柯西不等式的证明及应用论文.docx

南京师范大学泰州学院毕业论文摘要：本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。关键词：柯西不等式；证明；应用Abstract: In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation,diffusion and integral form are explained in detail. Whats more, severaCauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminant method, mathematical induction, the use of the basic andpromotional inequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution function and geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application.Keywords: Cauchy inequality; proof; application20目 录1 绪论31.1 研究意义31.2 国内外研究现状31.3 本文解决的主要问题42 柯西不等式的诠释52.1 柯西不等式52.2 柯西不等式的推论52.3 柯西不等式的变形62.4 柯西不等式的推广72.5 柯西不等式的积分形式83 柯西不等式的证明93.1 配方法93.2 判别式法93.3 数学归纳法103.4 运用基本不等式113.5 运用推广不等式123.6 利用二次型123.7 利用向量内积134 柯西不等式的应用144.1 在证明不等式方面的应用144.2 在证明等式方面的应用164.3 在求最值方面的应用184.4 在解析几何方面的应用194.5 在求参数范围问题中的应用224.6 在解方程问题中的应用224.7 在解函数问题中的应用234.8 在几何上的应用23结论26谢辞27参考文献281 绪 论在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点之一，而不等式问题的处理更以“多入口，方法巧”见长。经研究发现，很多问题又都能采用柯西不等式加以简单地解决。柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性， 深受人们的喜爱。它在代数、几何等方面的广泛应用是众所周知的，它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁，以证明和推广其它不等式及竞赛题，它也是发现新命题的重要工具，是一个极有魅力的不等式。近年来，在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与之有关的题目，灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果。当然，我们在解题中并不一定能看出它的直接应用，需要适当地构造使用它的环境，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的。本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式，给出了它的几种典型证明方法，并通过一些例题讲述了它在多方面的应用，也涉及到一些重要的竞赛题。1.1 研究意义柯西不等式是一个非常重要的不等式，价值不可估量。将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。这个不等式结构对称和谐，无论是在代数，还是几何中都可以应用，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用，在初等数学和高等数学中应用都比较广泛。因此，对柯西不等式的探究是有益的。近年来，以柯西不等式为背景的试题已悄然在高考试卷和国内外的数学竞赛题中出现。在解题过程中， 灵活巧妙地应用柯西不等式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果。1.2 国内外研究现状柯西不等式是一个非常重要的不等式，它结构对称优美，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。因此许多数学教师和资深数学教育家都在研究柯西不等式的证明及应用问题，如 2004 年洪顺刚在皖西学院学报上发表了柯西不等式的证明及其应用，探讨了柯西不等式多种证明方法， 反映了柯西不等式在函数求最值、证明不等式及其在几何上的广泛应用， 2009 年邹晶晶、周小玲，针对柯西不等式的重要性及较强的应用性，在数学学习与研究报上发表了柯西不等式的应用。近年来，在国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与柯西不等式有关的题目，有学者也就其作出了研究，如 2010 年蔡玉书在数学通讯上发表了用柯西不等式证明竞赛中的不等式。但是这些研究还远远没有能够形成一个完整的体系， 还需要做一个更深入的研究和讨论。该课题在国内仍备受关注。国外的研究情况由于资源的缺陷，还尚未清楚。1.3 本文解决的主要问题本文先对柯西不等式从定理、推论、变形、推广和积分形式等方面进行了诠释，然 后介绍了柯西不等式的几种常用证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基 本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，最后探讨了柯西不等式在证明 不等式、等式，求最值，解析几何，求参数范围，解方程，解函数，几何问题上的应用。也讲述了如何巧用柯西不等式及其推论、变形来解题，特别是一些高考题和国内外数学 竞赛题，并介绍了一些解题技巧。2 柯西不等式的诠释柯西是法国数学家，1789 年 8 月 21 日出生于巴黎，他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入地研究，并获得了许多重要的成果，著名的柯西不等式就是其中之一。2.1 柯西不等式æ ånö2ånånè定理 1 对任意两组实数a , a ,××× , a ; b , b ,××× , b，有ça b ÷ £a 2 ×b 2 ，当且仅12n12()ani=1ai i øiii=1i=1当 a 与bi = 1,2, ××× , n 对应成比例，即i = ××× =n 时等号成立。这个不等式称为柯西iibbin（Cauchy）不等式。a说明：bia= ××× = n 的意义如下：在b , b , ××× , b不全为零时，若b =0，则对应的a =0；b12niiin在b = b = ××× = b = 0 时， a , a ,××× , a可取任意实数1。12n12n2.2 柯西不等式的推论柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳出它的推论，将会有更多收获。æ ånöæ ån 1 ö推论 1 设a , a ,××× , a12n是正实数，则çaè i=1a ÷çi øè÷ ³ n2 ，等号成立当且仅当i=1 i øa = a12= ××× = an2。a ;n1a1证：比照柯西不等式，构造如下两组数：a , a,., 1 ,., 1 。12a2an由柯西不等式，得aiæ ån1 ö2éån () ù ånëæ 1 ö2aiç×è i=1÷ £ êøi=1a 2 ×úiûç÷ ，aii=1 èø÷æ ånöæ ån 1 ö即n2 £ çøè所以原不等式成立3。i=1a ÷çi øèåni=1。aiiæ ånö2推论 2 设a , a ,××× , a12n是实数，则na 2 ³ ça ÷ ，等号成立当且仅当ii=1è i=1øa = a12= ××× = an2 。ånånæ ånö2()证：由柯西不等式有a 2 ×b 2 ³ ça b ÷ ，取b= 1 i = 1,2,., n ，有ånæ ånö2iii=1i=1è i=1i i øina 2 ³ ça ÷ 4 。ii=1èøii=12.3 柯西不等式的变形柯西不等式有多种变形，已经成为许多现代数学理论的出发点。下面介绍的是竞赛解题中的常见形式。ån a2ii=1ån b2ii=1变形 1 对任意的两组实数a 、b (i = 1,2,., n)，有 ån a b £×。iii ii=1等号成立当且仅当ai= kbi(k为常数，i = 1,2,., n)。注：这又可以表示为向量形式，即对于任意的向量 a, b 有 (a, b ) £ a b ，其中，等号成立当且仅当a, b 线性相关。这就是所谓的柯西布涅柯夫斯基不等式。变形 2 对任意的两组正实数a 、b (i = 1,2,., n)，有iiæ ån a b ö2 = æ åna × a b ö2çi i ÷çii i ÷è i=1øè i=1øæ ånöæ ånö£ ça ÷ça b2 ÷ 。è i=1øèii=1i i ø当且仅当b 为常数时，上式等号成立。iæ ånæ n a b ö2å÷öçi i变形为ça b2 ÷ ³ è i=1ø ，用来处理分式不等式常常带来方便。è i=1i i øån aii=1变形 3 对任意的两组正实数a 、b(i = 1,2,., n)，有åæ nö2ça ÷iia baibiç÷ø= æ ån×ö2è i=1i øèi ii=1øæ ånöæ ån a ö£ ça b ÷çi ÷ 。è i=1i i øèbi=1 i当且仅当b 为常数时，上式等号成立。iaæ ånö2èøæ ån a öçi ÷变形为çi ÷ ³i=1，用来处理分式不等式常常带来方便。è i=1 b øå a bini ii=1变形 4 对任意的两组正实数a 、b(i = 1,2,., n)，有æ åniçö2æ ånibiibia ö2çè i=1a ÷ =i øè· ÷i=1øæ ånöæ ån a 2 ö£ çøè i=1b ÷çi øèi=1i ÷ 。bi当且仅当ai= kb ( k 为常数， i = 1,2,., n )时，上式等号成立。iaæ ånö2èåèøæ ån a2 öçi ÷变形为çi ÷ ³i=1，用来处理分式不等式常常带来方便。bi=1iøæ nöèiçb ÷i=1ø变形 5 对任意的两组实数a , a ,××× , a ;b , b ,××× , b ，有12n12næ ånö2æ ånöæ ån b2 ö()ça b ÷ £ çl2a2 ÷çi ÷ l ¹ 0 。è i=1i i øèi=1i øèi=1l2 ø当且仅当ai= kb ( k 为常数， i = 1,2,., n )时，上式等号成立。i2.4 柯西不等式的推广定理 2 对aij> 0(i = 1,2,., m, j = 1,2,., n)，有æ åm ÕnönÕn åmèøça ÷ £iji=1 j =1an 。ijj =1 i=1证：记åm an = A n 。由算数几何平均不等式有i=1ijjåm Õn a £ åm æ 1 ån a n ö = 1 ån åm a n= 1 ån1 = 1,ijçij ÷ijøAi=1 j =1ji=1 è nA nj =1jnA nj =1 i=1jnj =1æ åm ÕnönÕn åm得ça ÷ £ A n A n .A n =a n 5 。è i=1 j =1øij1 2nijj =1 i=12.5 柯西不等式的积分形式柯西（Cauchy）不等式的积分形式称为施瓦茨（Schwarz）不等式。定理 3 若 f (x)、 g (x)在a, b上可积，则(òb f (x)g (x)dx)2 £ òb f 2 (x)dx × òb g 2 (x)dx 。aaa若 f (x)、 g (x)在a, b上连续，其中等号当且仅当存在常数a, b 使得a f (x)º b g (x)时成立（a, b 不同时为零）6。证：因为 f (x), g (x)都在a, b上可积，由定积分性质，推得f 2 (x), f (x)× g (x), g 2 (x)，及"t Î R, éë f (x)+ tg (x)ùû2在a, b上都可积，由定积分性质：òb éë f (x)+ tg (x)ùû2 dx = òb f 2 (x)dx + 2t òb f (x )g (x )dx + t 2 òb g 2 (x )dx ³ 0 。aaaa()因为上式对一切实数t 都成立，所以必须有4 òb f (x)g (x)dx 2 - 4òb f 2 (x )dx × òb g 2 (x )dx £ 0 。aaa即施瓦茨（Schwarz）不等式(òb f (x)g (x)dx)2 £ òb f 2 (x)dx × òb g 2 (x)dx 成立7。aaa3 柯西不等式的证明柯西不等式的证明方法有很多种，下面介绍典型的几种。3.1 配方法ånånæ ånö2a2b2 - ça b ÷iii=1i=1è i=1i i ø= åna2 ånb2 - åna b ån a biji ij ji=1j =1i=1j =1= 1 æ åna2 ånb2 - 2åna b åna b + åna2 ån b2 ö2 çij÷i ij jjiè i=1j =1i=1j =1j =1i=1ø= 1 ån ån(a 2b 2 - 2a b a b)+ a 2b 22iji=1 j =1i i j jj i= 1 ån ån(a b- a b )2 ³ 0 。2i jj i i=1 j =1ånånæ ånö2由此证明了a2b2 ³ ça b ÷ 且得等号成立的条件为：iii=1i=1è i=1i i øa b - a b= 0, "i, j = 1,2,., n. 这等价于连比式 1 = a2 = . = n 8。aai jj ibbb12n3.1 判别式法当a (i = 1,2,., n)全为零时，命题显然成立。i如果a不全为零，考察二次函数 f (x)= æ ån a2 ö x2 - 2æ ånö+ ån b2÷içiça b ÷ xiè i=1øè i=1øi ii=1= ån(a x - b )2 。因为a , b Î R ，对于任意 x Î R, f (x)³ 0 。iii=1ii( )æånö2æ ånöæ ånö所以， fx 的判别式： D = ç 2a b ÷ - 4ça2 ÷çb2 ÷ £ 0 。è i=1i i øèi=1i øèii=1øæ ånö2æ ånöæ ånö从而，ça b ÷ £ ça2 ÷çb2 ÷ 。è i=1i i øèi=1i øèii=1ø当且仅当 f (x)有二重根 x = k 时，即ån (a k - b )2 = 0 时等号成立。因此，当且仅当iii=1b = ka (i = 1,2,., n)时等号成立3。ii3.2 数学归纳法当n = 1 时，显然成立。当n = 2 时， (a b + a b )2 = a 2b 2 + 2a b a b+ a 2b 21 12 21 11 1 2 22 2()()£ a 2b 2 + a 2b 2 + a 2b 2 + a 2b 2 =a 2 + a 2b 2 + b 2 。1 11 2等号当且仅当a b = a b 时成立。2 12 212121 22 1æ åkö2åkåk假设当n = k 时成立，即ça b ÷ £a 2 ×b 2 。è i=1i i øiii=1i=1等号当且仅当a b= a b (i, j = 1,2,., k )时成立。i jj içè那么，当n = k +1 时， åk +1 a 2 åk +1 b 2 = æ åka 2 + aöæ kå2÷çb 2 + b2 öiii=1i=1ii=1k +1øè i=1k +1 ø÷i= åka2 åkb2 + b2 åka2 + a2 åkb2 + a2b2i=1iii=1k +1ii=1åk a2 åk b2iii=1i=1i=1k +1ik +1k +1³ åka2 åk b2 + 2ab+ a2b2i=1æ åkiii=1ö2k +1k +1åkk +1 k +1³ ça b ÷ + 2aba b + a2b2è i=1i i øk +1k +1i ii=1k +1k +1= æ åk +1ö2ça b ÷ 。è i=1øi ia等号当且仅当 i= aj (i, j = 1,2,., k )且åka2åkb2 = a2 b2 时成立。因为a biibi= ab ,jjbji=1iii=1k +1k +1所以a 2b 2 = a 2b 2 = åka2åkb2 (i, j = 1,2,., k )。iijji=1iii=1所以a 2 b 2 = a 2 b 2 = a2 b2 (i, j = 1,2,., k )。iijjk +1k +1所以a bii= abjj(i, j = 1,2,., k +1)。综上所述，柯西不等式成立9。3.3 运用基本不等式运用基本不等式ab £a2 + b2 )。1 (2记S 2 = ån a2 , S 2 = ånb2 ,T = a b , i = 1,2,., n 。1i2iii ii=1i=1T + T + . + T12nS S1 2æ ånö2ø则柯西不等式等价于 S 2 S 2 ³ çT ÷ ，也等价于£ 1 。12èii=1æ a ö2 + æ b ö2ç 1 ÷ç 1 ÷T1S S1 2a b1 1S S1 2è S øè S øabaS=£12，当且仅当 1 = 1 ，即 1 =1 时等号成立；2æ a ö2 + æ b ö2SSbS1212T2S S1 2a b2 2S S1 2èøabaSS2ç 2 ÷ç 2 ÷=£1øè S，当且仅当 2 = 2 ，即 2 =1 时等号成立；2SSbS1222æ a ö2æ b ö2TnS S1 2a bn nS S1 2èS2ç n ÷ + ç n ÷=£1øè S øabaS=，当且仅当 nn ，即 n1 时等号成立。以上n 个式子相加得2SSbS12n2ån a2iT + T + . + T12nS S1 2T1S S1 2T2S S1 2TnS S1 2i=1ån b2i+ i=1£+ . +S 2S 2£122= 1+1 2= 1 。a aaS当且仅当 1 = 2 = . = n =1 时等号成立，即等价命题成立。b bbS12n2故柯西不等式成立。3.4 运用推广不等式若 x 为正数， y 为非负数， i = 1,2,., n ，实数m ³ 0 ，则iy m+1y m+1i(y m+1(y + y+ . + y)m+1yy1+ 2x mx m+ . + n³x m12x + xnm（当且仅当1 = . =xn 时等号成立）。x12n12n1n+ . + x )在以上推广不等式中取m = 1, y= a b , x= b 2 , i = 1,2,., n 。ii iii(a b )2(a b )2(a b )2(a b + a b + . + a b )2有1 1+2 2+ . +n n³1 12 2n n。b 2b 2b 2b 2 + b 2 + . + b 212n12n化简得，(a 2 + a 2 + . + a 2 )(b 2 + b 2 + . + b 2 )³ (a b + a b + . + a b)2 。12n12n1 12 2n n当b 为零或几个为零（ a 处于对称位置），不等式显然成立。iånåniæ ånö2aaa所以a2b2 ³ ça b ÷ ，当且仅当 1 = 2 = . = n 时等号成立4。iii=1i=1è i=1i i øbbb12n评注：上述两种证法都灵活运用了已知的不等式。3.5 利用二次型0 £ ån(a x + b y )2iii=1= æ åna 2 ö x2 + 2 æ ånö+ æ ånöøb 2 y2 ,ç÷ça b ÷ xyç÷è i=1i øèi=1i i øèii=1ån a2iån a bi i即关于 x 、 y 的二次型非负定，因此 i=1åni=1i=1a båni ii=1³ 0 ,b2iånånæ ånö2此即a2b2 ³ ça b ÷ 6 。iii=1i=1è i=1i i ø3.6 利用向量内积a = (a + a + . + a ), b = (b + b + . + b设12n12n),q 是a 与b 的夹角，因为a × b = a × b ×cosq, cosq £ 1,所以 a × b = a × b × cosq £ a × b 。于是，a × b 2 £ a 2 × b 2 。所以(a b + a b+ . + a b )2 £ (a 2 + a 2 + . + a 2 )(b 2 + b 2 + . + b 2 )。1 12 2n n12n12nbbb或q当且仅当q = 0= 180 时等号成立，即a 与b 共线， 1 = 2aa12= . = n 时等号成立10。an以上给出了柯西不等式七种常用的证明方法，还有其它的一些证明方法这里就不逐一介绍了。这充分体现了柯西不等式的重要性和证法的多样性。除此之外，柯西不等式的应用也非常的广泛。下面就柯西不等式的应用进行探讨。4 柯西不等式的应用柯西不等式作为重要的不等式，价值是不可估量的，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用。灵活巧妙地运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解， 亦可使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率， 尤其是在国际数学竞赛上。在应用柯西不等式时，分析其结构，运用其解题的关键是构造两个数组ai和b (i = 1,2,., n)或多组数组。构造数组时一要考虑柯西不等式的基本形式i和推广，二要考虑所要证明不等式的结构，然后构造数组。下面通过具体的例子介绍柯西不等式在以下问题中的应用。4.1 在证明不等式方面的应用11柯西不等式在不等式的证明中有着十分重要的作用，它不仅应用广泛，而且用法灵活，许多不等式利用柯西不等式证明可以化难为易。有些证明不等式的题目表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等。下面通过一些具体例子加以说明。éån (2 2æ ån2æ ån 2) ù1例 1 证明三角不等式： êëa + bûú £ ça2 ÷ + çb2 ÷ 。ööøiii=1è i=1i øèii=1证：因为ån(a + b )2 = ån (a + b )a + ån (a + b )b ，根据柯西不等式，可得iiiiiiiii=1i=1i=1åni=1(a + b )aiii£ éêån (aië i=1+ b )2 ånii=11úùa 2 2 ，i ûån (aii=1+ b )bii£ éêån (aië i=1+ b )2 ånii=11úùb 2 2 。i ûi把上述两个不等式相加，再除以êéån (aö1ë i=1ù 1ú+ b )2 2 ，iû1éån (2 2æ ån2æ ån 2) ù1即可得êëa + bûú £ ça2 ÷ + çb2 ÷ 成立。öøiii=1è i=1i øèii=11例 2 设a, b, c 为正实数，且满足abc = 1，证明：1a3 (b + c)+b3 (a + c)+1c3 (a + b³ 3 。2)分析：对于这样的不等式一般可以采用配对约分的方法来解决，但是采用配对约分有一定的要求：一般为分子项所涉及的字母次数为二次，而分母涉及字母次数均为一次。而对于上述不等式左边不符合配对约分，虽然 1 可以看成“12”，但分母a 3 是高次。可b2c2a2c2a2b23因a2b2c2 = 1，故可把不等式变为：a1母都达到了配对约分的要求。证：因为a2b2c2 = 1，(b + c)+b (a + c)+c (a + b) ³ 2 ，这样左边分子、分1所以()+()+(b2c2=+)a2c2+a2b2)。1a3 b + cb3 a + cc3 a + ba (b + c)b (a + c)c (a + b于是左边配对约分，运用柯西不等式，得b (a + c)a (b + c)ébcacab()ù2ê a (b + c)´ë+b (a + c)´+ c (a