复变函数期末考试复习题及答案详解.pdf

。精选资料，欢迎下载复变函数考试试题（一）1、1|00)(zznzzdz_. （n为自然数）2.zz22cossin _. 3. 函数zsin的周期为 _. 4. 设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有_. 5. 幂级数0nnnz的收敛半径为_. 6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是_. 7. 若nnzlim，则nzzznn.lim21_. 8.)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数 . 9. zzsin的孤立奇点为 _ . 10. 若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz. 三. 计算题（ 40 分） ：1. 设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1|0:zzD内的罗朗展式. 2. .cos11|zdzz3. 设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1( if4. 求复数11zzw的实部与虚部. 四. 证明题 .(20分) 1. 函数)(zf在区域D内解析 . 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数 . 2. 试证 : ( )(1)f zzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值 . 复变函数考试试题（二）二. 填空题 . (20分) 。精选资料，欢迎下载1. 设iz，则_,arg_,|zzz2.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz_. 3. 1|00)(zznzzdz_. （n为自然数）4. 幂级数0nnnz的收敛半径为 _ . 5. 若z0是f(z) 的m阶零点且m0，则z0是)( zf的_零点 . 6. 函数ez的周期为 _. 7. 方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_. 8. 设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有 _. 9. 函数|)(zzf的不解析点之集为_. 10. _)1 ,1(Res4zz. 三. 计算题 . (40分) 1. 求函数)2sin(3z的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值 . 3. 计算积分：iizzId|，积分路径为（1）单位圆（1| z）的右半圆 . 4. 求dzzzz22)2(sin.四. 证明题 . (20分 ) 1. 设函数f(z) 在区域D内解析，试证：f(z) 在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析 . 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题（三）二. 填空题 . (20分 ) 1. 设11)(2zzf，则f(z) 的定义域为 _. 2. 函数ez的周期为 _. 。精选资料，欢迎下载3. 若nnninnz)11 (12，则nznlim_. 4. zz22cossin_. 5. 1|00)(zznzzdz_. （n为自然数）6. 幂级数0nnnx的收敛半径为 _. 7. 设11)(2zzf，则f(z) 的孤立奇点有 _. 8. 设1ze，则_z. 9. 若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz. 10. _)0,(Resnzze. 三. 计算题 . (40分) 1. 将函数12( )zf zz e在圆环域0z内展为 Laurent级数 . 2. 试求幂级数nnnznn!的收敛半径 . 3. 算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1| z. 4. 求0282269zzzz在|z|1 内根的个数 . 四. 证明题 . (20分) 1. 函数)(zf在区域D内解析 . 证明：如果| )(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数 . 2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz|时nzMzf|)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）。精选资料，欢迎下载二. 填空题 . (20分) 1. 设iz11，则_Im_,Rezz. 2. 若nnzlim，则nzzznn.lim21_. 3. 函数ez的周期为 _. 4. 函数211)(zzf的幂级数展开式为_ 5. 若函数f(z) 在复平面上处处解析，则称它是_. 6. 若函数f(z) 在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_. 7. 设1|:| zC，则_) 1(Cdzz. 8. zzsin的孤立奇点为_. 9. 若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz. 10. )0,(Resnzze_. 三. 计算题 . (40分) 1. 解方程013z.2. 设1)(2zezfz，求).),(Rezfs3. .)(9(2|2zdzizzz . 4. 函数( )f zzez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数） . 四. 证明题 . (20分 ) 1.证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析. 2. 证明0364zz方程在2|1z内仅有 3 个根 . 复变函数考试试题（五）二. 填空题 . （20 分）1. 设iz31，则_,arg_,|zzz. 。精选资料，欢迎下载2. 当_z时，ze为实数 . 3. 设1ze，则_z. 4. ze的周期为 _. 5. 设1|:| zC，则_) 1(Cdzz. 6. _)0,1(Reszez. 7. 若函数f(z) 在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8. 函数211)(zzf的幂级数展开式为_. 9. zzsin的孤立奇点为_. 10. 设C是以为a心，r为半径的圆周， 则_)(1Cndzaz.（n为自然数）三. 计算题 . (40分) 1. 求复数11zz的实部与虚部 . 2. 计算积分：zzILdRe，在这里L表示连接原点到1i的直线段 . 3.求积分：I202cos21aad，其中0a1. 4.应用儒歇定理求方程)(zz，在 |z|1 内根的个数，在这里)(z在1|z上解析，并且1|)(|z. 四. 证明题 . (20分 ) 1. 证明函数2|)(zzf除去在0z外，处处不可微. 2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当Rz|时nzMzf|)(|，。精选资料，欢迎下载证明 :)(zf是一个至多n次的多项式或一常数. 复变函数考试试题（六）1.一、填空题（ 20 分）1.若21(1)1nnnzinn，则limnz_. 2.设21( )1f zz，则( )f z的定义域为_. 3.函数sin z的周期为 _. 4.22sincoszz_. 5.幂级数0nnnz的收敛半径为 _. 6.若0z是( )f z的m阶零点且1m，则0z是( )fz的_零点. 7.若函数( )fz在整个复平面处处解析，则称它是_. 8.函数( )f zz的不解析点之集为_. 9.方程532380zzz在单位圆内的零点个数为_. 10.公式cossinixexix称为 _. 二、计算题（30 分）1、2lim6nni. 2、设2371( )Cf zdz，其中:3Cz z，试求(1)fi. 3、设2( )1zef zz，求Re ( ), )s f z i. 4、求函数36sin zz在0z内的罗朗展式 . 5、求复数11zwz的实部与虚部 . 6、求3ie的值 . 三、证明题（20 分）1、 方程7639610zzz在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数( )( , )( , )fzu x yiv x y在区域D内解析，( , )v x y等于常数，则( )f z在D恒等于常数 . 。精选资料，欢迎下载3、 若0z是( )f z的m阶零点，则0z是1( )f z的m阶极点 . 计算下列积分 （分）(1) 22sin()2zzdzz?； (2) 2242(3)zzdzzz?计算积分2053cosd （分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1) 1(1)nnniz；(2) 21( !)nnnnzn设3232( )()f zmynx yi xlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值 （分）三、证明题设函数( )f z在区域D内解析，( )f z在区域D内也解析， 证明( )f z必为常数（分）试证明0azazb的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数 （分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案二填空题1. 2101inn； 2. 1； 3. 2k，()kz； 4. zi； 5. 1 6. 整函数； 7. ； 8. 1(1)!n； 9. 0；10. . 三计算题 . 1. 解因为01,z所以01z111( )(1)(2)12(1)2f zzzzz001()22nnnnzz. 2. 解因为22212Re( )limlim1cossinzzzzs f zzz, 。精选资料，欢迎下载22212Re( )limlim1cossinzzzzs f zzz. 所以22212(Re( )Re( )0coszzzdzis f zs f zz. 3. 解令2()371, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在3z内, ( )( )2( )cf zdzizz. 所以1(1)2( )2(13 6 )2 ( 613 )zifiiziii. 4. 解 令zabi, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab. 故2212(1)Re()11(1)zazab, 2212Im()1(1)zbzab. 四. 证明题 . 1. 证明设在D内( )f zC. 令2222( ),( )f zuivf zuvc则. 两边分别对, x y求偏导数 , 得0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在D内解析 , 所以,xyyxuvuv. 代入 (2) 则上述方程组变为00 xxxxuuvvvuuv. 消去xu得, 22()0 xuvv. 1)若220uv, 则( )0f z为常数 . 2)若0 xv, 由方程 (1) (2) 及.CR方程有0,xu0yu, 0yv. 所以12,uc vc. (12,c c为常数 ). 所以12( )fzcic为常数 . 2. 证明( )(1)f zzz的支点为0,1z. 于是割去线段0Re1z的z平面内变点就不可能单绕0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发, 连续变动到0,1z时 , 只有z的幅。精选资料，欢迎下载角增加. 所以( )(1)f zzz的幅角共增加2. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z的幅角为2, 故2( 1)22ifei. 复变函数考试试题（二）参考答案二. 填空题1.1 ，2，i； 2. 3(1sin 2)i； 3. 2101inn； 4. 1；5. 1m. 6. 2k i，()kz. 7. 0； 8. i； 9. R；10. 0. 三. 计算题1. 解3212163300( 1) (2)( 1) 2sin(2)(21)!(21)!nnnnnnnzzznn. 2. 解 令izre. 则22( ),(0,1)kifzzrek. 又因为在正实轴去正实值，所以0k. 所以4( )if ie. 3. 单位圆的右半圆周为ize, 22. 所以22222iiiizdzdeei. 4. 解dzzzz22)2(sin2)(sin2zzi2cos2zzi=0. 四. 证明题 . 1. 证明 ( 必要性 ) 令12( )f zcic, 则12( )f zcic. (12,c c为实常数). 令12( ,), ( ,)u x yc v x yc. 则0 xyyxuvuv. 即,u v满足.CR, 且,xyyxuv uv连续 , 故( )fz在D内解析 . ( 充分性 ) 令( )f zuiv, 则( )f zuiv, 因为( )f z与( )f z在D内解析 , 所以,xyyxuvuv, 且(),()xyyyxxuvvuvv. 比较等式两边得0 xyyxuvuv. 从而在D内, u v均为常数, 故( )f z在D内为常数 . 。精选资料，欢迎下载2. 即要证“任一n次方程101100(0)nnnna za zazaa有且只有n个根 ” . 证明令1011( )0nnnnf za za zaza, 取10max,1naaRa, 当z在:CzR上时, 有111110( )()nnnnnnza RaRaaaRa R. ( )f z. 由儒歇定理知在圆zR内 , 方程10110nnnna za zaza与00na z有相同个数的根 . 而00na z在zR内有一个n重根0z. 因此n次方程在zR内有n个根 . 复变函数考试试题（三）参考答案二. 填空题 . 1.,z zizC且; 2. 2()k ikz; 3. 1ei; 4. 1; 5. 2101inn; 6. 1; 7. i; 8. (21)zki; 9. ; 10. 1(1)!n. 三. 计算题 . 1. 解12222011(1)2!nznzz ezzzn. 2. 解11! (1)11limlimlim()lim(1)(1)!nnnnnnnnnncnnnecnnnn. 所以收敛半径为e. 3. 解 令22( )(9)zef zzz, 则2001Re( )99zzzes f zz. 故原式022Re( )9ziis f z. 4. 解 令962( )22f zzzz, ( )8zz. 则在:C1z上( )( )f zz与均解析 , 且( )6( )8f zz, 故由儒歇定理有(,)(,)1NfCN fC. 即在1z内, 方程只有一个根. 四. 证明题 . 1. 证明证明设在D内( )f zC. 令2222( ),( )f zuivf zuvc则. 两边分别对, x y求偏导数 , 得0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在D内解析 , 所以,xyyxuvuv. 代入 (2) 则上述方程组变为。精选资料，欢迎下载00 xxxxuuvvvuuv. 消去xu得 , 22()0 xuvv. 1) 220uv, 则( )0f z为常数 . 2)若0 xv, 由方程 (1) (2) 及.CR方程有0,xu0yu, 0yv. 所以12,uc vc. (12,c c为常数 ). 所以12( )f zcic为常数 . 2. 证明取rR, 则对 一切 正 整数kn时, ( )1!( )!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr. 于是由r的任意性知对一切kn均有( )(0)0kf. 故0( )nnnkf zc z, 即( )f z是一个至多n次多项式或常数. 复变函数考试试题（四）参考答案. 二. 填空题 . 1. 12, 12; 2. ; 3. 2()k ikz; 4. 20( 1)(1)nnnzz; 5. 整函数 ; 6. 亚纯函数 ; 7. 0; 8. 0z; 9. ; 10. 1(1)!n. 三. 计算题 . 1.iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2 , 1 , 032sin32cos1:3213解2. 解11Re( )12zzzees f zz, 111Re( )12zzzees f zz. 故原式1112(Re( )Re( )()zzis f zs f zi e e. 3. 解 原式22Re( )295zizizis f ziz. 4. 解zez111=) 1(1zzezez，令0)1(zez，得ikzz2,0，,2, 1k。精选资料，欢迎下载而zzzzzzzzzzeeezeezze11lim) 1(1lim)111(lim00021lim0zzzzzzeeee0z为可去奇点当ikz2时，01),0(zezk而0212)1(ikzzeeikzzezzzikz2为一阶极点 . 四. 证明题 . 1. 证明设( )( )F zfz, 在下半平面内任取一点0z, z是下半平面内异于0z的点 , 考虑000000000( )()( )()( )()limlimlimzzzzzzF zF zf zf zf zf zzzzzzz. 而0z, z在 上 半 平 面 内 , 已 知( )f z在 上 半 平 面 解 析 , 因 此00()()F zfz, 从而( )( )F zf z在下半平面内解析. 2. 证明令( )63fzz, 4( )zz, 则( )f z与( )z在全平面解析, 且在1:2Cz上, ( )15( )16f zz, 故在2z内11(,)( ,)4NfCNC. 在2:1Cz上, ( )3( )1f zz, 故在1z内22(,)(,)1NfCNf C. 所以f在12z内仅有三个零点, 即原方程在12z内仅有三个根 . 复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题 . 1 6 10 . 二. 填空题 . 1.2, 3, 13i; 2. 2(,)ak ikz a为任意实数; 3. (21)ki, ()kz; 4. 2,()k ikz; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. 20( 1)(1)nnnzz; 9. 0; 10. 2101inn. 三. 计算题 . 1. 解 令zabi, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab. 故2212(1)Re()11(1)zazab, 2212Im()1(1)zbzab. 2. 解 连接原点及1i的直线段的参数方程为(1)01zi tt, 。精选资料，欢迎下载故11001ReRe(1) (1)(1)2cizdzi ti dtitdt. 3. 令ize, 则dzdiz. 当0a时212()(1)12 cos1()zaazaaa zzaz, 故11()(1)zdzIizaaz, 且在圆1z内1( )()(1)f zzaaz只以za为一级极点, 在1z上无奇点, 故211Re( ),(01)11zaz as f zaaza, 由残数定理有2122Re( ),(01)1zaIis f zaia. 4. 解令( ),f zz则( ),( )f zz在1z内解析 , 且在:C1z上, ( )1( )zf z, 所以在1z内 , (,)(,)1NfCN f C, 即原方程在1z内只有一个根 . 四. 证明题 . 1. 证明因为22( , ), ( , )0u x yxyv x y, 故2 ,2 ,0 xyxyux uy vv. 这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在0z处满足.CR条件 , 故( )f z只在除了0z外处处不可微 . 2. 证明取rR, 则对 一切 正 整数kn时, ( )1!( )!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr. 于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf. 故0( )nnnkf zc z, 即( )f z是一个至多n次多项式或常数. 复变函数考试试题（六）参考答案二、填空题：1. 1ei 2. 1z 3. 2 4. 1 5. 1 6. 1m阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式三、计算题：1.解：因为21151,69366i故2lim()06nni. 2. 解：123,iQ1( )( )2Cff zdiz2371.Cdz因此2( )2(371)fi。精选资料，欢迎下载故2( )2(371)f zizz1(1)2(67)2(136 )2 ( 613 )ifiiziii. 3. 解：211()12zzeezziziRe ( ), ).2ies f z i4. 解：32130( 1) ()sin,(21)!nnnzzn36360sin( 1).(21)!nnnzzzn5解：设zxiy, 则222211(1)211(1)zxiyxyyiwzziyxy. 22222212Re,Im.(1)(1)xyywwxyxy6解：31cos()sin()(13 ).332ieii四、 1. 证明：设673( )9,( )61,f zzzzz则在1z上，( )9,( )1618,f zz即有( )( )f zz. 根据儒歇定理，( )fz与( )( )fzz在单位圆内有相同个数的零点，而( )f z的零点个数为6，故7639610zzz在单位圆内的根的个数为 6. 2.证明：设( , )v x yabi，则0 xyvv, 由于( )f zuiv在内D解析，因此( , )x yD有0 xyuv, 0yxuv. 于是( , )u x ycdi故( )()()f zacbd i，即( )f z在内D恒为常数. 3.证明：由于0z是( )f z的m阶零点，从而可设0( )()( )mfzzzg z，其中( )g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是0111( )()( )mf zzzg z。精选资料，欢迎下载由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有( )0g z，因此1( )g z在内1D解析，故0z为1( )f z的m阶极点 . 复变函数模拟考试试题复变函数考试试题（一）一、判断题 （4x10=40分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z) 在 z0的某个邻域内可导。（）2、有界整函数必在整个复平面为常数。 （）3、若函数),(),()(yxivyxuzf在 D内连续，则 u( x,y ) 与 v( x,y )都在 D内连续。 ( ) 4、cos z与 sin z在复平面内有界。（）5、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。 （）6、若f(z) 在z0处满足柯西 - 黎曼条件，则f(z)在z0解析。 （）7、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是函数的可去奇点。（）8、若 f (z) 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）9、若函数 f (z) 是单连通区域 D内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。 （）10、 若函数 f (z) 在区域 D内的解析，且在 D内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。（）二、填空题 （4x5=20 分）1、若 C 是单位圆周， n 是自然数，则Cndzzz)(10_。2、设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz_。3、设11)(2zzf，则 f (z) 的定义域为 _。4、0nnnz 的收敛半径为 _。5、)0 ,(Resnzze_ 。三、计算题 （8x5=40 分） ：。精选资料，欢迎下载1、设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1|0:zzD内的罗朗展式。2、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。3、求函数)2sin(3z的幂级数展开式。4、求)2)(1(1)(zzzf在|z|2内的罗朗展式。5、求0154zz，在| z|1 内根的个数。复变函数考试试题（二）一、判断题 （4x10=40分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0连续。 （）2、有界整函数必为常数。 （）。精选资料，欢迎下载3、若nz收敛，则Renz与Imnz都收敛。 ( ) 4、若 f (z) 在区域 D 内解析，且0)( zf，则Czf)(（常数） 。（）5、若函数 f ( z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若 f (z) 在 z0解析，则 f (z) 在 z0处满足柯西 - 黎曼条件。 （）7、若函数 f ( z)在 z0可导，则 f ( z)在 z0解析。 （）8、若 f (z) 在区域 D内解析，则 | f (z)| 也在 D内解析。 （）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（）10、cos z 与 sin z 的周期均为k2。 （）二、填空题 （4x5=20分）1、1|00)(zznzzdz_。2、设11)(2zzf，则 f (z) 的孤立奇点有 _ 。3、若函数 f ( z)在复平面上处处解析，则称它是_ 。4、zz22cossin _。5、若函数 f (z) 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D内的_ 。三、计算题 （8x5=40 分） ：1、.cos11|zdzz2、求).,1(Res2izeiz3、.62limnni4、求)2)(1(1)(zzzf在|z|2内的罗朗展式。5、求0282269zzzz在| z|0，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数 f ( z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D内_。 、8、函数|)(zzf的不解析点之集为 _。9、)0,(Resnzze_，其中 n 为自然数。10、公式xixeixsincos称为_.三、计算题 （8x5=40 分） ：1、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1( if2、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。3、设1)(2zezfz，求).),(Rezfs4、求函数ze1在|0z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、求.212122ii。精选资料，欢迎下载四、证明题 （6+7+7=20分） ：1、设是函数f(z) 的可去奇点且CAzfz)(lim，试证：)(lim),(ReAzfzzfsz。2、若整函数f ( z) 将复平面映照为单位圆内部且0)0(f，则)(0)(Czzf。3、证明0364zz方程在2|1z内仅有 3 个根。复变函数考试试题（四）一、判断题 （3x10=30分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f ( z) 的本性奇点，则0lim( )zzf z一定不存在。（）3、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是 f ( z) 的可去奇点。 ( ) 4、若函数 f ( z)在 z0可导，则它在该点解析。 （）5、若数列nz收敛，则Renz与Imnz都收敛。 （）6、若 f (z) 在区域 D内解析，则 | f ( z)| 也在 D内解析。 （）7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（）8、存在整函数 f ( z) 将复平面映照为单位圆内部。 （）9、若函数 f (z) 是区域 D内的解析函数，且在D 内的某个圆内恒等于常数，则 f ( z)在区域 D内恒等于常数。（）10、)( 1|sin|Czz。 （）。精选资料，欢迎下载二、填空题 （2x10=20分）1、函数 ez的周期为 _ 。2、幂级数0nnnz的和函数为 _。3、函数 ez的周期为 _ 。4、设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有 _。的收敛半径为 _。5、幂级数0nnnx的和函数为 _ 。6、若函数 f ( z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D内的_ 。7、若nnzlim，则nzzznn.lim21_ 。8、)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_。10、函数211)(zzf的幂级数展开式为 _。三、计算题 （5x6=30分） ：1、.)(9(2|2zdzizzz2、求).,1(Res2izeiz3、.62limnni4、求函数ze1在|0z内的罗朗展式。5、求方程14258zzz在单位圆内零点的个数。6、求nni21lim。四、证明题 （6+7+7=20分）1、设函数 f (z) 在区域 D内解析，试证： f (z) 在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D内解析。2、如果函数)(zf在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1| )(|zzf，则)1|(|1| )(|zzf。3、设方程014258zzz证明：在开单位圆内根的个数为5。精选资料，欢迎下载复变函数考试试题（五）一、判断题 （3x10=30分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0连续。 （）2、若函数 f ( z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件，则 f (z) 在 z0解析。 （）3、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f (z) 在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件。 ( ) 4、若函数 f (z) 在是区域 D 内的单叶函数，则)(0)( Dzzf。（）5、若 f ( z) 在单连通区域 D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）6、若 f ( z) 在区域 D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(Cdzzf。 （）7、若)(0)( Dzzf，则函数 f ( z) 在是 D内的单叶函数。（）8、若 z0是 f (z) 的 m阶零点，则 z0是 1/ f (z) 的 m阶极点。 （）9、如果函数 f (z) 在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(|zzf。 （）10、)( 1|sin|Czz。 （）二、填空题 （2x10=20分）1、若nnninnz)11 (12，则nzzlim_ 。精选资料，欢迎下载2、设11)(2zzf，则)(zf的定义域为 _ 。3、函数 sin z 的周期为 _ 。4、zz22cossin_。5、幂级数0nnnz的收敛半径为 _ 。6、若 z0是 f ( z)的 m阶零点且 m 1，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数 f ( z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f ( z)=| z| 的不解析点之集为 _。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_。10、公式xixeixsincos称为_ 。三、计算题 （5x6=30分） ：1、.62limnni2、设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1 ( if3、设2( )1zef zz，求Re ( ), ).s f z i4、求函数63sinzz在|0z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、求ie3的值。四、证明题 （6+7+7=20分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为6。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，v(x,y)等于常数，则( )f x在 D内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。精选资料，欢迎下载复变函数考试试题（六）一、判断题 （3x8=24分）1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z) 在 z0的某个邻域内可导。（）2、若函数 f ( z)在 z0处解析，则 f ( z) 在 z0满足 Cauchy-Riemann条件。 （）3、如果 z0是 f ( z)的可去奇点，则)(lim0zfzz一定存在且等于零。( ) 4、 若函数 f (z) 是区域 D内的单叶函数，则)(0)( Dzzf。（）5、若函数 f ( z)是区域 D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。 （）6、若函数 f ( z)在区域 D内的解析，且在 D内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。（）7、若 z0是 f (z) 的 m阶零点，则 z0是 1/ f (z) 的 m阶极点。 （）8、)( 1|sin|Czz。 （）二、填空题 （2x10=20分）1、若11sin(1)1nnzinn，则 limnnz_ 。2、设2( )1zf zz，则)(zf的定义域为 _。3、函数ze的周期为 _ 。4、zz22cossin_。5、幂级数220nnn z的收敛半径为 _ 。6、若 z0是 f (z) 的 m阶零点且 m 1，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数 f ( z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f ( z)=| z| 的不解析点之集为 _。9、方程833380zzz在单位圆内的零点个数为 _。精选资料，欢迎下载10、)0,(Resnzze_ 。三、计算题 （5x6=30分）1、求.212122ii2、设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1 ( if3、设2( )zef zz，求Re ( ),0).s f z4、求函数(1)(2)zzz在1 |2z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：20,(1).cosdxaax四、证明题 （6+7+7=20分）1、方程7633249610zzzz在单位圆内的根的个数为7。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D内解析，|( ) |f z等于常数，则( )f z在 D内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。五、计算题 （10 分）求一个单叶函数，去将 z 平面上的上半单位圆盘:| 1,Im0zzz保形映射为 w平面的单位圆盘:| 1ww。复变函数考试试题（七）一、 判断题（ 2x10=20分）。精选资料，欢迎下载1、若函数 f ( z)在 z0可导，则 f ( z)在 z0解析。 （）2、若函数 f ( z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件，则 f (z) 在 z0解析。 （）3、如果 z0是 f ( z)的极点，则)(lim0zfzz一定存在且等于无穷大。( ) 4、若f(z) 在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）5、若函数 f ( z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若 f (z) 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则 f ( z) 在区域 D内恒等于常数。（）8、若 z0是 f ( z)的 m阶零点，则 z0是 1/ f ( z)的 m阶极点。 （）9、如果函数f(z) 在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则) 1|(|1|)(|zzf。 （）10、limzze。 （）二、填空题（ 2x10=20分）1、若2sin(1)1nnnzinn，则nzzlim_ 。2、设1( )sinfzz，则)(zf的定义域为 _ 。3、函数 sin z 的周期为 _。4、zz22cossin_。5、幂级数0nnnz的收敛半径为 _ 。6、若 z0是 f (z) 的 m阶零点且 m 1，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数f ( z) 在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是 _。8、函数( )fzz的不解析点之集为 _。9 、 方 程832011350zzz在 单 位 圆 内 的 零 点 个 数 为_ 。10、2Res(,1)1zez_ 。精选资料，欢迎下载三、计算题（ 5x6=30 分）1、.62limnni2、设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1 ( if3、设2( )1zef zz，求Re ( ),).s f zi4、求函数(1)(2)zzz在1 |2z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分2422109xxdxxx。四、证明题（ 6+7+7=20分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为6。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D内解析，),(yxu等于常数，则( )f z在 D内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。五、计算题（ 10 分）求一个单叶函数，去将z 平面上的带形区域:Im2zz保形映射为 w平面的单位圆盘:| 1ww。复变函数考试试题（八）二、判断题（ 4x10=40分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f ( z) 的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在。（）3、若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y) 与v(x,y)都在 D内连续。 ( ) 。精选资料，欢迎下载4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。（）5、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。 （）6、若