圆与方程知识点总结典型例题.pdf
-可编辑修改- 2 圆与方程1.圆的标准方程：以点C(a, b) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是( xa) 2( y b) 2r 2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2 y 2 r 2 .2.点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a. 点在圆内d r；b. 点在圆上d=r ；c. 点在圆外d r (2). 给定点M (x 0 ,y0 ) 及圆C : ( x a) 2 ( y b) 2r 2 . M 在圆 C 内( x 0a) ( y 0b) r M 在圆 C 上（x0a) 2( y 0b) 2r 2 M 在圆 C 外( x 0a) 2( y 0b) 2r 2（3 ）涉及最值：圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值PB min BN BC r PB max BM BC r 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值PA min AN r AC PA max AM r AC 2 2 -可编辑修改- 2 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 . 2 2 D E D 2 E 2 4F (1)当DE 4F 0 时，方程表示一个圆，其中圆心C , ，半径r . 2 2 2 (2)当 D 2E 24F 0 时，方程表示一个点D , E .2 2 (3)当D 2E 2 4F 0 时，方程不表示任何图形. 注 ： 方 程Ax 2Bxy Cy 2Dx Ey F 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B0 且A C 0 且D 2 E 2 4 AF 0 . 4. 直线与圆的位置关系：直线AxBy C 0 与圆( x a) ( y b) r 圆心到直线的距离dAa Bb C A2 B 2 1） d r直线与圆相离无交点；2） d r直线与圆相切只有一个交点；3） d r 直线与圆相交有两个交点；弦长|AB| =2 r 2 d2 r d d=r r d还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax By C 0 x2 y 2 Dx Ey F 求解，通过解0 2 2 -可编辑修改- （ 1）当0 时，直线与圆有2 个交点，直线与圆相交；（ 2）当0 时，直线与圆只有1 个交点，直线与圆相切；（ 3）当0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1 ）设两圆C1 : (x a1 ) 2 ( y b1) 2 r1 与圆C 2 : ( x 2 a 2 ) 2 ( y b2 ) 2 r22 ，圆心距d(a 1a ) 2 2 (b 1 b ) 2 2 d r1r2外离4条公切线；d r1 r2外切3条公切线；r1 r2d r1 r 2相交2条公切线；d r1r2内切1条公切线；0 d r1 r2内含无公切线；外离外切相交内切（2 ）两圆公共弦所在直线方程圆C1 ：x 2 y 2 D1 x E1 y F10 ，圆C2 ：x 2 y 2 D 2x E2 y F20 ，则D1 D2 x E1 E2 y F1 F20 为两相交圆公共弦方程. 的个数来判断：补充说明：若C1 与C2 相切，则表示其中一条公切线方程；-可编辑修改- 若C1 与C2 相离，则表示连心线的中垂线方程. （3 ）圆系问题1 1 1 2 2 2 上述圆系不包括C2 ；2）当1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）过 直 线A x B y C 0 与 圆x2y 2 Dx Ey F 0 交 点 的 圆 系 方 程 为x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y 1y 0k( x1x0 ) b y1R k(a x1 ) R21 求解 k，得到切线方程【一定两解】例 1. 经过点P(1 ， 2) 点作圆 (x+1) 2 +(y2) 2 =4 的切线，则切线方程为。(2) 过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，过两圆方程为2 C1 ：xx2 y2 y2 D x D1 x E y E1 y F F1x 2 0 和C 2：x2 y 2 D x y2 E y D 2x F E2 y 0 （F20 交点的圆系1 ）补充：-可编辑修改- 2 则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0 b)( yb) = r2特别地，过圆x 2 y 2 r 2 上一点P(x 0 , y 0 ) 的切线方程为x 0 x y 0 y r 2 .例 2. 经过点P( 4， 8) 点作圆 (x+ 7) 2+(y+8) 2 =9 的切线，则切线方程为。7. 切点弦(1) 过C：(xa)2( y b)2r 外一点P(x0 , y0 ) 作C 的两条切线，切点分别为A、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：( x0a )( x a) ( y0b)( y b) r 28. 切线长：若圆的 方程为 (x a)2 (y b) 2= r2 ， 则 过圆 外一 点P(x0 ,y0 ) 的 切 线 长为d= (x 0a) 2+ ( y0b) 2r 2 9. 圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例. 已知圆C1 ：x2 +y2 2x =0 和圆C2 ：x2 +y2 +4 y=0 ，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、 B，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。-可编辑修改- 一、求圆的方程例 1 (06 重庆卷文) 以点(2,1) 为圆心且与直线3 x4 y 5 0 相切的圆的方程为( ) (A) (x2)2( y 1) 2 3 (B) ( x2) 2( y 1) 2 3 (C) (x 2) 2( y 1) 2 9 (D) (x 2)2( y 1) 2 9 二、位置关系问题三、切线问题例 3 (06 重庆卷理) 过坐标原点且与圆x 21 y2 4x 2y 52 1 0 相切的直线方程为( ) (A) y 3x 或y x 3 1 (B) y 3x 或y x 3 1 (C) y 3x 或y x 3 (D) y 3 x或y x 3 四、弦长问题例 4 (06 天津卷理) 设直线axy 3 0 与圆( x 1) 2( y 2)24 相交于A、B 两点，且弦AB 的长为2 3 ，则a . 五、夹角问题例 2 (06 安徽卷文) 直线x y 1 与圆x2 y 2 2 ay 0 ( a 0 ) 没有公共点， 则a 的取值范围是( ) (A) (0, 2 1) (B) ( 2 1, 2 1) (C) (2 1, 2 1) (D) ( 0, 2 1) -可编辑修改- 例 5 (06 全国卷一文) 从圆x22x y 22 y 1 0 外一点P(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) 1 (A) 2 3 (B) 5 3 (C) 2 (D) 0 六、圆心角问题例 6 (06 全国卷二) 过点(1, 2 ) 的直线l 将圆(x2) 2 y 2 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k . 七、最值问题例 7 (06 湖南卷文) 圆xy2 4 x4 y 10 0 上的点到直线xy 14 0 的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C) 6 2 (D) 5 2八、综合问题例 8 (06 湖南卷理) 若圆x 2y 2 4 x4 y 10 0 上至少有三个不同的点到直线l : ax by 0 的距离为22 ，则直线l 的斜率k 取值范围2 -可编辑修改- 圆的方程1. 方程x2+y2 2（t+3 ）x+2 （ 14t2）y+16 t4+9=0 （t R ）表示圆方程，则t 的取值范围是1 A. 1 t 7 B. 1 t 1 C. 2 1 t1 D.1 t2 7 2 .一圆与y 轴相切，圆心在直线x 3y=0 上，且直线y=x 截圆所得弦长为2 7 ，求此圆的方程. 3 . 方程x 2y2Dx EyF 0（D2E2 4F 0 ）表示的曲线关于x + y=0 成轴对称图形，则（）A.D+E=0B. B. D+ F=0 C.E+F=0 D. D+ E+F=0 4. （2004 年全国， 8）在坐标平面内，与点A（ 1，2）距离为1 ，且与点B（3，1）距离为2 的直线共有（）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5. （2005 年黄冈市调研题）圆x2+y2+ x 6y+3=0 上两点P、Q 关于直线kxy+4=0 对称，则k= . 6. （2004 年全国卷，16 ）设P 为圆x2+y2=1 上的动点，则点P 到直线3x 4y10=0 的距离的最小值为. 7. 已知实数x、y 满足方程x2+y2 4x+1=0. 求（ 1）（3 ）x2+y2的最大值和最小值. y 的最大值和最小值；（ 2）yx 的最小值；x -可编辑修改- 2 经过两已知圆的交点的圆系2 例1 求经过两已知圆：xy 4 x6 0 和x2 y 4 y6 0 的交点且圆心的横坐标为3 的圆的方程。例 2 设圆方程为：( 4)x 2 ( 4) y 2 (2 4) x(12 40) y 48 164 0 其中4 求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。2 -可编辑修改- 直线与圆的位置关系例 1 ：求由下列条件所决定圆x 2 y2 4 的圆的切线方程；(1) 经过点P(3,1) ，(2) 经过点Q(3,0) ， (3) 斜率为1直线和圆1.自 点 （ 3 ， 3 ） 发 出 的 光 线L 射 到x 轴 上 ， 被x 轴 反 射 ， 其 反 射 线 所 在 直 线 与 圆x2 y 2 4 x4 y 7 0 相切，求光线L 所在直线方程-可编辑修改- 2.求圆心在直线x y 0 上，且过两圆x2y2 2x 10 y 24 0 ，x2 y2 2x 2 y 8 0 交点的圆的方程3. （2002 北京文，16 ）圆x2y2 2x 2y1 0 上的动点Q 到直线3 x4 y8 0 距离的最小值为弦长【例题】已知直线l x+2y-2=0 与圆C x 2+y2=2 相交于A、 B 两点，求弦长AB. -可编辑修改- Welcome To Download ! 欢迎您的下载，资料仅供参考！
