三角形知识点总结讲解学习.pdf

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点） 2、三角形的表示三角形 ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边 AB 可用边 AB所对的角C 的小写字母 c 表示， AC可用 b 表示， BC可用 a 表示 .三个顶点用大写字母A,B,C来表示。注意： （1） 三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2） 三角形是一个封闭的图形； （3）ABC是三角形 ABC的符号标记，单独的没有意义3、三角形的分类： （1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段如图： （1） AD是 ABC的 BC上的中线 .（2）BD=DC= BC. 注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心）中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段如图： （ 1）AD 是 ABC的 BAC的平分线 . （2） 1=2= BAC. 注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）角平分线上的点到角的两边距离相等（3）三角形的高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段如图： AD 是 ABC的 BC上的高线； AD BC于 D； ADB= ADC=90 . 注意：三角形的高是线段；锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点（垂心）由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段如图： DE是 ABC的边 BC的中垂线； DEBC于 D；BD=DC 注意：三角形的中垂线是直线；三角形的三条中垂线交于一点（外心）小总结： 内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. 性质：到三边距离相等. 外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质：到三个顶点距离相等. 重心：三条中线的交点. 性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2 倍. 垂心：三条高所在直线的交点. 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边 6、三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 7、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180推论：直角三角形的两个锐角互余。 8、三角形的外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）如:ACD、 BCE都是 ABC的外角，且 ACD= BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了 . 三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角9、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性10、多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。（2）正多边形： 各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（3）多边形的内角和为（n-2）*180 度 ；多边形的外角和为 360 度二、等腰三角形1、等腰三角形的概念定义： 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2、三角形的性质（ 1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一” ）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边” ）注意：要正确区分等腰三角形的性质和判定4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形5、等边三角形的性质和判定性质： （1）等边三角形的三条边都相等（2）等边三角形的每一个角都等于60 度判定： （1）各边或角都相等的三角形是等边三角形（2）有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑相关规律：（ 1）边长为a 的等边三角形面积等于（ 2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点三、直角三角形1、定义：有一个角为直角 的三角形称为 直角三角形 。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为 直角边 。直角所对的边称为斜边 。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦” 。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“ 勾” ， 长的那条边叫作“ 股” 。2、分类：直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（属于特殊情况) 3、判定定理等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质： 稳定性， 两直角边 相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线 三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径 R。直角三角形是一种特殊的三角形4、特殊性质它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，BAC=90 ，则AB2 +AC2 =BC2（勾股定理 ) 性质 2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若BAC=90 ，则 B+ C=90 性质 3：在直角三角形中，斜边 上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点， 外接圆 半径 R=C/2） 。该性质称为直角三角形斜边中线定理。性质 4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质 5:如图， Rt ABC中， BAC=90 ，AD 是斜边 BC上的高，则有射影定理如下：射影定理图（1） （AD)2 =BD DC。（2） （AB)2 =BD BC。（3） （AC)2 =CD BC。性质 6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中， 如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30 。证明：先证明定理的前半部分，Rt ABC中， ACB=90 ， A=30 ，那么 BC=AB/2 A=30 B=60 （直角三角形两锐角互余）取 AB中点 D，连接 CD，根据 直角三角形斜边中线定理可知 CD=BD BCD是等边三角形（有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形）BC=BD=AB/2 再证明定理的后半部分，Rt ABC中， ACB=90 ，BC=AB/2，那么 A=30 取 AB中点 D，连接 CD,那么 CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又 BC=AB/2 BC=CD=BD B=60 A=30 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑性质 7:如图，在RtABC中 BAC=90 ，AD 是斜边上的高，则：证明： S ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC 两边乘以 2，再平方得AB2 *AC2=AD2 *BC2运用勾股定理，再两边除以,最终化简即得性质 8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。判定方法：判定1：有一个角为90 的三角形是直角三角形。判定 2：若，则以 a、b、c 为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理 ） 。判定 3：若一个三角形30 内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定 4：两个锐角 互为余角 （两角相加等于90 ）的三角形是直角三角形。判定 5：若两直线相交且它们的斜率 之积互为 负倒数 ，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。判定 6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考 直角三角形斜边中线定理判定 7：一个三角形30 角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。四、勾股定理勾股定理 内容：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为 c，那么a +b =c ； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边a，b，c 满足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）五、全等三角形能够完全 重合 的两个三角形叫做全等 三角形 ，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。1、性质（1）全等三角形的对应角 相等。（2）全等三角形的对应边相等。（3）能够完全重合的顶点 叫对应顶点。（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。（6）全等三角形的对应边上的中线 相等。（7）全等三角形面积和周长 相等。（8）全等三角形的对应角的三角函数 值相等。2、全等三角形的判定SSS （边边边 ） ：三边对应相等的三角形是全等三角形。资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑SAS （边角边 ） ：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。ASA （角边角 ） ：两角及其夹边对应相等的三角形全等AAS （角角边 ） ：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。HL(斜边、直角边 )） ：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。下列两种方法不能验证为全等三角形：AAA（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形SSA （边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。六、相似三角形三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。1、预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线 与线段成比例的证明）2、判定定理常用的判定定理有以下6 条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。（SAS ）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。（SSS ）判定定理4：两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。 ）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。 ） （HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1） （简叙为：全等三角形相似） 。相似的判定定理与全等三角形基本相同，因为全等三角形是特殊的相似三角形。3、一定相似符合下面的情况中的任何一种的两个（或多个）三角形一定相似：（1）两个全等的三角形全等三角形 是特殊的相似三角形，相似比为1：1。补充：如果 ABC A BC， AB/A B =AC/A C =BC/BC =K 当 K=1时，这两个三角形全等。（K为它们的比值）（2）任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个 等腰三角形 ，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（3）两个等边三角形两个 等边三角形 ，三个内角都是60 度，且边边相等，所以相似。（4）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以相似。4、性质定理（1）相似三角形对应角相等，对应边成正比例 。（2）相似三角形的一切对应线段(对应 高、对应中线、对应角平分线 、外接圆 半径、 内切圆半径等）的比等于相似比 。（3）相似三角形周长 的比等于相似比。（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方 。（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方（6）若 a/b =b/c ，即 b2=ac，b 叫做 a,c 的比例中项(7) a/b=c/d 等同于 ad=bc. ( 8)不必是在同一平面内的三角形里。5、推论推论一：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论二：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论三：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。6、射影定理直角三角形 中，斜边上的高是两直角边 在斜边 上射影的 比例中项 。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。例如： (前提： BAD+DAC=90度， ADBC) 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑公式 Rt ABC中，BAC=90 ，AD 是斜边 BC上的高， 则有射影定理如下：(1)(AD)2;=BD DC，(2)(AB)2;=BDBC ， (3)(AC)2;=CDBC。等积式(4)ABXAC=BCXAD( 可用面积来证明) 七、锐角三角函数