2021届高三T8第一次联考数学试卷含答案.pdf

广东实验中学广东实验中学东北育才中学东北育才中学石家庄二中石家庄二中华中师大一附中华中师大一附中T8T8联考联考西南大学附中西南大学附中南京师大附中南京师大附中 湖南师大附中湖南师大附中福州一中福州一中八校八校20212021 届高三第一次联考届高三第一次联考数学试题数学试题命题学校：华中师大一附中命题学校：华中师大一附中命题人：田甜命题人：田甜审题人：王雪冰审题人：王雪冰吴巨龙吴巨龙考试时间：考试时间：20202020 年年 1212 月月 3030 日上午日上午 8:008:0010:0010:00试卷满分试卷满分 150150 分分考试用时考试用时 120120 分钟分钟一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1若z 1i3i，则z的虚部为12i11ABi552C35Di352已知集合A x| x 4x3 0，B x| x m，若AB x| x 1，则Am 1C1 m 3D1 m 3B1 m 33斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数： 1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为1313AB82C3521181313D42x2(a25a4)x3a,(x 1)4设f (x) ，若f (x)的最小值为f (0)，则a的值为23, (x 1)2xx1A0B1 或 4C1D45已知ABC中，AB 1，AC 3，cos A 1，点E在直线BC上，且满足：4BE 2ABAC(R)，则| AE |A34B3 6C3D6T8 联考数学试题第 1 页 共 6 页y26设双曲线x 1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于点A，32与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，若BF1 BF2，则ABF2的周长为A4 3 2B4 3 2C42 3D42 3，则下列结论一定正确的是7已知ABC中，角A，B满足sin AcosB A B 2Asin A cosCBsin A cosBCsin B cos ADsinC sin B8将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f (x) acoshx，其中a为悬链线系aexex数，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ，相应地双曲正弦函数的函数2exex表达式为sinh x 若直线x m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别相交于点2A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于点P，则Ay sinh xcosh x是偶函数Bcosh(x y) cosh xcosh y sinh xsinh yC| BP|随m的增大而减小DPAB的面积随m的增大而减小二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分分9 已知圆x y 2x6ya 0上至多有一点到直线3x4y5 0的距离为 2， 则实数a可能的取值为A5B6C710下列命题中正确的是22D10Ax(0,)，( ) ( )Bx(0,1)，log1x log1x2311x111xCx(0, )，( ) x2Dx(0, )，( ) log1x2232312x13x11已知等比数列an首项a11，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数T8 联考数学试题第 2 页 共 6 页f (x) x(xa1)(xa2)(xa7)，若f (0) 1，则Algan为单调递增的等差数列B0 q 1CSna1为单调递增的等比数列D使得Tn1成立的n的最大值为 61q12在直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC 90，AB BC 2，AA1 2，M是BC的中点，点P在线段B1N上， 点Q在线段AM上， 且AQ N是AC11的中点，的交点，若PS /面B1AM，则APS / B1QBP为B1N的中点CAC PS2AM，S是AC1与AC13A1NPB1C1S2D三棱锥P B1AM的体积为3三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分AQCBM13设随机变量XB(n, )，Y 2X 1，若E(Y) 4，则n=14武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配到A、B、C三个社区若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到A社区，共有种不同的分配方案15我国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，14122c2a2b22c a () （其中S为三角形的面积，开平方得积 把以上文字写成公式， 即S 42在非直角ABC中，a,b,c为内角A,B,C所对应的三边，若a 3，a,b,c为三角形的三边）且a c(cosB3cosC)，则ABC的面积最大时，c 16已知函数f (x) ae ln为T8 联考数学试题第 3 页 共 6 页xa2(a 0)，若f (x) 0恒成立，则实数a的取值范围x2四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）已知an为等差数列，bn为等比数列，bn的前n项和为Sn，且a1 b11，a2 a3b3，a3 S3b2（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn18 （12 分）已知函数f (x) Asin(x)(A 0, 0)的图像是由y 像向右平移anbn15，Tn为数列cn的前n项和，求数列的前n项和Sn5Tn2an1an22sin(x)的图3个单位得到的3（1）若f (x)的最小正周期为，求f (x)的与y轴距离最近的对称轴方程；（2）若f (x)在19 （12 分）如图所示为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD 5（1）若AD 2 5，求四棱锥E ABCD的体积的最大值；（2）有三个条件：4DEDC ECDC；直线AD与BE所成角的正弦值为2,上仅有一个零点，求的取值范围2；3sinEAB6sinEBA2请你从中选择两个作为条件，求直线AD与平面EAB所成角的余弦值EDAT8 联考数学试题第 4 页 共 6 页CB20 （12 分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017 年发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，规定 46 个城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类， 垃圾回收、利用率要达 35%以上截至 2019年底，这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320 个社区中随机抽取 50 个社区，对这50 个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量X频数12.5,15.5)15.5,18.5)18.5,21.5)21.5,24.5)24.5,27.5)27.5,30.5)30.5,33.556912864（1）通过频数分布表估算出这50 个社区这一天垃圾量的平均值x（精确到 0.1） ；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(,)，其中2近似为（1）中的样本平均值x，2近似为样本方差s2，经计算得s 5.2请利用正态分布知识估计这 320 个社区中“超标”社区的个数（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区，市政府决定对这 8 个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这8 个“超标”社区中任取5 个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望（参考数据：P( X ) 0.6827；P(2 X 2) 0.9545；P(3 X 3) 0.9974）T8 联考数学试题第 5 页 共 6 页x2y2221 （12 分）已知椭圆C :221(a b 0)与抛物线M : y 4x有公共的焦点，且抛物线ab的准线被椭圆截得的弦长为3（1）求椭圆C的方程；（2） 过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k 0)的直线交椭圆于A,B两点， 交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由22（12 分）已知函数f (x) ln xmx2（1）当m 1时，求f (x)的最大值；（2）讨论关于x的方程f (x) mln x的实根的个数T8 联考数学试题第 6 页 共 6 页20212021 届届 T8T8 第一次联考数学试题参考答案第一次联考数学试题参考答案一、选择题：一、选择题：题号答案1A2B3C4C5D6C7C8D9BC101112ABCBCDACD二、填空题：二、填空题：13614 1215 316(e,)部分选填题解答：部分选填题解答：e2xe2x8 8解：解：对于选项 A：y sinh xcosh x 是奇函数，所以 A 错误；4exexeyeyexexeyey对于选项 B：cosh xcosh ysinh xsinh y 2222exyexyexyeyxexyexyexyeyxexyeyx cosh(x y)，442所以 B 错误；emememem对于选项 C、D：设A(m,)，B(m,)，22emememem则曲线C1在点A处的切线方程为：y(xm)，22emememem曲线C2在点B处的切线方程为：y(xm)，22emem2(emem)2m2m联立求得点P的坐标为(m1,e )，则| BP| 1(e ，) 12411SPAB| AB|em，所以| BP|随m的增大而先减小后增大，PAB的面积随m的22增大而减小，所以 C 错误，D 正确1111解：解：令g(x) (xa1)(xa2)(xa7)，则f (x) xg(x)， f (x) g(x) xg(x)， f (0) g(0) a1a2a1a2a71，因为an是等比数列，所以a7 a471，即a41 a1q3，a11，0 q 1，B 正确；lgan是公差为lgq的递减等差数列， A 错误；lgan lga1qn1 lga1(n1)lgq，aaa qaa qSn11(1qn1)1qn1，Sn1是首项为1 0， 公比为q1q1qq11qq1的递增等比数列，C 正确；0 q 1，a11，a41，an1，n 5时，0 an1，Tn1，n 3时，n 4时，T7 a1a2a7 a41，n 8时，TnT7a8a97anT71，又T5T71，a6a7T6T71，所以使得Tn1成立的n的最大值为 6，D 正确a7T8 联考数学试题答案第 1 页 共 8 页1212解：解：对于选项 A：连接交NS交AC于G点，连接BG，则由AB BC，AQ 22AM， 可得BG必过点Q， 且BQ BG， 因为PS 面BB1NG，33PS /面AMB1，面AMB1面BB1NG B1Q，所以PS / B1Q，A 正确；PS / B1Q，NPS NBQ B1QB，RtPNS RtQBB1，PNNS1A1B1，即PN 1BQ 12BG 1B1N，PBQBB1222 33NC1P为靠近N的三等分点，B 错误；对于选项 C：AC NG，AC BG，SAC 面BB1NG，AC PS，C 正确；对于选项 D：B1P/ BQ，且B1P BQ，BB1PQ是矩形，ABM112GQVPAB1MVBAB1MVB1ABM221，D 正确C3231515解：解：a c(cosB3cosC)，sin A sinC(cosB3cosC)，sin A sin(BC) sinBcosC cosBsinC，对于选项 B：化简得cosCsin B 3sin CcosC，ABC非直角三角形，cosC 0，sin B 3sin C，即b 3c，122c2a2b2214c472c281，当且仅当c2 9，即c 3S c a () 4224时，S有最大值ax2 0，则exlnalna ln(x2)2，1616解：解： f (x) ae lnx2两边加上x得到exln x xlna x 2 ln(x 2) eln(x 2) ln(x 2)，y ex x单调递增，xlna ln(x2)，即lna ln(x2) x，1 x11令gx ln(x2) x，则gx，x(2,1)时，g(x) 0，x2x1g(x)单调递增，x(1,)，g(x) 0，g(x)单调递减，lna g(x)max g(1)1，a e四、解答题：四、解答题：1717解：解： （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，a2 a3b3，a3 S3b2，d q2q 2q 0，解得：或（舍去） ，2d 4d 012d 1qq qan 4n3，bn 2n14 分（2）an是等差数列，所以anan2 2an1，又由（1）知：bn2 2bn1，cnanbn1(2an1an2)bn12bn1bn1bn2bn1，6 分an1an2an1an2an2an1an2an1T8 联考数学试题答案第 2 页 共 8 页54n5bn2b22n12Tn c1c2cn，8 分5Tn22n1an2a24n5512131n1则Sn 9( ) 13( ) (4n5)( )2221111Sn 9( )313( )4(4n5)( )n22222由得：111111Sn 9( )24( )3( )4( )n1(4n5)( )n2222222111( )n122(4n5)(1)n 2521(1)n(4n5)(1)n2 5( ) 44122422121 31( 4 n 1 3) (n2)，42131Sn(4n13)( )n110 分221818解：解： （1）因为f (x)的最小正周期为，2， 2，2 分f (x)的图像是由y 2sin(x)的图像向右平移个单位得到，33 f (x) 2sin(x)，即f (x) 2sin(2x)，4 分333k5令2x k,kZ，得f (x)的对称轴方程为x ，kZ，5 分32212k5k5|最小，要使直线x （k Z）与y轴距离最近，则须|212212k 1，此时对称轴方程为x （2）由已知得：f (x) 令f (x) 0得：x12，即所求对称轴方程为x 12 6 分2sin(x)，3333 k,kZ，即kx 33,kZ，8 分T8 联考数学试题答案第 3 页 共 8 页k332(k 1)33,kZ， 0，f (x)在,上仅有一个零点，22(k 1)333k 16k 2 02 6k 213k 1 6k 8， 0， 6k 2，解得： k 2，323k 23k 26k 8225k Z，k 1，112 分21919解：解： （1）在平面EDC内作EF CD于点F，因为平面ABCD 平面EDC，平面ABCD平面EDC DC，所以EF 平面ABCD，2 分因为E为半圆弧CD上一点，所以CE ED，11CEED2 5CEED， 4 分SABCDEF 52 53E33CD222因为CE ED CD 5，DC2 5CE2 ED22 555 5FVEABCD，3232310当且仅当CE ED 时等号成立，2AB5 5G所以四棱锥E ABCD的体积的最大值为6 分322（2）由条件得：4| DE | DC |cosCDE |CE | DC |cosDCE，即4DE CE，所以VEABCD所以2DE CE，又因为DE CE 5，所以DE 1，CE 2，由条件得：因为AD/ BC，BC 平面DCE，所以CBE为直线AD与BE所成角，且sinCBE 2222CECE， tanCBE 3BEBC5x2CE23sinEABEB6，由条件得：，设AD x，则22x DE2sinEBAEA2T8 联考数学试题答案第 4 页 共 8 页CE2，所以AD BC 5， tan CBE BC5x2CE23若选条件，则DE 1，CE 2，且2，所以AD BC x 5，2x DE22x CE23CE222若选条件，则，且2，DE CE 5， tanCBE 2x DE2x5若选条件，则DE 1，CE 2，且所以AD BC x 5，即从任选两个作为条件，都可以得到AD BC 5，9 分下面求AD与平面EAB所成角的正弦值：方法一：方法一：设点D到平面EAB的距离为h，AD与平面EAB所成角为，则由215， 5 5，所以h S25EAB作FG AB于点G，连接EG，则由EF 平面ABCD知FG是EG在平面ABCD内的射影，所以EG AB，111229，SEAB ABEG 5EF2 FG2 5 ()2( 5)222225VDEABVEDAB得：hSEAB EF SDABh 5SEABh22 5，sin，AD29295 2912 分29zDE所以AD与平面EAB所成角的余弦值为方法二：方法二：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B( 5,0,0)，D(0,0,5)，E(5 2 5, 5)，555 2 5AE (, 5)，AB ( 5,0,0)，55设平面EAB的法向量为m (x, y,z)，FC52 5xy5z 0则 5，55x 05令z 1，则m (0,1)，cos AD,m 2AD与平面EAB所成角yABx55 12542，292 AD,m ，所以AD与平面EAB所成角的余弦值为5 2929T8 联考数学试题答案第 5 页 共 8 页2020解：解： （1）由频数分布表得：1451762092312268296324 22.76 22.8，50所以这 50 个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨3 分（2）由（1）知 22.8，s 5.2， s 5.2，10.6827P(X 28) P(X ) 0.15865，5 分23200.15865 50.768 51，x 所以这 320 个社区中 “超标”社区的个数为517 分（3）由频数分布表知：8 个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有 4 个，1423C4C4C4C431所以Y的可能取值为1,2,3,4，且P(Y 1)，P(Y 2) ，5C814C8573241C4C43C4C41，P(Y 3)P(Y 4) ，10 分55C87C814所以Y的分布列为：YP12341143737114E(Y) 11331523412 分1477142x2y22121解：解： （1）221与y2 4x有相同的焦点，所以a2b21，ab2b2又抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，3，ax2y2解得a 2，b 3，所以曲线C的方程为14 分43（2）设直线AB: y k(x1)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，x2y21联立直线与椭圆方程 4，消去y得：(34k2)x8k2x4k212 0，3y k(x1)8k24k212则x1 x2，x1x2，6 分2234k34ky1 y2x1 x23kx1 x24k2 k(1)，222234k234k34k23kOP: y x，7 分，直线,)P的坐标为(224k34k34k直线AB方程y k(x1)中令x 0得y k，E的坐标为(0,k)，T8 联考数学试题答案第 6 页 共 8 页4kxk，8 分33329222将联立相乘得到y x x，即(x ) y ，486433所以点Q的轨迹为以( ,0)为圆心，为半径的圆，10 分8833所以存在定点H( ,0)，使得QH的长为定值12 分88因为直线EQ OP，EQ的直线方程为y 2222解：解： （1）当m 1时，f (x) 令f (x) 0，得x e12ln x12ln x1， 1 分 f (x) x2x312，0 x e时，f (x) 0，f (x)单调递增，x e1212时，e4 分22m(x 1)m(x21)（2）由f (x) m ln x得ln x， 0，令g(x) ln x22x 1x 1所以方程f (x) mln x的实根的个数即为函数g(x)在(0,)上的零点的个数，g(1) 0，x 1是函数g(x)的一个零点，5 分1m(21)11m(x21)x ln x g(x)，g(x)在(0,1)(1,)上又g( ) ln21xxx 112x的零点互为倒数，下面先研究g(x)在(1,)上的零点的个数：f (x) 0，f (x)单调递减， f (x)max f (e) 14mx(x21)24mx2g(x) 2(x 1)，6 分222x(x 1)x(x 1)m(x21)（i）若m 0，则x 1时，g(x) lnx 0，g(x)在(1,)上的没有零2x 1点；7 分(x21)24mx2(x22 mx 1)(x22 mx 1)（ii）若m 0，则g(x) (x 1)，x(x21)2x(x21)2令h(x) x 2 mx 1(x 1)， 4m4 0，即0 m 1时，h(x) 0，g(x) 0，g(x)在(1,)上递增，2g(x) g(1) 0，g(x)在(1,)上的没有零点；9 分 4m4 0，即m 1时，h(x) 0有两个不等实根x1,x2，且x1x21，大根x2m m1 1，小根0 x11，x(1,x2)时，h(x) 0，g(x) 0，g(x)单调递减，x(x2,)时，h(x) 0，g(x) 0，g(x)单调递增，g(x2) g(1) 0，T8 联考数学试题答案第 7 页 共 8 页m(e2m1)2m又g(e ) m 0，g(x)在(1,x2)上恒小于 0，在(x2,)上e2m1e2m1m存在唯一x0(x2,e )使得g(x0) 0，g(x)在(1,)上仅有一个零点x0，11 分因为g(x)在(0,1)(1,)上的零点互为倒数，且g(1) 0，所以m 1时，g(x)仅有一个零点；m 1时，g(x)有三个零点综上：m 1时，方程f (x) mln x仅有一个实根；m 1时，方程f (x) mln x有三个实根12 分m(x21)参考解法二：参考解法二：由f (x) mln x得ln x 0，x 1显然是该方程的一个根；x21m5 分(x21)ln x(x21)ln x，令h(x) x 1时，方程等价于m (x 0,x 1)，22x 1x 1x414x2ln xx12 (4ln x x )，6 分则h(x) x(x21)2(x21)2x21422(x21)22令(x) 4ln x x 2，则(x) 2x3 0，3xxxxx 0时，(x)单调递减，7 分0 x 1时，(x) (1) 0，h(x) 0，h(x)单调递减，x 1时，(x) (1) 0，h(x) 0，h(x)单调递增，y8 分由x 时，h(x) ，y mx 0时，h(x) 1x 1时，h(x) 1，可画出h(x)的大致图像如图所示：xO1（注：此处用到了高中教材中没有涉及到的函数极限知识，可酌情扣（注：此处用到了高中教材中没有涉及到的函数极限知识，可酌情扣 2 23 3 分）分）结合图像得：m 1时，方程m h(x)有两个实根；m 1时，方程m h(x)没有实根；综合得：m 1时，方程f (x) mln x仅有一个实根；m 1时，方程f (x) mln x有三个实根12 分T8 联考数学试题答案第 8 页 共 8 页