三角函数恒等变换.docx

§6.3 两 角 和 及 差 三 角 函 数【复习目标】1掌握两角和及差三角函数公式，掌握二倍角公式；2能正确地运用三角函数有关公式进行三角函数式求值3能正确地运用三角公式进行三角函数式化简及恒等式证明【双基诊断】（以下巩固公式）1、163°223°253°313°等于 （ ）A. B. C. D.2、在中，已知2，那么一定是 （ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形3、值是 （ ）A.B.C.D.4、已知=，=，则（）.5、已知，则 。6、若，其中是第二象限角，则 。7、化简等于 （ ） 8、 （ ）2 4 8 169、已知和（）是方程20两个根，则a、b、c关系是（ ）B.2 10、= 。 11、设14°14°，16°16°，则a、b、c大小关系是 （ ）bccb ca ac12、中，若2a，60°，则.13、f（x）=值域为 （ ）A.（1，1）（1，1） B. （，）C.，1（1，） D.，14、已知（0，），（，），（+）=，=，则.15、下列各式中，值为是 ( )15°15°B.221 C. D.16、已知，那么值为，2值为.17、 。18、 19、 = ；20、 .21、= 。22、 （ ） 23、已知，当时，式子可化简（ ） 24、若，且（0，），则.25、= 。26、若f（）2x，则f（1）值是 （ ）A.2B.1C.D.127、，则 （以下巩固题型）28、 .29、（1）； （2）30、 。31、= 32、已知（x）（x）=，则4x值为 .33、若，则值为 .【深化拓展】（巩固三角变换）1设（）=，（）=，且，0，求（+）.2. 已知（x）=，0x，求值.3已知关于方程两根为，求：（1）值；（2）值；（3）方程两根及此时值 4 已知为一三角形內角，求取值范围5已知6222=0，求（2+）值.6.已知为第二象限角，求和22值.7已知2=，（，）.（1）求值；（2）求满足（x）（）+2=锐角x.8已知，求值。【回顾思悟】1寻求所求结论中角及已知条件中角关系，把握式子变形方向，准确运用公式；2三角变换主要体现在：函数名称变换、角变换、变换、和积变换、幂变换等方面；3掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等三角函数求值问题一般有三种基本类型：1给角求值，即在不查表前提下，求三角函数式值；2给值求值，即给出一些三角函数，而求及这些三角函数式有某种联系三角式值；3给值求角，即给出三角函数值，求符合条件角（二）主要方法：1寻求角及角之间关系，化非特殊角为特殊角； 2正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角三角函数值；3一些常规技巧：“1”代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等1.化简要求：（1）能求出值应求出值.（2）使三角函数种数尽量少.（3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数.（5）尽量使被开方数不含三角函数.2.常用方法：（1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如2222n函数式，只需将分子、分母分别乘以21，应用二倍角正弦公式即可.1.证明三角恒等式基本思路，是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端“异”化为“同”.2.条件等式证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间关系，选择适当途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数应用主要是借用三角函数值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成（）（A0，0）形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.【答案提示】1、解析：原式17°·（43°）+（73°）（47°）=17°43°17°43°60°=. 答案：B2、解析：由2知2（），2. 0.（BA）=0. 答案：B3、解析：原式=. 答案：C4、解析：（）2=，（）2=.两式相加，得22（）=. （）=. 答案：7、化简等于 （ ）8、 （ ）9、解析：1. =1.c. 答案：C10、解析一：15°15°4.解析二：由15°（45°30°）.原式4. 11、解析：59°，60°，61°，acb.12、解析：利用正弦定理，由22（60°）2030（30°A）=030°0°（或180°）30°. 答案：30°13、解析：令（），1（1，），则f（x），1（1，）. 答案：C14、解析：由0，得+.故由（+）=，得（+）=. 由=，得=.（+）（+）（+）=·（）（）·=. 答案：15、解析：45°=. 答案：D16、解析：由，得1=，=，2=122=12·=. 答案： 18、 1 ；19、原式 21、分析：原式= 注：化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式还需用到代数变形公式，如平方差公式。22（ ） 23、（）24、若=，且（0，），则.24、解析一：由=，（0，），得，.解析二：. 答案：25、原式 26、解析：f（1）（）=1. 答案：B27、，则 29、证：（1）左边 右边，得证说明：由等式两边差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式（2）左边右边，得证31、解：原式32、剖析：4x为2x二倍角，2x为x二倍角.解：由已知得（x）（x）=，2（x）=.2（2x）=22（x）1=.412221=.33、剖析：由已知首先消去是解题关键.解：由已知，得，.平方相加得（）2+（）2=1.2（）=1.（）=.=±.0，.=.评述：本题极易求出=±，如不注意隐含条件0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.1剖析：=（）（）.依上述角之间关系便可求之.解：，0，.故由（）=，得（）=.由（）=，得（）=.（）（）（）=.（+）=221=.评述：在已知角某一三角函数值而求另外一些角三角函数值时，首先要分析已知和要求角之间关系，再分析函数名之间关系.其中变角是常见三角变换.2分析：角之间关系：（x）+（）=及22（x），利用余角间三角函数关系便可求之.解：（x）+（）=，（）（x）.又2（2x）2（x）=2（x）（x），=2（x）=2×=.3已知关于方程两根为，求：（1）值；（2）值；（3）方程两根及此时值 解：（1）由根及系数关系，得，原式（2）由平方得：，即，故（3）当，解得，或， ，或4 已知为一三角形內角，求取值范围解：为一三角形內角，取值范围是5已知6222=0，），求（2+）值.分析：本题考查三角函数基本公式以及三角函数式恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知（3+2）（2）=03+2=0或2=0.由已知条件可知0，所以，即（，）.于是0，=.（2+）22+（22）××.将=代入上式得（2+）×=+，即为所求.解法二：由已知条件可知0，则，原式可化为622=0，即（3+2）（21）=0.又（，）.0，=.下同解法一.6.已知为第二象限角，求和22值.解：由平方得1+2，即=，=.此时k+k+.0，0，0，0.为第三象限角.2k+2k+，kZ.，即0.=，22=2+122=.评述：由三角函数值判断范围是关键.7解：（1）因为，所以23.所以2=.由2=221，所以=.（2）因为（x）（）+2=，所以2（1）=.所以.因为x为锐角，所以.8 南通P：76【同步训练】1、满足一组、值是 （ ）A.=，= B.=，= C.=，=D.=，=解析：由已知得（+）=，代入检验得A. 答案：A2、已知（+）=2，则值为 .解：由（+）2， 得=.于是.3、在中，则 4、要使=有意义，则应有 ( )1 1或m D.1m解析：2（）（）=.由111m. 答案：D5、 = 5、原式，原式6、已知=，（+）=，、（0，），则= .解：由=，（+）=，得（+）=，得=.7、（2005年春季上海，14）在中，若，则是（ ）A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由=，得=.又=，=.=.，（AB）=0，.同理. 是等边三角形. 答案：B8、若8（+）（）=1，则44.解析：由已知得8（）（）=1，4（2）=1.2=.44=（22）2222=122=1（122）=1（1）=1×=. 答案：9、若，则.解析：原式23.答案：2310化简= .解：原式= .11、已知0，则（）值为 .解：由已知，得=.0，.从而（）··=××=（43）.12、已知x（，0），则2x等于 （ ）A.B.C.D. 解析：，x（，0），.2×=.答案：D13、已知（+）0，（）0，则下列不等关系中必定成立是 ( ) 解析：由已知得0，0，则=0. . 答案：B14、下列四个命题中假命题是 （ ）A.存在这样、，使得（+）B.不存在无穷多个、，使得（+）C.对于任意、，（+）D.不存在这样、，使得（+）解析：由（+），得=0.或（kZ）. 答案：B15、函数52x最大值是.解析：5251222（）2+.1时，4.答案：416、求周长为定值L（L0）直角三角形面积最大值.解法一：2+.（）2=·22.解法二：设，.，c（1）.2=.设（1，则·=·=（1）（1）2.17、（2004年湖南，17）已知（+2）·（2）=，（，），求221值.解：由（+2）·（2）（+2）·（+2）（+4）4=，得4=.又（，），所以=.于是221=22+=（2+22）=（2）=（2）=.18、（0，），32+22=1， 3222=0，求+2值.解：由得32=1222.由得22.（+2）22=32·2=0.、（0，），+2（0，）.+2=.19、求证：=.证明：左边，右边，左边=右边，原式成立.20、（2005年春季北京，15）在中，2，3，求值和面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：（A45°）=，（A45°）=.又0°A180°，A45°=60°，105°.（45°+60°）2.105°（45°+60°）45°60°45°60°=.S·=·2·3·=（+）.解法二：，（）2=.2.0°A180°，0，0.90°A180°.（）2=12，.+得.得.·=2.（以下同解法一）21、锐角x、y满足（）且，求最大值.解：（），（）.=，当且仅当时取等号.最大值为.22、已知、（0，），3（2+），412.求+值.解：412，2·=1，=.3（2+），3（+）（+）.3（+）3（+）（+）（+）.（+）=2（+）.（+）=2=1.+=.评述：角变换是常用技巧.如2+=（+）+，=（+）等.23、是否存在两个锐角满足（1）；（2）同时成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由解：由（1）得，或（，舍去），为所求满足条件两个锐角24、已知，求值解：，得，若，则，若，无意义说明：角和、差、倍、半具有相对性，如，等，解题过程中应充分利用这种变形25、已知（2+）（m1），求证：（+）.证明：（2+），（+）（+）+.（+）（+）（+）（+）.（1m）（+）=（1）（+）.（+）.26、=，求取值范围.解：令，=，2+2，得t22+2（）.2（）22，2.t，.27、已知（，），（，），x0，.（1）求a·b及；（2）若f（x）·b2最小值是，求值.解：（1）a·2x.2=2（x0，）.（2）f（x）2x42（）2122.x0，0，1.当0，0时，f（x）1，矛盾.当01，时，f（x）122，由122=，得=.当1，1时，f（x）14，由14=，得=1，矛盾.综上，=为所求.163 / 31