喀兴林高等量子力学习题6、7、8.docx

练习 6.1在 y 按 A 的本征矢量 ai展开的（6.1）式中，证明若 y 是归一化的，则å c* ci i= 1，即 A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）i证明：若 y 是归一化的，则 y y = 1。根据(6.1)式y= å a c ,ciiii可得= a yiå c* c = å yi iii即 A 取各值的概率是归一化的。#aa y = y y = 1ii练习 6.2(1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟核对：王俊美）(1) 证明：在定态中H i = Ei则i,i = 1,2,3L( )- i E ty t= i ei所以i E th i- i E ty Ay = eh即所有物理量的平均值不随时间变化.i i A i e h i= i A i .(2) 两个定态的叠加不一定是定态.例如()() - i E t( ) - i E ty x,t= u x e h 1+ v x e h 2当 E = E12时,叠加后y (x,t )是定态;当 E1¹ E 时, 叠加后y (x,t )不是定态.2#6.3 证明：当函数 f (x) 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： X , f (P) = ih¶¶P f (P) f ( X ), P = ih ¶¶Xf ( X )（解答：玉辉核对：项朋）证明：（1） X , f (P)y = Xf (P)y - f (P) Xy= ih ¶ f (P)y - f (P)ih ¶ y¶P¶P=yih ¶ f (P) + f (P)ih ¶ y - f (P)ih ¶ y¶P¶P¶P=yih ¶¶Pf (P)所以 X , f (P) = ih（2）¶¶P f (P) f ( X ), Py= f ( X )Py - Pf ( X )y= f ( X )(-ih¶ )y - (-ih ¶ ) f ( X )y¶X¶X= f ( X )(-ih¶ )y - f ( X )(-ih¶ )y -y (-ih¶ ) f ( X )=yih ¶¶X¶X¶X¶Xf ( X )所以 f ( X ), P = ih#¶¶X f ( X )练习 6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉核对：项朋） X , f ( X , P) = ih解：不正确。¶¶P f ( X , P)因为 f ( X , P) 是X 的函数，所以 X , f ( X , P) =0#练习 6.5 试利用 Levi - Civita 符号，证明：（孟祥海）（1） P× L = 0, X × L = 0（2） L, X × P = 0（3） L2 = X 2 P 2 - (X × P )(P× X )- 2ih X × P证明：（1） P× L = å PL = å P åei iiiijkX Pijkj k= åeijkPX Pijk ij k由于eì 1 ,ijk = 123,231,312íî= ï-1 ,ijk = 132,213,321且 P，X ，P 是相互对易的，ijkï 0 ,其他情况ijk所以 P× L = åePXijk iP 0j kX × L =ijkåX L= å X åeX P = åeX X P，同上面的过程可以得到i iiijkj kijkij kiijkijkX × L = 0（2） 先计算：êúL , X × P= éåeX P ,å X P ù = å åeiëijkj kl l ûX P , X Pijkj kl ljklljk由于 Xi, P = ihdjij。将上式展开可以得到：L , X × P = 0 ，再利用相同的道理可以推出：iL, X × P = 0（3） 证明：r rX 2 P2 = ( x2 + x2 + x2 )( p2 + p2 + p2 )123123= x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p21 11 21 32 12 22 33 13 23 3r rr r( XP )( PX ) = ( x p2 x+ x p p x+ x p p x+ x p p x1 1 11 1 2 21 1 3 32 2 1 1+ x p2 x + x p p x+ x p p x+ x p p x+ x p2 x )2 2 22 2 3 33 3 1 13 3 2 23 3 3r r2ihXP = 2ih( x p + x p+ x p )1 12 23 3rL2 = x p x p2 3 2 3- x p x p2 3 3 2- x p x p3 2 2 3+ x p x p3 2 3 2+ x p x p- x p x p- x p x p+ x p x p3 1 3 13 1 1 31 3 3 11 3 1 3+ x p x p1 2 1 2- x p x p - x1 2 2 1p x p2 1 1 2+ x p x p2 1 2 1利用公式 x , pij = ihdijrr rr rr rr rL2 - X 2 P2 + ( XP )( PX ) + 2ihXP= -x2 p2 - x2 p2 - x2 p2 + x p2 x + xp2 x+ x p2 x1 12 23 31 1 12 2 23 3 3+ ih( x p + x p + x p1 12 23 3= ( x p2 x - x2 p2 ) + ( xp2 x - x2 p2 ) + ( xp2 x - x2 p2 )1 1 11 12 2 22 23 3 33 3+ ih( x p + x p + x p )1 12 23 3= -ihx p - ihx p - ihx p+ ih( x p + x p + x p )1 12 23 3= 01 12 23 3即得证！#6.6试仿照( x3 p )w的计算方法，计算( xp )w和( x2 p 2 )w。（高召习）解：由 Weyle 规则，将物理量的经典式 A(x，p)写成x和h 为变量的傅里叶积分A(x,p) =¥ò dx ¥ò a(x ,h)eixx+ihp dh（1）-¥-¥将积分中指数上的 x 和 p 改为对应的算符 X 和 P。所得结果即为与A(x，p)对应的算符式 A（X，P）A(X,P) =¥ò dx ¥ò a(x,h)eixX +ihP dh（2）-¥-¥首先计算（1）式中 A(x，p)的傅里叶变换 A( x ,h ) ,取 A(x，p)为 xn pm ，则有a( x ,h ) =1( 2p )2¥¥òò-ixx-ihpdpdxA( x, p )e（3）对于 xn pm 有-¥-¥a( x ,h ) =1( 2p )2òò xn pme-ixx-ihpdxdp1æ¶ önæ¶ ömø= ( 2p )2òòçiè÷ e-ixx çi¶xdøè¶h ÷ e-ihpdxdp(4)=dæ¶ önçi ¶x ÷æ¶ ömx()çi ¶h ÷(h )èøèø对于 xp，n=1,m=1,将此式代入（2）得A( X , P ) = ( xp )wæ¶ öæ¶ ö= òòçi ¶x ÷d ( x )çi ¶h ÷d (h )eixx+ihpdxdhèøèøæ¶ öæ¶ ö1 ihxh= òòçi÷d ( x )çi÷d (h )eixxeihpe 2¶xh¶èøèødxdhæ¶ öì1ü= òd ( x )çi ¶x ÷íeixx ( -P - 2 hx )ýdxèøîþæ11ö= òd ( x )eixx ç XP +hxx -ih÷dxè= XP - 1 ih222ø= 1 ( XP + PX )21即 (xp)w=( XP + PX ) 2对于 x 2 p 2 ，n=2，m=2，将此式代入（2）得A( X , P ) = ( x2 p2 )wæ ¶ ö2æö2¶= òòçi ¶x ÷ d ( x )çi ¶h ÷ d (h )eixx+ihpdxdhèøæ ¶ ö2èøæ¶ ö21 ihxh= òòçi ¶x ÷ d ( x )çi ¶h ÷ d (h )eixxeihpe 2dxdhèøèøæ ¶ ö2æ¶ ö2¶xh¶= òd ( x )çi÷ eixx òd (h )çi÷ eixxeihpdh dxèøèø1=( X 2 P2 + XPXP + XP2 X + PX 2 P + PXPX + P2 X 2 )6即( x2 p2 )w= 1 ( X 2 P2 + XPXP + XP2 X + PX 2 P + PXPX + P2 X 2 )6#练习 6.7证明(xn pm) 的一般公式：W¶ n1m(xn pm)W= (X -i ¶x ) (P+ 2 hx)x=0并利用此式计算(xn pm)Wo （解答：田军龙审核：邱鸿广）¶n¶mW证明：(xn pm) = òò(i ¶x ) d(x)(i ¶h)d (h) eixX +ihP dxdh¶x= òò(i ¶¶n) d(x)(i ¶h)m2d (h) eixX eihP e1 ihxh dxdh¶né¶mù= (-1)n+m òd (x)(i) eixX êòd (h) (i)(eihP e1 ihxh)dhúdx¶xê¶h2úêëúû¶n é1mù= (-1)n+m òd(x)(ix ) êeixX (-P-hx)údx¶ê2úëûé1m¶nù= (-1)n+m ò êeixX (-P-hx) (i) d (x)údxê2¶xúêëúûé¶n1mù= (-1)n ò êd (x)(i) eixX (P+hx)údxê¶x2úëêúû= (i)n eixX (P+ 1 hx)m¶¶x2x =0(X -i¶ )n (P+ 1 hx)m=¶x2x=0( X 3 P2)W=( X 3 P2 + X 2 PXP + XP X 2 P + X 2 P2 X + X P2 X 218+ P X 2 PX + PXPX X 2 + P2 X 2)#()1 ()练习 6.8（梁端）解： xn pB=X n P + PX n2因为：X , P= 0()所以：xn p()B欲求：xn pw= X n P则：a(x ,h)=1òò(2p )2xn pe-ixx -ihpdxdp1æ¶ önæ¶ öø= (2p )2òòç iè÷ e-ixx ç i¶xøè¶h ÷e-ihpdxdp所以：æ¶ ön d (x )æ¶ öd (h)= ç i ¶x ÷ç i h ÷¶èøèø()()æ¶ ön( )æ¶ ö ( )xn p= A X , Pw= òòçi¶xè÷ d x çiøøè¶h ÷d h eixX +ihPdxdhæ¶ ön( )æ¶ ö ( )= òòçi÷ d x ç i÷d h eixX eihPdxdh¶x¶hèøèø()()æ¶ öné( ) ¶ù= - 1 2 òd x ç i ¶x ÷ eixX êòd h i ¶h eihPdhúdxèøëû( )æ¶ ön () x = òd x ç i÷¶xèø因为： X , P= 0- P ei X dx()1 ()xn p=n + 1 X n P = X n Pwn + 1故：在条件X , P= 0 下xn p= xn p)()(Bw#练习6.9 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量 f 的算符对应的平方，应当与经典 f 2的对应相同。试以 f = xp 为例，说明 Bohm 规则与Weyl 规则都不满足这个条件。（解答：邱鸿广审核：田军龙） 解：（1） Bohm 规则：f = xp 的对应算符为：(xp)B1= 1 (x p + px) 2此算符对应的平方为：(x p + px)2（1）412 22 2 经典量 f 2 的算符为(x2 p2 )B=(x p + p x )（2）2因为(1) ¹ (2) 所以 Bohm 规则不满足提设这个条件。（2）Weyl 规则：f = xp 的对应算符为：(xp)W= 1 (x p + px) 21122 此算符对应的平方为：(x p + px)2 =(x px p + x p x + px p + px px)（3）4412 2222 2 经典量 f 2 的算符为：(x2 p2 )W=(x p + x px p + x p x + px p + x px p + x p )（4）6因为(3) ¹ (4) 所以Weyl 规则也不满足提设这个条件。#vé v 1 ùv6.10证明： L, R = 0 , êëL, R úû = 0 , L, P = 0 . （解答：项朋审核：玉辉）v证明： 先计算 L, R 2v v v å v L, R 2 = L, X 2 =e L , X Xiijj= å v ij e XL , Xijij= ååij+ L , XXijjv ìe í2ihei îüX X ýijkkj þijk= 0v再计算 L, R ，vv vv0 = L, R 2 = R L, R +L, R R = 2R L, RvL, R =00 = v é v1 ùé v 1 ùv1é v 1 ùL,1 = êëL, R R úû = RêëL, R úû + L, R R = RêëL, R úû + 0é v 1 ù êëL, R úû = 0vv v å v ijijL, P 2= L, P 2 =e L , P P= å v ij e P L , P+ L , P Pijij= ååijijjv ìe í2ihei îüP ýijk k þijk= 0vv vv0 = L, P 2vL, P= P L, P += 0 .L, P P = 2P L, P#é1 ùú6.11 用数学归纳法求 P 2 , Rn解: 由 6.28 式可知和 êëP 2 ,， n = 0,1,2L （解答：项朋Rn û审核：玉辉）vP , R nv= - ni h R n - 2 R vvv vvP 2 , Rn = P 2 , Rn = P P, Rn + P, Rn P(v vv v)(v v)= -nihRn-2PR + RP = -nihRn-2 - ih + 2RP下面用数学归纳法证明上式成立: 当 n = 0 时，显然成立当 n = 1时，由 6.31 式，上式成立再由上式推出一个将n 改为n+1 的同样公式； (v v) é( v v)1 ùP 2 , Rn+1= R P 2 , Rn + P 2 , R Rn = -nihRn-1 - ih + 2RP+ ê- ih 2PR + ihú Rn(v v) (v v )()ë(v v )R û= -nihRn-1 - ih + 2RP+ - ihRn-1 - ih + 2RP= - n + 1 ihRn-1 - ih + 2RP说明了原式对n+1 也成立，于是证明了上式的普遍成立。 由 6.29 式可知é v1 ùh1vêP,ú = niRëRn ûRn+2é1 ùé v1 ùvé v1 ùé v1 ù v1(v vv v)1( v v)êP 2 ,ú = êP 2 ,ú = PêP,ú + êP,ú P = nihPR + RP = nih2PR + ihëRn ûëRn ûëRn ûëRn ûRn+2Rn+2下面用数学归纳法证明上式成立: 当 n = 0 时，显然成立当 n = 1时，由 6.31 式，上式成立再由上式推出一个将n 改为n+1 的同样公式；êëé1 ù1 é1 ùé1 ù 1 1( v v)1 ( v v) 1êëP 2 ,Rn+1úû =P 2 ,(2)RRn+ P 2 ,ûëR úû Rn= nih2PR + ih + ih2PR + ihRn+3R3Rnúê= (n + 1)ih1Rn+3v vPR + ih说明了原式对n+1 也成立，于是证明了上式的普遍成立。#6.12证明：（1）vvvvvP ´ L + L ´ P = 2ihP（2） (vv)(vv)（梁端）P ´ L ·（1）证明： v ´ våeL ´ P = P 2 L2vPL =P L eijk i j ke= åijkvåPR P eijk il m kijklm= åå (d d- d d )vP R P eik lmkl imkm ili l m k= å(P RP - P R P v)ei k iiki i kk= åP (P R+ ihd)- P R P veii kikiki i kk=vvv vvP 2R - P · RP + ihP同理可证：vvvvv vvL ´ P = -P 2R + P · RP + ihP故：vvvvvP ´ L + L ´ P = 2ihP（2）证明：由上题可知： vv2 v(vvh)vP ´ L = P R - P · R - iP将各个量化为三维形式：vvvvP = p i + p j + p kxyzP 2 = px2 + py2 + p 2z所以：vv()vP ´ L = p 2 x + p 2 x + p 2 x - p xp - p yp - p zp - ihp i( xyzxxyxzxx )v+ p 2 y + p 2 y + p 2 y - p xp - p yp - p zp - ihpj( xyzxyyyzy)yv+ p 2 z + p 2 z + p 2 z - p xp - p yp - p zp - ihp k则有：xyzxzyzzzz将上式进行点乘，经过整理得：(vv)(vv)222 )()v()v()v2(P ´ L ·P ´ L = p+ p+ pxyzyp - zp i +zyzp - xpxxj + xpy- yp kx= P 2 L2故：此题得证#6.13练习 7.1推导以下列个关系式T + (p ) p = p + p ,T (p ) p = p + p p T + (p ) = p + p , p T (p ) = p + p 解：用位置 X 构造一个幺正算符T + (p )iiT + (p) = exp( pX )其伴算符为T (p) = T + (p) -1 = exp(-pX )hhT + (p ) 与 P 的对易关系是：¶T + (p ), P = ih ¶X T + (p) = -pT + (p)即 PT + (p ) = T + (p )P + pT + (p )将此式作用到 p 上，得PT + (p) p = T + (p)P p + pT + (p) p = ( p + p)T + (p) p 则 P 的一个本征矢量 p 被算符T + (p ) 作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为 p + pT + (p) p = p + p 由于T + (p ) 的幺正性， p + p 也是归一的。我们称T + (p ) 为作用于动量本征矢量的上升算符；有上式的左矢形式 p T (p) = p + p 可知，算符T (p) 是左矢p 的上升算符。将T (p) 作用于 p ，由于T (p ) = T + (-p ) 可得，T (p) p = p - p p T + (p) = p - p 可见算符T (p) 是右矢 p 的下降算符，而算符T + (p ) 是左矢p 的下降算符。#7.2 若取Q +- i xp=e h 中的 为复数，能否得出X 的本征值为复数的结论？（丽芳候书进审）解：若 为复数，令=a+b 则¶X,Q+ = ihQ+= xQ+ , XQ+= Q+ X +xQ+x(x)由(x)¶p(x)(x)(x)(x)得 XQ+ x = Q+ X x + xQ+ x = (x + x)Q+ x(x )(x )(x )(x )x因为 为复数， Q+( )不再是幺正算符，现将Q+(x)ixe- ap归一化得其归一化矢量为hx ，其本征值为x+同理hXe- i apx = e- i ap X x + ae- i apx = (a + x)e- i ap xhhh即此时本征值为x+a,结论矛盾，所以 不能是复数，即X 的本征值不可以是复数7.3 证明： X= ih ¶ d (p¢ - p)= -ih ¶ (p¢ - p)式成立。p¢p¶p¢¶p（做题人：涛审题人：吴汉成）证明：令 0 x = x = 0表示算符 X 的本征值为零的本征矢量，0 p = p = 0 表示算符 P 的本征值为零的本征矢量。p x = p Q + (x)0x= p e- i xP 0hxh= e- i xp p 0x= e- i xp 0hpT (p)0xh= e- i xp 0ph= e- i xp 0p- i pXe0hx0xd (x - x¢)= x x¢ = ò x pp x¢ dph= ò e i xp 0p02 e- i x¢p dp xh= 002 ò e- i p(x¢- x )hdppx= 00p2 2phd (x - x¢)x12ph 00=px2phh p x = e- i xp 00=1px- i xpehXp¢p= p¢ X p= òò p¢ x¢ dx¢ x¢ X x dx x p=1 òòe- i x¢p¢ xd (x¢ - x)e i xp dx¢dx2ph1= 2phhhhò e- i (p¢- p )xdxèø=1 æ ih ¶ öd (p¢ - p)× 2ph2ph ç= ih ¶¶p¢= -ih ¶¶p¢ ÷d (p¢ - p)d (p¢ - p)¶p证毕7.4 证明以下两个左矢关系成立：（做题人：涛x X = x x审题人：吴汉成）¶¶xx P = -ihx证明：在 x X 式中右乘 x则 x X x = x x x¢ = xd (x - x¢)在 x x 式中右乘x x x x¢ = xd (x - x¢)则 x X x = xx x¢ x X = xx 证毕在 x P 右乘 x则 x P x¢ = -ih¶ d (x - x¢)¶¶x¶x¶¶x在- ihx 右乘 x¢ Þ -ihx x¢¶¶x¶¶x x P x¢ = -ih x P = -ihx 证毕x x¢练习 7.5试讨论动量表象的函数形式。（吴汉成 完成， 董延旭 核对） 解：讨论关系式：| jñ = X |y ñ ，从矩阵形式出发则有：j( p) = jp= á p | jñ = á p | X |y ñ（1）+¥而本征值矢量组 | p ' ñ 是完全的，即： ò dp ' | p ' ñá p ' ñ = 1 ，并代入（1）式-¥得：j( p) = ò+¥dp ' á p | X | p ' ñá p ' |y ñ-¥Q¶又á p | X | p ' ñ = X+¥pp'= -ih¶d ( p - p ' ), y= á p ' |yñ ，并代入上式¶p 'p'得： j( p) = ò-¥dp ' -ih¶p 'd ( p - p ' )yp'-（2）并对该式进行分部积分：j( p ) = -ihd ( p - p ' )y| p = +¥+ ò d ( p - p ' )ih ¶ ydp '= ih ¶ y¶ pp= ihp ' p ' = -¥¶ y ( p )¶ p¶p 'p '上式可写成如下形式：j( p) = Xy ( p) ，其中算符 X = ih ¶ ，此关系式便是动量表象的函¶p数形式。练习 7.6证明描写同一状态y 的位置表象波函数y (x) 与动量表象波函数y ( p)之间满足傅里叶变换：2 p hhhy ( x ) =1ò y ( p ) e i xp dp2 p hy ( p ) =1（吴汉成 完成， 董延旭 核对）òy ( x ) e - i xp dx（1）证明：已知á x | p ñ =1i px2 p he h，显然得：2ph右边 =1ò y ( p )e i xp dp2phh= ò y ( p )(1e i px )dph= òy ( p)á x | pñdp又有，y ( p) =y= á p |y ñ ，并代入上式得：p右边= ò á p |y ñá x | pñdp= ò ( áy| p ñ ) * ( á p | x ñ ) * dp= ò (| p ñá p |) * dp ( áy | x ñ ) *（1）又Q本征值矢量组| pñ的完全性，即： ò| pñá p |dp = 1ò (| pñá p |)*dp = (ò| pñá p |dp)* = 1 ， 并代入（ 1 ） 式得：显然证得：右边= (áy | xñ)* = á x |y ñ =yx=y (x)2 p hhy ( x ) =1ò y ( p ) e i xp dp2p h（1）证明：已知á x | pñ =1e i px ，则有：2p hhá p | x ñ = á x | p ñ * =1e- i pxh2phhh显然得：右边=1òy (x)e- i xp dx12 ph= òy ( x ) (= òy (x)á p | xñdxe - i px ) dx又有y (x) =y= á x |y ñ ，并代入上式得：x右边 = ò á x |y ñá p | xñdx= ò (áy | xñ)