1110等比中项：、 成等比数列，或xGyGxyGxy2前 项和：（要注意 ）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（ ）若，则1mnpqaaaamnpq（ ），仍为等比数列2232SSSSSnnnnn三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、；nnaS 求由（时，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法如：满足aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，naaannn2121212215212211时，12122得：nnaann21annnn141221()()练习数列满足，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，34、叠乘法例如：数列中，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann1335、等差型递推公式由，求，用迭加法aaf naaannn110( )naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：( )( )( )aafff nn123( )( )( )aafff nn023( )( )( )练习数列，求aaaanannnnn111132（）ann12316、等比型递推公式acad cdccdnn1010、 为常数，可转化为等比数列，设axc axnn 1acacxnn 11令，()cxdxdc11是首项为， 为公比的等比数列adcadccn111adcadccnn1111aadccdcnn11114练习数列满足，求aaaaannnn11934（）ann843117、倒数法，例如：，求aaaaannnn11122由已知得：1221211aaaannnn，11121aann111121aan为等差数列，公差为，11112121annnann21三、求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求ada ankkkn111解：由11111011aaaaddaadkkkkkk11111111a adaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn练习求和：111211231123n（ ，）aSnnn2113、错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项aba bnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn5如：Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn234122341121121：x SxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnn nn112312时，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121相加21211Saaaaaannnn练习已知，则f xxxfffffff( )( )( )( )( )2211212313414（由f xfxxxxxxxx( )1111111112222222原式fffffff( )( )( )( )121231341412111312）例 1 设 an是等差数列，若a2=3，a=13，则数列 an前 8 项的和为（）7A128 B 80 C64 D56 （福建卷第3 题）略解：a2 +a= a+a=16，an 前 8 项的和为64，故应选C718例 2 已知等比数列满足，则（）na122336aaaa，7aA 64B 81C 128D243 （全国卷第7 题）答案： A例 3 已知等差数列中，若，则数列的前 5 项和na26a515a2nnbanb等于（）6A30B 45C 90D186 （北京卷第7 题）略解：a -a=3d=9，d=3，b =，b =a=30，的前 5 项和等于90，52126a510nb故答案是 C例 4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）nnS244,20SSdA2 B3 C 6 D 7 （广东卷第4 题）略解：,故选 B.422412,3SSSdd例 5 在数列中，,其中为na542nan212naaaanbnL*nN,a b常数，则 （安徽卷第15 题）ab答案： 1例 6 在数列中，则（）na12a11ln(1)nnaannaA B2ln n2(1)lnnnC D（江西卷第5 题）2lnnn1lnnn答案： A例 7 设数列中，则通项 _ （四川卷第na112,1nnaaanna16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中11nnaan系数相同是找到方法的突破口1,nnaa略解：，112,1nnaaan111nnaan1221nnaan，将以上各式2331nnaanK3221aa211 1aa121 1a相加，得，123211nannnnL111122nnn nn故应填+1(1)2n n例 8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为 ( )12xA 6B 7C 8D9 ( 重庆卷第10 题)答案： B使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4 以前的例题例5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例 7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1 题，7浙江卷第 4 题，陕西卷第4 题，天津卷第4 题，上海卷第14 题，全国卷第19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例 9 已知 an是正数组成的数列，a1=1，且点（） （nN* ）在函数y=x2+11,nnaa的图象上 . ()求数列 an的通项公式；()若数列 bn满足 b1=1，bn+1=bn+，求证：2nabnbn+2b2n+1. （福建卷第20 题）略解：（）由已知，得an+1-an=1，又 a1=1,所以数列 an是以 1 为首项，公差为1的等差数列故an=1+(n-1)1=n.()由（）知，an=n，从而 bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1 . bn?bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, bnbn+2b21n21n对于第（）小题，我们也可以作如下的证明：b2=1,bnbn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12n（bn+1-21n21n2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0， bn-bn+20 ， anan1=5 (n 2) 当 a1=3 时， a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列 a1 3;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15， a1=2， an=5n3附加题解:引入字母 , 转化为递归数列模型.设第 n 次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.150nnba.3010730107)150(102109102109111111nnnnnnnnaaaaabaa即，于是)100(1071001nnaa11)107)(100(100nnaa21即.)100()107(10011aann.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100 人左右 .100limnna4.解：（）由可得，两式相减得121nnaS1212nnaSn112,32nnnnnaaa aan又21213aS213aa故是首项为，公比为得等比数列na1313nna（）设的公差为nbd由得，可得，可得25b315T12315bbb故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd等差数列的各项为正，nb0d2d213222nn nTnnn
