喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间.docx

EX1.矢量空间练习 1.1试只用条件（1）（8）证明y +y = 2y ，y 0 = O 和y（-1）= -y 。（完） 证明：由条件（5）、（7）得y +y =y1+y1 =y（1+1）= 2y只需证明y 0 = O 和y (-1) = -y 这两式互相等价根据条件（7）y 0 =y (0 + 0) =y 0 +y 0现在等式两边加上 (-y 0) ，得y 0 + (-y 0) = (y 0 +y 0) + (-y 0)根据条件（4），上式左 =y 0 + (-y 0) = O根据条件（4）、（2）上式右 =y 0 + (y 0 -y 0) =y 0 + O =y 0y 0 = O由y 0 = O ，根据条件（4）、（7）得y 0 =y (1 - 1) =y +y (-1) = O =y -yÞy (-1) = -y#练习 1.2证明在内积空间中若(y1,j)= (y,j)对任意j 成立，则必有y21=y 。2（完成人：谷巍审核人：肖钰斐）证明由题意可知，在内积空间中若 (y1,j)= (y,j)对任意j 成立，则有2(y ,j) (y1,j)=0(1)2于是有(y -y1,j)= 0(2)2由于在内积空间中(y1,j)= (y,j)对任意j 成立，则可取j =y21-y ,则有2(y -y ,y121-y )=0成立（3）2根据数乘的条件（12）可知，则必有y -y= 012（4）即 y = y12故命题成立，即必有y1#=y .2练习 1.3矢量空间运算的 12 个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。（完成人：赵中亮审核人：张伟）解：矢量空间运算的 12 个条件是独立的。#练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角 (á180°)的分角线方向，空间是否仍为内积空间？AB（ 2 ） 在第二个例子中若将二矢量 A和B 内积的定义改为×sinq 或1 A2B· sinq ，空间是否仍为内积空间？（3） 在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为(l, m)= l *m + 2l *m + 3l *m + 4l *m11223344空间是否仍为内积空间？（4） 在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为a(f (x), g(x)= òb f * (x)g(x)xdx或(f (x), g(x)= òb f * (x)g(x)x 2 dxa空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟审核人：赵中亮）解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为A ，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。（2） 在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：BCBC)一般情况下，+¹+,即有AAB(A, B + C =· B +Csinq ¹· sinq +AC· sinq =(A, B()+ A, C所以内积的定义改变之后不是内积空间。（3） 在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明 如下：i(m,l )* = (m *l+ 2m *l + 3m *l+ 4m *l )* = l *m+ 2l *m + 3l *m + 4l *m= (l, m)1 1ii2 23 34 411223344(l, m + n)= l * (m+ n ) + 2l * (m+ n ) + 3l * (m+ n ) + 4l * (m+ n )111222333444= (l *m+ 2l *m+ 3l *m+ 4l *m) + (l *n+ 2l *n+ 3l *n+ 4l *n )= ( 1)1 (2 ) 233441 1223344iiil, m+ l, n(l, ma)= l *m a + 2l *m a + 3l *m a + 4l *m a11223344()= a (l *m+ 2l *m + 3l *m + 4l *m )11= a l, m223344iv.(l, l )=| l1|2 +2 | l2|2 +3 | l3|2 +4 | l4|2 ³ 0 ，对任意l 成立若(l, l )= 0, 则必有l = l12= l = l34= 0,即l = 0综上所述，新定义的内积规则符合条件（ 9）条件（ 12），所以仍为内积空间（4） 在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为(f (x), g(x)= òb f * (x)g(x)xdx 后，空间不是内积空间。a因为 (f (x), f (x)= òb f * (x) f (x)xdx =òbaaf (x) 2 xdx ，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的 f (x)积分出来后都大于零，即不符合条件(12)， 所以不是内积空间。在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为(f (x), g(x)= òb f * (x)g(x)x 2 dx 后，空间是内积空间。a证明如下:()bæ bö*()*if (x), g(x) = ò f * (x)g(x)x 2 dx = ç ò g * (x) f (x)x 2 dx ÷ = g(x), f (x)aè aøii(f (x), g(x) + h(x )= òb f * (x)g(x)x 2 dx + òb f * (x)h(x)x 2 dx = (f (x), g(x)+ (f (x), h(x )aaiii (f (x), g(x)a)= òb f * (x)g(x)ax 2 dx = aòb f * (x)g(x)x 2 dx = a(f (x), g(x)aaiv (f (x), f (x)= òbaf (x) 2 x 2 dx ³ 0, 对任意y 成立若(f (x), f (x)= òbaf (x) 2 x 2 dx = 0 ，则必有 f (x)= 0综上所述，新定义的内积规则符合条件（ 9）条件（ 12），所以仍为内积空间。#练习 1.5 若 a 为复数，证明若j =ya 时，Schwartz 不等式中的等号成立。（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）证明：当若j =ya 时，分别带入 Schwartz 不等式的左边和右边。左边= (y ,ya) = ay 2右边= y × ya = ay 2左边=右边，说明当j =ya 时，Schwartz 不等式中的等号成立。#练习 1.6证明当且仅当 |y +ja |=|y -ja | 对一切数a 成立时，y 与j 正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。（完成人：赵中亮审核人：张伟）证明：解：当|y +ja |=|y -ja | 对一切数a 成立时，有|y + ja |2 =|y - ja |2即(y +ja,y +ja) = (y -ja,y -ja)得(y ,y ) + (y ,ja) + (ja,y ) + (ja,ja) = (y ,y ) - (y ,ja) - (ja,y ) + (ja,ja)即(y ,ja) = -(ja,y )(y ,j)a = -a* (y ,j)*因为a 可以取一切数,所以当a 取纯虚数时，即 a = -a*得(y ,j) = (y ,j)*由此得(y ,j) 只能是实数当a 取非零实数时，即 a = a*(y ,j) = -(y ,j)*只有(y ,j) = 0 时，即y 与j 正交时才成立所以 当 |y +ja |=|y -ja | 对一切数a 成立时，y 与j 正交。当y 与j 正交时， (y ,j) = 0则(y ,j) = (y ,j)* = 0取a 为任意数则(y ,j)a = -a* (y ,j)* = 0(y ,ja) = -(ja,y )2(y ,ja) = -2(ja,y )(y ,y ) + 2(y ,ja) + (ja,ja) = (y ,y ) - 2(ja,y ) + (ja,ja)(y ,y ) + (y ,ja) + (ja,y ) + (ja,ja) = (y ,y ) - (y ,ja) - (ja,y ) + (ja,ja)(y +ja,y +ja) = (y -ja,y -ja)|y + ja |2 =|y - ja |2得|y +ja |=|y -ja |即|y +ja |=|y -ja | 对一切数a 成立综上，当且仅当 |y +ja |=|y -ja | 对一切数a 成立时，y 与j 正交。在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是 矩形。#练习 1.7 证明：当且仅当y- ja ³ y 对一切数a 成立时，y 与j 正交。（完成人：班卫华审核人：何贤文） 证明：因为 y - ja ³ y ，两边平方得y - ja2 ³ y 2y 2 - (y *j + j*y )a + j 2 a 2 ³ y2j 2 a 2 - (y *j + j*y )a ³ 0则构成以a 为变量的二次函数，要使对一切a 成立，判别式恒小于等于零，即(y *j + j *y )2 £ 0只需y *j + j *y = 0即(y ,j) + (j,y ) = 0得(y ,j) = 0所以当 y - ja ³ y对一切数a 成立时，y 与j 正交。练习 1.8 在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：æ 1 öç ÷=,lç 0÷1ç 0÷0ç ÷è øæ 1öç ÷=,lç 1÷2ç 0÷0ç ÷è øæ 1öç ÷=,lç 1÷3ç 1÷0ç ÷è øæ1öç ÷=lç1÷4ç1÷1ç ÷è ø它们构成一个完全集，试用 Schmidt 方法求出一组基矢。（完成人：肖钰斐审核人：谷巍） 解：由 Schmidt 方法，所求基矢：æ 1öll11ç ÷ç ÷n = ç 0÷100ç ÷è øæ 1öæ 1öæ 0öç ÷ç ÷ç ÷æ 0öç ÷n ¢ = l22-n (n , l )=-×1 =111ç 1÷ç 0÷ç 1÷ç 0÷ç 0÷ç 0÷000ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè øn ¢ç 1÷n ¢22=n =2ç 0÷0ç ÷è øn ¢ = l33-n (n , l113)-n2(n , l )23æ 1öæ 1öæ 0öæ 0öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=-×1 -×1 =ç 1÷ç 0÷ç 1÷ç 0÷ç 1÷ç 0÷ç 0÷ç 1÷0000ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè øè øæ 0öç ÷n ¢33=n =n ¢ç 0÷3ç 1÷0ç ÷è øn ¢ = l -n (n , l44114)-n(n , l224)-n(n , l334æ1öæ 1öæ 0öæ 0öæ 0öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷)= ç1÷ - ç 0÷ ×1 - ç 1÷ ×1 - ç 0÷ ×1 = ç 0÷10010æ 0öç ÷n ¢44=n =n ¢ç 0÷4ç 0÷1ç ÷è øç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷10001è øè øè øè øè ø#练习 1.9 在上题中，改变四个l 的次序，取æ 1 öç ÷=,lç 0÷1ç 0÷0ç ÷è øæ1öç ÷=,lç1÷2ç1÷1ç ÷è øæ 1öç ÷=,lç 1÷3ç 0÷0ç ÷è øæ 1öç ÷=lç 1÷4ç 1÷0ç ÷è ø重新用 Schmidt 方法求出一组基矢。（完成人：何贤文审核人：班卫华）解：由空间中不满足正交归一条件的完全集 l , l12, l ,l34，求这个空间的一组基矢n ,n1,n ,n .234（1） 首先取n为归一化的l ：11æ 1öç ÷l11=n =lç 0÷1ç 0÷0ç ÷è ø（2） 取n¢ = l -n a ，选择常数 a使n ¢ 与n正交，即221 1212210 = (n ,n1得¢ ) = (n , l212) - a12æ 0öç ÷a= 1 ，n12¢ç 1÷=2ç 1÷1ç ÷è ø取n 为归一化的n ¢ ：22æ 0ön ¢1 ç 1÷ç ÷n22n =23 ç 1÷1ç ÷è ø（3） 取n¢ = l-n a-n a，选择常数 a 和a使n ¢ 与n ,n正交，即331 132 231323312æ 0 öç 2 ÷ç÷¢ç 3 ÷n= l -n (n , l ) -n (n , l ) = ç- 1 ÷33113223ç3 ÷ç- 1 ÷ç÷è3 ø归一化的n 为3n ¢æ 0 öç÷12ç÷n ¢336n 3 =ç- 1÷- 1ç÷èø（4） 取n¢ = l-n a-n a-n a，选择常数 a , a , a使n ¢ 与已选441 142 243 341424344定的n ,n ,n123正交，即æ 0 öç÷¢ç 0 ÷n= l -n (n , l ) -n(n , l) -n(n , l) = ç 1 ÷44114224334ç 2 ÷ç- 1 ÷归一化的n 为4n ¢ç÷2èøæ 0 öç÷10ç÷n ¢442n 4 =ç 1 ÷- 1ç÷èø则找到一组基矢为 n ,n1#,n ,n .234rrr练习 1.10在三维位形空间中， i ， j ， k 是在互相垂直的 x，y，z 三个轴上的单位矢量。取三个归一化的矢量：（高思泽）rri = lºrr( + )r11lij22r1rr2l =( j + k )3在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个rrr矢量l ， l12， l 互相正交。31. 证明：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一 种内积规则。r2. 求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量 r1r= i x1r+ jy1r+ kz ，1rrrrr = i x + jy + kz的内积表为 x , y , z 和 x , y , z的函数。22221112223. 验证所求的内积规则符合条件（9）（12）。rr4. 用(l ，l ) = d验证所求出的内积规则。ijij1 证明：在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢 量的正交性定义，两个矢量 和 的内积为零，即(y ,j)= 0 。2 解：rrrrrr由i ， j ， k 与l ， l12， l 的关系，可得到如下变换：3rir = lr1 rrj =2l - lrv21 rr由上面的关系得：k =2l3-2l + l21rrrrrrrrrrr = l x + ( 2l - l ) y + ( 2l -2l + l )z = l (x - y + z ) + l ( 2 y -2z ) + l2zr1r1 1r2r11r3r21r 11r 1112 r113 r1r = l x21 2+ ( 2l2- l ) y12+ ( 2l3-2l2+ l )z12= l (x - y122+ z ) + l22( 2 y2- 2z2) + l2z32由此，r rrrrrrr(r , r ) = (l (x - y + z ) + l( 2 y-2z ) + l2z , l (x - y+ z ) + l( 2 y-2z) + l2z )1 211112 rr113112 rr222 rr 2232= (x - y+ z )* (x - y+ z )(l , l ) + 2( y- z )* ( y- z )(l , l) + 4z* z(l , l )111222111122r2 r 21 233+ 2(x - y+ z )* ( y - z ) +2(x - y+ z )* ( y - z )(l , l) + 2z (x - y+ z )* +2z (x - y11122r 2 r221112211112+ 2z ( y - z )* + 2z ( y - z )*(l , l )21112223定义l® ， l® ， l® 互相正交，有矢量的正交性，得123rrrrrr(l , l ) = (l , l ) = (l , l ) = 1r1 r1r3 r3r3 r3(l , l ) = (l , l ) = (l , l ) = 0121323由此可得r r(r , r ) = (x - y+ z )* (x - y+ z ) + 2( y- z )* ( y- z ) + 4z* z1 211122211221 23 证明：r r(r , r )* = (x - y+ z )* (x - y+ z ) + 2( y- z )* ( y- z ) + 4z* z )*2 122211122112 1= (x - y+ z )* (x - y+ z ) + 2( y- z )* ( y- z ) + 4z* zr1 r 11= (r , r )22211221 21 2r rr r(r , r a) = (x - y + z )* (x - y + z )a + 2( y - z )* ( y - z )a + 4z * z a = (r , r )a1 211122211221 21 2r rr r(r , r ) =| (x - y + z) |2 +2 | ( y - z) |2 +4 | z |2 ³ 0 当(r , r ) = 0 时，只有 x,y,z 都同时等rr于 0 才能满足，即 r = 0 。综上所述，所求的内积规则符合条件（9）（12）。4，见（2） #练习 1.11 在 n 维空间中，已知l ，i=1,2,3. ,n 是一组完全集（不一定正交），i现在有 n 个矢量y ，i=1,2,3. ,n（也不一定正交），定义i(l ,y )11(l ,y12)L(l ,y )1 n(l ,yD=21)(l ,y22)L(l ,y )2 nLLLL(l ,y )(l ,y )L(l ,y )n1n2nn证明y 线性相关的必要和充分条件维 D=0。i（完成人：何贤文审核人：班卫华）解：对于矢量空间的 n 个矢量的集合y ，有ån y D = 0 ，此式是关于 niiii=1个矢量的集合y 的齐次方程组iì (l ,y )y+ (l ,y )y+LL+ (l ,y )y= 0122ï l 1 y 1 y 1 +l y yLL1nnï(,)(,)+ (l ,y )y= 0í2112222nn（1）ï LLLLLLLLLLLLLLLLLLLîï (ln,y )y11+ (l ,y )yn22+LL(l ,y )y= 0nnn若y 线性相关，则满足 ån y D = 0 至少有一组非零解，则要求：iiii=1(l ,y11)(l ,y12)L(l ,y )1n(l2 ,y1 )(l2 ,y 2 )L(l2 ,y n ) = 0LLLL(l ,y )(l ,y )L(l ,y )n1n2nn即D=0若 D=0，则方程（1）必有非零解，即满足有一组不为零的复数使得ån y i Di = 0i=1故y i 线性相关。#练习 1.12 一个矢量空间有两个不同的子空间 S1 和 S2，证明除去以下两种情况外，包括 S1 的全部元和 S2 的全部元的那个集合并不是子空间：（1 S1 是 S2 的子空间或 S2 是 S1 的子空间；（2 S1 和 S2 其中之一只含有零矢量一个元。（完成人：张伟审核人：赵中亮）证明：（1）设子空间 S1 和 S2 的维数分别为 m，n，它们共同的基矢的个数为l(l < m, l < n)个，当 S1 不是 S2 的子空间且 S2 不是 S1 的子空间时，它们之间含有不同的基矢。则当 S1 空间的一个矢量和 S2 空间的一个矢量做加法的时，它们得到的矢量并不能一定在包括 S1 的全部元和 S2 的全部元的那个集合中找到，因为加法后得到的矢量的维数可以大到 (m + n - l )维，而m + n - l > m,且m + n - l > n所以包括 S1 的全部元和 S2 的全部元的那个集合并不是矢量空间，从而不是子空间。（2）当 S1 和 S2 其中之一只含有零矢量一个元时，它必然是另一个子空间的子空间，由此可见(2)只不过是（1）的特例，显然得证。#练习 1.13阅读狄拉克的量子力学原理§6，分析他建立左矢空间的方法与 我们的方法有什么共同点和不同点.（完成人：梁立欢审核人：高思泽） 分析：本书从空间的方向入手建立左矢量。我们对现有的一个矢量空间定义了其中矢量的加法、数乘和标量积运算，称此空间为单一空间。现在对照这个空间再建以下两个空间。一个叫右矢空间，它的构造同单一空间完会一样，每一个矢量（即右矢）都与单一空间里的矢量相对应，这些右矢有加法和数乘的运算， 其定义和规则与单一空间相同。第二空间比照右欠空间来建立，称为左矢空间， 其实右矢空间的每一个矢量在左矢空间都有一个左矢与其相对应。， 左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，它们通过标量积联系起来。这样建立的左矢空间是一个完全确定的（即有明确加法和数乘运算规则的）欠量空间。狄拉克是从对偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一个数 C。它是右矢量y 的函数， 就是说，对每一个右矢量 y 有一个函数 C 与之相应，并且进一步假定此函数是线性函数， 其意义是，相应于y + j 的数等于相应于 y 的数与相应于 j 的数之和，相应于a y 的数是相应于 y 的数的a 倍，其中a 是任意的数字因子。这样，相应于任何 y 的数 C，就可以看成是y 与某个新矢量的标量积，对右矢量 y 的每一线性函数就有一个这样的新矢量。我们把这种新矢量称为“左矢量”或简称“左矢”。 在此引入的左矢量，是与右矢量完全不同的另一类矢量，而且直到现在。除了左矢量与右矢量之间存在着标量积以外，两者之间还没有任何联系。现在作一个假定：在左矢量与右矢量之间有一一对应关系。使得相应于 y + j 的左矢是相应于 y 的左矢与相应于 j 的左矢之和。而相应于c j 的左矢则是相应于 j 的左矢乘以c ， c 是 c 的共轭复数， j 相应的左矢可写成 j 。从以上两种方法来看，它们是从不同的方向来建立左矢空间的，在此过程中，都对矢量关系和运算问题进行了一些假定（或规定），并且所建立的左矢空间和右矢空间都是通过定义的标量积联系起来。#练习 1.14证明：与所有左矢的内积均已给定（但给定值应满足内积条件（ 9）（12）的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）。（完成人：谷巍审核人：肖钰斐）证明 设右矢 j 和 j 与所有左矢áy 的内积均已给定,且内积均为 C.则有12y j= C1（1）y j= C2（2）根据内积条件（10）的第一式，由（1）（2），则有y (j1- j )= 02（3）因为 y 是任意的左矢，故知括号内为 0 ，即j- j= 012(4)j= j12(5)故与所有左矢的内积均已给定的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有 一个）.定理得证.