微分几何试题库(20210623105058).pdf
微分几何一、判断题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ ）2、二阶微分方程22A(, )2B( , )B( , )0u v duu v dudvu v dv总表示曲面上两族曲线 . （）3、若( )r t和( )s t均在a,b连续，则他们的和也在该区间连续（ ）4、向量函数( )s t具有固定长的充要条件是对于t 的每一个值，( )s t的微商与( )s t平行（ ）5、等距变换一定是保角变换.（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（ 1，0，0）的切线为 X=Y=Z （ ）9、对于曲线 s=( )s t上一点（ t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（ ）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ ）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ ）12、单位切向量的模是1（ ）13、每一个保角变换一定是等距变换（ ）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里 F 是第一基本量 .（）二、 填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（ 1，0，0）的法平面是 _ y+z=0, . 18.设给出1c类曲线 :)(trr,. bta则其弧长可表示为badttr)(19 、 已 知33cos,sin,cos 2 rxxx，02x， 则13 c o s, 3 s i n,4 5xx，sin,cos,0 xx，14cos, 4sin, 35xx，625sin 2x，825sin 2x。20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面 r=( )cos,( )sin,( )ttt,他的坐标网是否为正交的?_ 是_(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_法线_线. 23.任何两个向量qp,的数量积qp)cos(pqqp24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为_等距(保长)变换_. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_常数_数(填“常数”或“非常数” ).26.若曲线 (c)用自然参数表示)(trr,则曲线 (c)在)(0sP点的密切平面的方程是27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28.杜邦指标线的方程为1222NyMxyLx29、 已 知 曲 面cos ,sin ,6 ruv uvv，0u，02v， 则 它 的 第 一 基 本 形 式 为222(3 6 )d uud v，第二基本形式为21236dudvu，高斯曲率 K2236(36)u，平均曲率H0 ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv的法曲率24371517，点(1,0, 0)处的两个主曲率分别为66,37 37。30、 （Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：,cos,sinttettttr在原点处0t在原点处切平面的方程为 : 即0ZYX法平面的方程为 : 即0ZY切线方程为即110ZYX34、求曲面33zxy的渐近曲线。解 设33 , ,ru v uv则21,0,3uru，20,1,3vrv，22441 3,3,1|991uvuvrrnuvrruv0,0,6uuru，0uvr，0,0,6 vvrv446991uuuLn ruv，0uvMn r，446991vvvNn ruv因渐近曲线的微分方程为即22uduvdv或0uduvdv渐近曲线为33221uvC 或33222()uvC35.求双曲抛物面2),(),(uvvubvuar的第一基本形式解:,2),(),(uvvubvuar,2 ,vbaru.2,ubarvuvbarrFvbarrEvuuu4,422222, 36.计算球面)sin,sincos,coscos(RRRr的第二基本形式 . 解: 由此得到=,sin,sincos,coscos又由于所以因而得到37.如果曲面的第一基本形式,)(222222cvudvduds计算第二类克力斯托费尔符号. 解:因为222)(1cvuE, 0F, 222)(1cvuG所以所以,2222112cvuvEEvcvuuGGu2221222, cvuuEGu2212222,cvuvGGv222222238、已知曲面的第一基本形式为22()Iv dudv，0v，求坐标曲线的测地曲率。解 EGv，0F，0uG，1vEu-线的测地曲率122uvgEEGv vv-线的测地曲率02vugGGE39、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线 . 事实上，设:( )(1,2)iiuusi，则的切向量为1212dudurrdsds记1duads，22duads，111,ijiji jDadaa du ，222,ijiji jDadaa du则曲线的切向量沿平行移动0D120,0DaDa为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线 . 解:因为,sin,cosbvvuvur由于, 0NL所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是这是螺旋线 ,另一族渐近线是这是直线 . 41、设空间两条曲线和 C 的曲率处处不为零，若曲线和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和C 在对应点的切线夹固定角 . 证设:( )rr s，:( )rrs，则由/知，从而0，0，()0ddsdsdsconstant，即cos,C这表明曲线和 C 在对应点的切线夹固定角 . 42、证明)(tr具有固定方向的充要条件是证明:必要性 设ettr)()(e为常单位向量 ),则所以0)()(trtr充分性 : )()()(tettr()(te为单位向量函数 ),则)()()()()(tettettr, 因为0)(,0)(ttr于是,当0)()(trtr,从而有即)(/)(tete,因为)()(tete(根据1)(te),因此0)(te即)(te为常向量 ,所以有固定方向43、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角 . 求证是一条平面曲线 . 证设:( , )rr u v，:( ),( )uu s vv s，其中s是的自然参数，记,r n ，则cosr n，两边求导，得d0dnnrs，由为曲率线知 d/ dnr ，即dd/ddnrss， 因此dd0ddnnrnrrss. 若0，则为平面曲线；若0n，则因为曲面上的一条曲率线，故ddnnr. 而0nnn，所以d0n，即 n 为常向量 . 于是为平面曲线 . 44、求圆柱螺线,sin,cosbttatatR）（在3t处的切线方程。解,cos,sin)(,sin,cos)(btatatrbttatatr3t时，有.,2,23)3(3,23,23baarbar所以切线的方程为即如果用坐标表示，则得切线方程为即45、求双曲螺线,sinh,coshattatar从 t=0 起计算的弧长。解：,cosh,sinh,sinh,coshatataattatarr从 t=0 起计算的弧长为=.sinh2coshcoshcosh)1(sinhcoshsinh02222022222222tadttatadttatadtatatatttt46、求球面sin,sincos,coscosRRRr的第一基本形式。解：由cos,sinsin,cossin,0,coscos,sincos,sin,sincos,coscosRRRRRRRrrRr可得出由此得到曲面的第一类基本量因而47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明设，由欧拉公式知和可以交换坐标如果),(2121vuKKkk于是因此同样又可以得到由此即这就是说，主曲率12,kk是nk法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为22)()(dvuGduuEI。求证：（ 1）u-曲线是测地线；（2）v-曲线是测地线，当且仅当0)(uGu证明：由曲线的方程为.0dvu得到所以代入刘维尔公式得因此得到曲线是测地线u。（2）若u曲线为测地线，由则有得,02dsds i nln11000uGE，即49、3R 中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明： 因为（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；（3）恒同变换)3 ,2, 1(:ixxiiI与空间任何合同变换T 的组合,TITTI因此I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明： 沿曲线（ C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（则,21uu）所以51、设曲线trrC :)(是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周期是,0/dttLrL 的闭曲线的周长 . 证明dttrtst/0=,/0dttrdttrt因为trtr，所以我们得到stsLdttrLtt/0, 所以有srtsrtsrLtsrLsr. 52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向l 正交. 证明取 l 为坐标系的z轴方向 .设曲线C的自然参数表示是因而单位切向量为szsysxsa,. 根据微积分中值定理，存在使得, 00LsszLzLz000，但是所以00sz，即0,000sssyxa，这表示即与轴垂直于,0zas方向 l 正交。53、单位球面上的曲线C，若,0kg则其中1. 证明设单位球面上的曲线由于.:srrC12r，从而有ar=0，所以即1+.0kr由上式得利用伏雷内公式，化简后得- rkkk=0. 若令由于,rn则有gkkk=0. 但是单位球面上曲线的法曲率并且由于,1nk所以,12kkg1. 因此当时，有0gk
