高等电磁场理论习题解答(作业).pdf

第一章基本电磁理论1-11-1 利用利用 FourierFourier 变换变换,由时域形式的由时域形式的 MaxwellMaxwell 方程导出其频域形式。（作方程导出其频域形式。（作 1-21-21-31-3）解：付氏变换和付氏逆变换分别为：F()麦氏方程：1f(t)ejtdtf(t)F()ejtd2D H J t B 0 D对第一个方程进行付氏变换：B E t左端jtD(r,t)jt右端（J r,t)edt J(r,)jD(r,t)edtt（时谐电磁场）J(r,)jD(r,)jt H（r,t)edt H(r,t)ejtdt H(r,)H(r,)J(r,)jD(r,)同理可得：Hr,jBr,Br,0 Dr,r,上面四式即为麦式方程的频域形式。1-21-2 设各向异性介质的介电常数为设各向异性介质的介电常数为7020当外加电场强度为240003(1)E E1 e exE0；(2)E E2 e eyE0；(3)E E3 e ezE0；E E5 E0(2e exe ey)(4)E E4 E0(e ex 2e ey)；(5)求出产生的电通密度。（作1-6）解：Dr,tE(r,t)Dx111213212223即DyDz313233将 E E 分别代入，得：ExEyEzD1x720E07D2400E2 2y)000 D10E0(7x1yD1z0030 0D2x720 0 2D240EE4D20E0(2x4y)000 2y0D3z0030 0D3x720 0 0D2400E0D3 30E0z000 3yD3z003E03D4x720 E011 10y)D4y02402E00E010D40E0(11xD4z0030 0 D5x7202E016D240EE8D50E0(16x8y)0005y0D5z0030 0 1-31-3设各向异性介质的介电常数为设各向异性介质的介电常数为4220242224试求：(1)当外加电场强度E E E0(e exe eye ez)时，产生的电通密度 D D；(2)若要求产生的电通密度D D e ex40E0，需要的外加电场强度E E。（作 1-71-8）Dx42218解：1.DED 1yo242 Eo1 oEo8 8oEo1 Dz2241 81D 8oEox y z 2.D E 311883 8E 1D 1813114 1 3 o8880 4EE01oE30082181880118即：E E023x yz.1附：的求解过程：422 100422 100202 1242 010022 011022 0224 001224 001224 0202 101202 101022 011022 011026102008113311341120044188020 1300841010 13100844100188813181838又4220242224所以3811113881088181818380111011-61-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为已知理想导电体表面上某点的电磁场为D D D0(e ex 2e ey 2e ez)H H H0(2e ex 2e ey e ez)试求该点表面电荷及电流密度。解：由已知条件，理想导体表面某点：D D D0(e ex 2e ey 2e ez)(1-6-1)H H H0(2e ex 2e ey e ez)(1-6-2)知该点处的法向单位矢量为：e enD0(e ex 2e ey 2e ez)1D D22e exe eye ez(1-6-3)|D D|333D012 22 22理想导体表面上的电磁场满足边界条件：e en H H J Js s(1-6-4)e enD D s s(1-6-5)将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：221J Js e en H H e exe eye ezH0(2e ex2e eye ez)H0(2e exe ey 2e ez)(1-6-6)333将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：221se enD D e exe eye ezD0(e ex2e ey2e ez)3D0(1-6-7)3331-91-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为若非均匀的各向同性介质的介电常数为,试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:2E E k2E E (E E)（作 1-9）证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足 H Hr r jE Er r(1-9-1)E E jH H(1-9-2)对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得 E E jH H j H H=2E E又 E E E E E E2所以 E E+22E E=E E(1-9-3)又在非均匀各向同性介质中E E E E+E E=0即E E=E E(1-9-4)将(1-9-4)代入(1-9-3)，得 E E 2E E+2E E=即 E E+k E E=22 E E 第二章 平面电磁波2-12-1导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell 方程组为 H H J J+jE E(2-1-1)E E jH H(2-1-2)H H 0(2-1-3)E E(2-1-4)对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得 E E jH H jH H j H H=jH H jJ J+jE E jH H jJ J+E E2即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得 H H J J+jE E J J+jE E+j E E=J J+jE E+2H H所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为 E E 2E E j H H jJ J(2-1-5)H H 2H H J J+jE E(2-1-6)由(2-1-4)式得E E E E+E E=即 E E=E E(2-1-7)H H 由(2-1-3)式得H H H H+H H=0即H H=2(2-1-8)利用矢量关系式 A A A A A A，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为 E E 2E E+2E E jH H+jJ J+(2-1-9)H H 2H H+2H H J J jE E(2-1-10)均匀介质中，02E k2E jJ 2 H k H J2k 无源区中2E k2E 02 H k H 022-42-4推导式（推导式（2-2-82-2-8）。解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz 方程：2 2E Er rkc2E Er r 02H Hr rkc2H Hr r 0其中kce，e j2设复传播常数kc k jk，则由kc2e得k jk22 j即k2k22jkk 2 j所以由等号两边实部和虚部对应相等得k2k22 2k k 解以上方程组得k 2112 2112 k 2-62-6试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。证：任一椭圆极化平面波可写为E E e exEx je eyEy1111E E e exEx je eyEy e exEx EyEx Ey je eyEx EyEx Ey22221111 e exEx Ey je eyEx Eye exEx Ey je eyEx Ey2222令E111Ex Ey，E2Ex Ey，则上式变为22E E=e exE1 je eyE1 e exE2 je eyE2上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。2-72-7试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：E E(z,t)e exE0cos(t kz)e eyE0cos(t kz)2上式等价于E E(z,t)e exE0cos(t kz)e eyE0sin(t kz)磁场强度的瞬时值表达式为：H H(z,t)e eyE0Ecos(t kz)e ex0sin(t kz)ZZ其中Z表示波阻抗。因此能流密度的瞬时值表达式为：S S(z,t)E E(z,t)H H(z,t)00 e exE0cos(t kz)e eyE0sin(t kz)e eyZcos(t kz)e exZsin(t kz)EEE02E02E0222 e ezcos(t kz)sin(t kz)e ezZZZ因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。2-82-8设真空中圆极化平面波的电场强度为设真空中圆极化平面波的电场强度为E E(x)100(e ey y je ez)ej2 xV/mV/m试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式E E(x)100(ey jez)ej2xV/m知传播常数k 2rad/m，所以21 mkc8频率：f 310Hz波长：因为此圆极化平面波的传播方向为x方向，且电场强度z分量相位超前y分量相位左旋圆极化平面波。磁场强度可写为，因此为2H H(x)1100e exE E(x)(ez jey)ej2xA/mZ0Z0能流密度为：100200001000j2xj2x2S S E EH H 100(e e je e)e(e e je e)e e e e eW/m2-92-9yzzyxxZ06Z0设真空中z 0平面上分布的表面电流J JS e exJS0cost，式中JS0为常数。试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。解：z 0平面上分布的表面电流将产生向+z 和-z 方向传播的两个平面波。设向+z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为E E1(z,t)和H H1(z,t)，向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为E E2(z,t)和H H2(z,t)。由电磁场在 z=0 平面处满足的边界条件可得：e ezH H1(0,t)H H2(0,t)J Js(2-9-1)E E1(0,t)E E2(0,t)(2-9-2)又E E1(z,t)Z0H H1(z,t)e ez，E E2(z,t)Z0H H2(z,t)(e ez)所以Z0H H1(0,t)H H2(0,t)ez 0即H H2(0,t)H H1(0,t)(2-9-3)将(2-9-3)代入(2-9-1)得：1e ezH H1(0,t)J Js2111得H H1(0,t)J Jse eze exJs0coste ez e eyJs0cost(2-9-4)2221所以H H1(z,t)e eyJs0cos(t kz),z0(2-9-5)2ZE E1(z,t)0e exJs0cos(t kz)，z0(2-9-6)21同理H H2(z,t)e eyJs0cos(t kz)，z0(2-9-7)2ZE E2(z,t)0e exJs0cos(t kz),z04ZS S2(z,t)E E2(z,t)H H2(z,t)0e ezJs20cos2(t kz),z0）S S2(z)1112E E2(z)H H2(z)e ezZ0JS0(1ej2kd)ejkzJS0(1ej2kd)ejkz e ezZ0JS0(1cos 2kd)284（z0）2-132-13当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为 1V/m1V/m，入射，入射角为角为 6060，介质的电磁参数为介质的电磁参数为r 3,r1，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。及折射波的电场振幅。解：在真空中：波阻抗为Z1 Z00，传播常数为k1 000介质中的波阻抗为Z2r0Z0，传播常数为k2 r0r0r03sin60k2 r0r0设折射角为t，则3sintk1 00所以sint1，即t302(1)对于平行极化波，有Z0Z0Z1cosiZ2cost22 0反射系数R/Z1cosi Z2costZ0Z022Z02Z2cosi33透射系数T Z1cosi Z2costZ0Z0322可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为(2)对于垂直极化波，有3V/m；3Z03Z0Z cosiZ1cost2 32反射系数R2 0.5Z2cosi Z1costZ03Z022 3透射系数T2Z2cosi 0.5Z2cosiZ1costZ03Z022 3Z03因此反射波和折射波的电场振幅均为0.5 V/m。2-162-16 已知电场强度为已知电场强度为E E(z)e ex10ej2 z的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为r11，r2 4，r316,1230，中间介质夹层厚度，中间介质夹层厚度d 0.5m，试求各区域，试求各区域中电场强度及磁场强度。中电场强度及磁场强度。解答：x1,12,2d3,3zE EH H图2-16由电场强度E E(z)e ex10ej2z知，传播常数k1 2rad/m，波长121m。k1在中间介质中的波长为212 0.5m，传播常数k2 4rad/m。r22介质三中的波长为312 0.25m，传播常数k38rad/m。3r31Z0 Z0，Z21Z0111Z0，Z3Z0Z024r3三种介质中的波阻抗分别为：Z1r1r2介质一（z0）中入射波电场和磁场强度为E E1i(z)e ex10ej2z，H H1i(z)e eyrE10ej2z，H H(z)e eyZ1r110j2ze，Z0令反射电场和磁场强度为E E(z)e exE er1rj2z10介质二(0d）中，令入射波的电场强度为E E3。则在z 0和z d处有电场和磁场切向分量连续得：rir10 E10 E20 E20iriE20ej4d E20ej4d E30rirE20E2010E10Z1Z1Z2Z2iriE20E20E30j4dj4deeZ2Z2Z3由以上四式可解得iirr 6，E20 4E10 6,E20 2，E30则各区域的电场和磁场强度为：E E1i(z)e ex10ej2z，H H1i(z)e ey10j2zeZ06j2zeZ0E E1r(z)e ex6ej2z，H H1r(z)e eyiiE E2(z)e ex6ej4z，H H2(z)e ey12j4zeZ04j4zeZ016j8(zd)eZ0rrE E2(z)e ex2ej4z，H H2(z)e exiiE E3(z)e ex4ej8(zd)，H H3(z)e ex第三章第三章 辅助函数辅助函数3-1.3-1.由由 LorentzLorentz 条件导出电荷守恒定律。条件导出电荷守恒定律。解答：已知矢量磁位A A(r r)和标量电位(r r)分别满足：2A A(r r)2A A(r r)J J(r r)(3-1-1)2(r r)2(r r)由(3-1-1)得J J(r r)所以(r r)(3-1-2)2A A(r r)2A A(r r)(3-1-3)1 J J(r r)11222222 A A(r r)A A(r r)A A(r r)A A(r r)A A(r r)A A(r r)1将 Lorentz 条件 A A(r r)j(r r)代入上式得：22 J J(r r)j(r r)(r r)j(r r)电荷守恒定律得证。3-33-3已知在圆柱坐标系中，已知在圆柱坐标系中，矢量磁位矢量磁位A A(r r)e ezAz(r r)e强度和磁场强度。强度和磁场强度。解：已知A A(r r)e ezAz(r r)ejkz(3-3-1)jkz，式中式中r x2 y2。试求对应的电场试求对应的电场H H(r r)1 A A(r r)(3-3-2)E E(r r)jA A(r r)j A A(r r)(3-3-3)将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得Az(r r)ejkz1 e e1A(r r)ejkzH H(r r)A A(r r)e erz1E E(r r)jA A(r r)j jkzA(r r)ezzkk e ezjAz(r r)ejkzAz(r r)ejkze ezjAz(r r)ejkzAz(r r)ejkze er jkAz(r r)ejkze ez e ezjAz(r r)ejkz A A(r r)j kAz(r r)ejkzer3-43-4 使用使用 HertzHertz 矢量求解电流元矢量求解电流元 Il Il 和磁流元和磁流元 I Imml l 产生的电磁场。产生的电磁场。（作（作 3-73-73-123-12）解：设电流元Il l和磁流元I l l均沿 z 轴放置于原点。电流元Il l产生的电 Hertz 位和磁流元I l l产生的磁 Hertz 位分别满足 (r r)k (r r)2e2emmP Pe(r r)(r r)k (r r)2m2mP Pm(r r)由以上两式求得(参见戴书 p23)(r r)meVP Pe(r r)ejk|r rr r|1dV e ez4|r r r r|jIejk|r rr r|1Iljkrdz e eezl4|r r r r|j4rImejk|r rr r|1Imljkrl4|r r r r|dz e ezj4re (r r)VP Pm(r r)ejk|r rr r|1dV e ez4|r r r r|j所以电流元Il l产生的电磁场ejkr1Il IlejkrH H(r r)j (r r)je ez e ecose esinrrrj4r4k2Ilsin j1jkr e ee224krk ree H He(r r)k3IlcosE E(r r)je erj2e1jkrk3Ilsinj2233e je ek r4k rj1jkr1e2233krk rk r磁流元I l l产生的电磁场为mejkr1ImljkrImlejkrE E(r r)j (r r)je eze e ercose esin4rrj4rk2Imlsin j1jkr e ee224krk rmm E Em(r r)k3IlcosH H(r r)je erj2m1jkrk3Ilsinj2233e je ek r4k rj1jkr1e2233krk rk r3-73-7 证明式（证明式（3-3-43-3-4）至式（）至式（3-3-73-3-7）。证：无源区域中有H jEEjH x即xHx xxEx yyHy yyEy z Eyy Ezz)j(ExxzHz z Hyy Hzz)j(HxxzEz由此可得HzHy (1)yzHxHzjEy (2)zxHyHxjEz (3)xyjExEzEy (4)yzEE jHyxz (5)zxEE jHzyx (6)xy jHx由（1）（5）两式可得：1EE(xz)Hz jzxjExyzHz2Ex2Ezk Ex j(2)yzxz2Hz2Ez2 j kzExyxzHzE j kz2Ex(jkz)zyx1EzHzEx2 jk jzk kz2xy2ExEx2 k E,jkzEx式中zxzz22 E k E 02 2Exk2Ex 0222(222)Ex(kx2kx2kx2)Ex 0 xyz2Ex2kxEx 02x2Ex2k Ex 0y2y2Ex2k Ex 0z2z2Ex2 kz2ExzEx Exej(tkz)Ex jkzExz同理可证Ey,Hx,Hy的表达式。（见讲义 p8）3-203-20 试证式（试证式（3-8-163-8-16）。证明：设并矢C C E EF F，则A A(B BC C)A A(B BE E)F FA A(B BE E)F F B B(E E A A)F F B B(A AE E)F F B B(A AE E)F F B BA A(EFEF)B B(A AC C)A A(B BC C)A A(B BE E)F FA A(B BE E)F F E E(A AB B)F F(A AB B)EF(A AB B)(E EF)(A AB B)C C3-213-21 试证式（试证式（3-8-193-8-19）至式（）至式（3-8-213-8-21）。证明：D D D Dx xe ex D Dye ey D Dze ezD Dx x1e ex2e ey3e ezD Dy1e ex2e ey3e ezD Dz1e ex2e ey3e ezI I e ex xe ex x+e ey ye ey y+e ez ze ez zI ID D(e ex xe ex x+e ey ye ey y+e ez ze ez z)(D Dx xe exD Dye eyD Dze ez)e ex x(D Dx xe ex)e exe ex x(D Dye ex)e eye ex x(D Dze ex)e eze ey(D Dxe ey)e exe ey(D Dye ey)e eye ey(D Dze ey)e eze ez(D Dxe ez)e exe ez(D Dye ez)e eye ez(D Dze ez)e ez1e ex xe ex1e ex xe ey1e ex xe ez2e eye ex2e eye ey2e eye ez3e eze ex3e eze ey3e eze ez(1e ex x2e ey3e ez)e ex x(1e ex x2e ey3e ez)e ey(1e ex x2e ey3e ez)e ez D Dxe ex xD Dye eyD Dze ez D DD DI I (D Dx xe ex D Dye ey D Dze ez)(e ex xe ex x+e ey ye ey y+e ez ze ez z)D Dx x(e exe ex x)e ex x D Dx x(e eye ex x)e ey D Dx x(e eze ex x)e ez D Dy(e exe ey)e ex x D Dy(e eye ey)e ey D Dy(e eze ey)e ez D Dz(e exe ez)e ex x D Dz(e eye ez)e ey D Dz(e eze ez)e ez D Dx xe ex x D Dye ey D Dze ez D D所以I ID DD D I I D D设A A Ax xe ex Aye ey Aze ez则I I A A(e ex xe ex x+e ey ye ey y+e ez ze ez z)(Ax xe ex Aye ey Aze ez)Ax xe ex Aye ey Aze ez A AA A I I (Ax xe ex Aye ey Aze ez)(e ex xe ex x+e ey ye ey y+e ez ze ez z)Ax xe ex Aye ey Aze ez A A所以I I A A=A A I I A A(I I)(e e e e+e e e e+e e e e)(e e)(e e)(e ez)x xx xy yy yz zz zx xyxyz e ex xe eye eyxyy第四章第四章电磁定理和原理电磁定理和原理4-14-1 利用磁场边界条件利用磁场边界条件,证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。证明：Il lIl lIml lIml lI l lH HrH HH H rIml lH H(a)图 4-1(b)(1)如图 4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元Il l，在镜像位置放置一镜像电流元Il l，根据电流元产生的电磁场的分布知，Il l，Il l在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍为Il l。因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一性原理知，上半空间的场未改变。(2)如图 4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H H 与 l l 平行），在无限大理想导电平面附近放置一垂直磁流元I l l，在镜像位置放置一镜像磁流元Iml l，则其产生的矢量电位分别m为mIml ljkrIl ljkrmA AeA Ae4r4rm产生的磁场强度分别为Iml ljkrIml ljkrmmeeH H=jA A jH H=jA A j4r4rmm若满足Im Im,l,l=-l l，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的边界条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相同。4-34-3 长度为长度为 l l，宽度为，宽度为 w w 的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图4-34-3 所示。若缝隙中所示。若缝隙中的电场强度为的电场强度为lEx E0sink(z)2利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。（作（作 4-104-104-144-14）zyl解答：xw y 2Exz Jsm 2Exxl 2E0sink(|z|)z2对称天线的辐射场为:习题图 4-3lIsm 2E0wsink(|z|)z2E Ee=e ej60Imjkrer1111cos(klcos)cos(kl)cos(klcos)cos(kl)eEI2222H He=e e=e ejmejkrsinZ02rsin由对偶原理知，将以上两式中E换为H，H换为E，可得裂缝天线的辐射场为：1111cos(klcos)cos(kl)cos(klcos)cos(kl)IE wmjkrjkr22=-e e j0e22E=-e-eje2rsinrsin1111cos(klcos)cos(kl)cos(klcos)cos(kl)m60Imjkr120E0wjkr2222Hm=e eje e ejersinrsin11cos(klcos)cos(kl)Z0E0wjkr22 =e ejersinmm4-44-4 利用矢量利用矢量 GreenGreen 定理，导出积分形式的互易定理。定理，导出积分形式的互易定理。mm证明：设区域V中的两组同频源J Ja，J Ja和J Jb，J Jb产生的电磁场分别满足 H Ha J Ja jE Ea(4-4-1)m E Ea J Ja-jH Ha(4-4-2)及 H Hb J Jb jE Eb(4-4-3)m E Eb J Jb-jH Hb(4-4-4)已知第二矢量 Green 定理为VQ Q P P P P Q QdV P P Q QQ Q P PdS S(4-4-5)S令Q Q E Ea,P P E Eb，代入上式得VE Ea E Eb E Eb E EadV E ESb E Ea E Ea E EbdS S(4-4-6)利用(4-4-2)和(4-4-4)，(4-4-6)式右端化为E E E E E E E EdS SE E J J jH H E E J JE E J J E E J J+jE E H HSbaabSSbmaaaambbmaaVabbambb jH HbdS S(4-4-7)E EbH HadS S利用(4-4-1)(4-4-4)，(4-4-6)式左端化为E E E E E E E E dVE E J J jH H E E J J jH HdVE E J J jH H E E J J jH H dVE E J J jE E J J jE E E EE E J J jE E J J jE E E EdVE E J J jE E J J E E J J jE E J J dVE E J JJ J E E jE E J JE E J JJ J E E jE E J JdVVambbbmaaVambmbmbbbmaaVaababbmababaVaabbmabaVambmbaabbmamabbaE E J J J JJ J jJ JH H jE E J JE E J J J JJ JE E J J E E J J jE E J J E E J J H H J J H H J JdVVambmbmbmambaabbmamaVabmabaabambbmammmmmmE EbJ Ja E E J JJ J J J jH H jE E J JJ J J J jH Hb jE EbJ JaabbaaababdVVmbm+jJ JaH Hbba jE E J JdVE ESamJ Jbm E EbJ JadS S jE EbJ Ja E EaJ Jb H HaJ Jbm H HbJ JamdVV(4-4-8)由(4-4-6),(4-4-7),(4-4-8)得E ESamJ Jbm E EbJ JadS S jE EbJ Ja E EaJ Jb H HaJ Jbm H HbJ JamdVVmbmaSE EaJ J E EbJ J+jE EaH Hb E EbH HadS S(4-4-9)mmmm因为J Ja，J Ja和J Jb，J Jb在表面S内，因此(4-4-9)式中含有J Ja，J Ja和J Jb，J Jb项的面积分为零，所以(4-4-9)式化为E EVbmmJ Ja E EaJ Jb H HaJ Jb H HbJ JadV E ESaH Hb E EbH HadS S(4-4-10)上式即为积分形式的的互易定理。(另证见书 p161,较简单)4-54-5 证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。证明：mIal laH HbH HaIbml lb图 4-5m如图 4-5 所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流源Ial la，其在空间某点产m生的磁场强度为H Ha，在该点放置另一个与H Ha方向相同的同频磁流源Ibl lb。则Ibml lb在理想导电mm体表面附近产生的磁场强度H Hb应平行于理想导电体表面，即垂直于磁流源Ia对Ial la。l la，Ibml lb应用 Carson 互易原理，得mmmH HaIbl lb H HbIal la 0即HaIblb0m又Iblb 0，所以Ha 0因为H Ha为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源的空间辐射场为零。m4-104-10 若位于若位于r a的球面上的表面电流的球面上的表面电流J JS和表面磁流和表面磁流J JS分别为分别为(1)J JS e eIl jka jk1 Il jka jz1e2sin(2)J Jme2S e e4a4aja2aasin试证试证r a区域内的电磁场与电流元区域内的电磁场与电流元 Il Il 的电磁场相等，的电磁场相等，r a区域内的电磁场为零。区域内的电磁场为零。证明：沿z轴放置的电流元Il l产生的电磁场可写为k2IlsinH H(r r)e e4k3IlcosE E(r r)je er21jkr je22krk r1jkrk3Ilsinj2233e je ek r4k rj1jkr12233ek rkrk r假设在r a区域的电磁场和电流元Il l产生的电磁场相等，r a区域的电磁场为零，则在r am表面上必存在面等效源电流元J JS和面等效磁流元J JS，且由边界条件可得J JS e en(H H2 H H1)ra e ere eH e eIl jk1 jkaesin4aa2rak2Ilsin e e41jka je22kak aJ J e en(E E2 E E1)ra e ere eE e emSrak3Ilsin je e4j1jka1e2233k akak aIl jZ1jkaesin4aa2ja3由以m上可见，面等效源电流元J JS和面等效磁流元J JS与题中给出的表面电流和表面磁流恰好相等。因m此由唯一性定理知，r a表面上的表面电流J JS和表面磁流J JS在r a区域产生的电磁场与电流元Il l产生的电磁场相等，在r a区域内的电磁场为零。