四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题含答案.pdf

成都七中成都七中 20222023 学年度（上）高三年级半期考试学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）数学试卷（文科）（试卷总分：（试卷总分：150 分，考试时间：分，考试时间：120 分钟）分钟）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1.设全集0,1,2,3,4,5,6U，集合1,2,4A，1,3,5B，则UAB （）A.0,6B.1,4C.2,4D.3,52.复数43i2iz（其中i为虚数单位）的虚部为（）A.2B.1C.1D.23.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值1,2,3,12ia i（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）A.4B.5C.6D.74.抛物线220ypx p上的一点9,12P 到其焦点F的距离PF等于（）A.17B.15C.13D.115.奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（）A.众数B.方差C.中位数D.平均数6.已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A.3B.4C.5D.67.设平面向量a，b的夹角为120，且1a，2b，则2aab（）A.1B.2C.3D.48.设x，y满足240220330 xyxyxy，则2zxy的最大值是（）A.2B.1C.1D.29.“为第二象限角”是“sin3cos1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知直线100,0axbyab 与圆224xy相切，则22loglogab的最大值为（）A.3B.2C.2D.311.关于函数 sin cos6xxf x的叙述中，正确的有（）fx的最小正周期为2；fx在区间,6 3 内单调递增；3fx是偶函数；fx的图象关于点,012对称.A.B.C.D.12.攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观其檐平面呈正八边形，上檐边长为a，宝顶到上檐平面的距离为h，则攒尖的体积为（）A.22213a hB.2213a hC.24213a hD.22213a h二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.命题“xN，22xx”的否定是_14.函数 lnf xxx在1x 处的切线方程为_（要求写一般式方程）15.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的两个焦点分别为1F、2F，且两条渐近线互相垂直，若C上一点P满足213PFPF，则12FPF的余弦值为_16.已知向量,ax m，32,2bxx（1）若当2x 时，ab，则实数m的值为_；（2）若存在正数x，使得/a br r，则实数m的取值范围是_三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个题目每个题目考生都必须作答第考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22n adbcKabcdacbd（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率18.如图，在正三棱柱111ABCABC中，D是BC的中点（1）求证：平面1ADC 平面11BCC B；（2）已知12AAAB，求异面直线1A B与1DC所成角的大小19.已知nN，数列 na的首项11a，且满足下列条件之一：1122nnnaa；121nnnana（只能从中选择一个作为已知）（1）求 na的通项公式；（2）若 na的前n项和nSm，求正整数m的最小值20.已知椭圆2222:10 xyCabab的短轴长为2 3，左顶点 A 到右焦点F的距离为3（1）求椭圆C的方程（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于 A），且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l经过定点21.已知函数 sinxf xekx，其中k为常数（1）当1k 时，判断 f x在区间0,内的单调性；（2）若对任意0,x，都有 1fx，求k的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分第一题计分选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22.在平面直角坐标系xOy中，伯努利双纽线1C（如图）的普通方程为222222xyxy，曲线2C的参数方程为cossinxryr（其中0,2r（，为参数）（1）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C和2C的极坐标方程；（2）设1C与2C的交于A，B，C，D四点，当r变化时，求凸四边形ABCD的最大面积选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23.设M为不等式1431xx的解集（1）求集合M的最大元素m；（2）若a，bM且abm，求1123ab的最小值成都七中成都七中 20222023 学年度（上）高三年级半期考试学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）数学试卷（文科）（试卷总分：（试卷总分：150 分，考试时间：分，考试时间：120 分钟）分钟）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1.设全集0,1,2,3,4,5,6U，集合1,2,4A，1,3,5B，则UAB （）A.0,6B.1,4C.2,4D.3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集0,1,2,3,4,5,6U，集合1,2,4A，1,3,5B，故0,2,4,6UB 则2,4UAB 故选：C2.复数43i2iz（其中i为虚数单位）的虚部为（）A.2B.1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数2243i2i43i510i12i2i2i2i21z，所以复数z的虚部为2，故选：A.3.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值1,2,3,12ia i（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这 12 名青少年视力小于等于4.3的人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这 12 名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有 5 人，故选：B4.抛物线220ypx p上的一点9,12P 到其焦点F的距离PF等于（）A.17B.15C.13D.11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p，再由焦半径公式得结论【详解】由题意2122(9)p，解得8p ，所以4(9)132PpPFx ，故选：C5.奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（）A.众数B.方差C.中位数D.平均数【答案】B【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案【详解】对于 A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故 A 错误；对于 B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故 B 正确；对于 C：7 个数据从小到大排列，第 4 个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5 个有效评分与 7 个原始评分相比，不变的中位数，故 C 错误；对于 C：平均数可能变大、变小或不变，故 D 错误；故选：B6.已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r，圆锥的母线长2(3)12l 记该几何体的表面积为S故211(2)4422Sr lr 故选：B7.设平面向量a，b的夹角为120，且1a，2b，则2aab（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，22222 11 2 cos1202 11aabaa b 则21aab故选：A8.设x，y满足240220330 xyxyxy，则2zxy的最大值是（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示,转化2zxy为2yxz,要使得2zxy取得最大值，即直线2yxz 与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2zxy为2yxz 要使得2zxy取得最大值，即直线2yxz 与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B点时，直线的截距最大240220 xyxy，解得(0,2)B故2 022z 故2zxy的最大值是 2故选：D9.“为第二象限角”是“sin3cos1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin3cos1求出的范围，从而可判断出选项.【详解】因为13sin3cos2sincos2sin223，所以由sin3cos1，得2sin13，即1sin32，所以522,636kkkZ，即722,26kkkZ，所以当为第二象限角时，sin3cos1；但当sin3cos1时，不一定为第二象限角，故“为第二象限角”是“sin3cos1”的充分不必要条件.故选：A.10.已知直线100,0axbyab 与圆224xy相切，则22loglogab的最大值为（）A.3B.2C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214ab，然后利用均值不等式可得18ab，从而可求22loglogab的最大值.【详解】解：因为直线100,0axbyab 与圆224xy相切，所以2212ab，即2214ab，因为222abab，所以18ab，所以22221loglogloglog38abab，所以22loglogab的最大值为3，故选：D.11.关于函数 sin cos6xxf x的叙述中，正确的有（）fx的最小正周期为2；fx在区间,6 3 内单调递增；3fx是偶函数；fx的图象关于点,012对称.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得 11sin(2)264fxx，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】23131sin cossin(cossin)sin cossin62222xfxxxxxxxx31111sin2cos2sin(2)444264xxx，最小正周期22T，错误；令222262kxk，则 fx在,63kk上递增，显然当0k 时,6 3，正确；1111sin(2)cos2322424fxxx，易知3fx为偶函数，正确；令26xk，则212kx，Zk，易知 fx的图象关于1,12 4对称，错误；故选：C12.攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观其檐平面呈正八边形，上檐边长为a，宝顶到上檐平面的距离为h，则攒尖的体积为（）A.22213a hB.2213a hC.24213a hD.22213a h【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH的外接圆圆心是O（正八边形对角线交点），设外接圆半径为R，在OAB中，4AOB，ABa=，由余弦定理得222222cos(22)4aRRRR，22222222aRa，正八边形的面积为218sin24SR 22(12)a，所以攒尖体积212(12)33a hVSh故选：D二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.命题“xN，22xx”的否定是_【答案】2,2xxNx【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解【详解】特称命题的否定是全称命题命题“xN，22xx”的否定是：2,2xxNx 故答案为：2,2xxNx 14.函数 lnf xxx在1x 处的切线方程为_（要求写一般式方程）【答案】230 xy【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】lnf xxx的导函数是 112fxxx，所以 111122f .又 11f，所以函数 lnf xxx在1x 处的切线方程为1112yx ，即230 xy.故答案为：230 xy.15.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的两个焦点分别为1F、2F，且两条渐近线互相垂直，若C上一点P满足213PFPF，则12FPF的余弦值为_【答案】13【解析】【分析】由题意可得ba，进而得到2ca，再结合双曲线的定义可得123,PFa PFa，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线2222:10,0 xyCabab，所以渐近线方程为byxa，又因为两条渐近线互相垂直，所以21ba，所以1ba，即ba，因此2ca，因此213PFPF，又由双曲线的定义可知122PFPFa，则123,PFa PFa，所以在12FPF中由余弦定理可得2222221221121232 21cos22 33aaaPFPFF FFPFPFPFa a，故答案为：13.16.已知向量,ax m，32,2bxx（1）若当2x 时，ab，则实数m的值为_；（2）若存在正数x，使得/a br r，则实数m的取值范围是_【答案】.2.,02,)【解析】【分析】（1）由2x 时，得到2,am，4,4b，然后根据ab求解；（2）根据存在正数x，使得/a br r，则22320 xm xm，0,x有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x 时，2,am，4,4b，因为ab，所以2 440m，解得2m ，所以实数m的值为-2；（2）因为存在正数x，使得/a br r，所以232x xmx，0,x有解，即22320 xm xm，0,x有解，所以223022380mmm 或230220mm，解得2m或0m，所以实数m的取值范围是,02,).故答案为：-2，,02,)三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个题目每个题目考生都必须作答第考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22n adbcKabcdacbd（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关；（2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的 2 个二等品为A，B，乙生产线的 3 个二等品为a，b，c，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【小问 1 详解】解：依题意可得22列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以2250 38 32 75.55610 40 5 45K ，因为5.0245.5566.635，所以有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关；【小问 2 详解】解：依题意，记甲生产线的 2 个二等品为A，B，乙生产线的 3 个二等品为a，b，c；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共 10 个，至少有1件为甲生产线产品的有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc共 7 个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P；18.如图，在正三棱柱111ABCABC中，D是BC的中点（1）求证：平面1ADC 平面11BCC B；（2）已知12AAAB，求异面直线1A B与1DC所成角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）6【解析】【分析】（1）证得AD 平面11BCC B，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问 1 详解】因为正三棱柱111ABCABC，所以ABAC，又因为D是BC的中点，所以ADBC，又因为平面ABC 平面11BCC B，且平面ABC 平面11BCC BBC，所以AD 平面11BCC B，又因为AD 平面1ADC，所以平面1ADC 平面11BCC B；【小问 2 详解】取11BC的中点E，连接DE，由正三棱柱的几何特征可知,DB DA DE两两垂直，故以D为坐标原点，分以,DA DB DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB，则12 2AA，所以113,0,2 2,0,1,0,0,0,0,0,1,2 2ABDC,则113,1,2 2,0,1,2 2ABDC uuu ruuur，所以11112222221130 112 22 23cos,2312 2012 2AB DCAB DCABDC uuu r uuuruuu r uuuruuu ruuur由于异面直线成角的范围是0,2，所以异面直线1A B与1DC所成角的余弦值为32，因此异面直线1A B与1DC所成角为6.19.已知nN，数列 na的首项11a，且满足下列条件之一：1122nnnaa；121nnnana（只能从中选择一个作为已知）（1）求 na的通项公式；（2）若 na的前n项和nSm，求正整数m的最小值【答案】（1）22nnna（2）4【解析】【分析】（1）若选，则可得11222nnnnaa，从而可得数列2nna是以 2 为公差，2 为首项的等差数列，则可求出2nna，进而可求出na，若选，则1112nnaann，从而可得数列nan是以12为公比，1 为首项的等比数列，则可求出nan，进而可求出na，（2）利用错位相减法求出nS，从而可求出正整数m的最小值【小问 1 详解】若选，则由1122nnnaa可得11222nnnnaa，所以数列2nna是以 2 为公差，1122a为首项的等差数列，所以222(1)2nnann，所以22nnna，若选，则由121nnnana，得1112nnaann，所以数列nan是以12为公比，1111aa为首项的等比数列，所以1112nnan，所以1222nnnnna【小问 2 详解】因为12312462(1)222222nnnnnS，所以234112462(1)2222222nnnnnS，所以23112222122222nnnnS 2311112()2222nnn 111142121212nnn 222nn，所以2442nnnS，所以4nS，所以正整数m的最小值为 4，20.已知椭圆2222:10 xyCabab的短轴长为2 3，左顶点 A 到右焦点F的距离为3（1）求椭圆C的方程（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于 A），且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l经过定点【答案】（1）22143xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得3b、3ac，再根据222cab，即可求出a、c，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l为ykxm，11,M x y，22,N xy，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AMANkk，即可得到方程，整理得到225480mkkm，即可得到m、k的关系，从而求出直线过定点；【小问 1 详解】解：依题意3b、3ac，又222cab，解得2a，1c，所以椭圆方程为22143xy，离心率12cea；【小问 2 详解】解：由（1）可知2,0A，当直线斜率存在时，设直线l为ykxm，联立方程得22143ykxmxy，消去y整理得2223484120kxkmxm，设11,M x y，22,N xy，所以122834kmxxk，212241234mx xk；因为直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AMANkk；即22121212121212121212222242AMANk x xkm xxmyykxm kxmkkxxxxx xxx 所以2222222241281343441282243434mkmkkmmkkmkmkk，即22221231164162kmkmkm，所以225480mkkm，即2520mkmk，所以2mk或25mk，当2mk时，直线l：2ykxk，恒过定点2,0，因为直线不过 A 点，所以舍去；当25mk 时，直线l：25ykxk，恒过定点2,05；当直线斜率不存在时，设直线0:l xx，00,M xy，00,N xy，则00001222AMANyykkxx，且2200143xy，解得025x 或02x（舍去）；综上可得直线l恒过定点2,05.21.已知函数 sinxf xekx，其中k为常数（1）当1k 时，判断 f x在区间0,内的单调性；（2）若对任意0,x，都有 1fx，求k的取值范围【答案】（1）判断见解析（2）(,1k【解析】【分析】小问 1：当1k 时，求出导数，判断导数在0,上的正负，即可确定()f x在0,上的单调性；小问 2：由 1fx 得sin10 xekx，令()sin1xg xekx，将参数k区分为0k，01k，1k 三种情况，分别讨论()g x的单调性，求出最值，即可得到k的取值范围.【小问 1 详解】当1k 时，得 sinxf xex，故 cosxfxex，当0,时，()0fx恒成立，故()f x在区间0,为单调递增函数.【小问 2 详解】当0,x时，sin(0,1x，故 1fx，即sin1xekx，即sin10 xekx.令()sin1xg xekx当0k 时，因为0,x，故sin(0,1x，即sin0kx，又10 xe ，故()0f x 在0,x上恒成立，故0k；当01k时，()cosxg xekx，()sinxgxekx，故()0gx在0,x上恒成立，()g x在0,x上单调递增，故0()(0)0g xgek，即()g x在0,x上单调递增，故0()(0)10g xge，故01k；当1k 时，由可知()g x在0,x上单调递增，设()0g x时的根为0 x，则()g x在0(0,)xx时为单调递减；在0(,)xx时为单调递增又0(0)10ge，故0()0g x，舍去；综上：(,1k【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分第一题计分选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22.在平面直角坐标系xOy中，伯努利双纽线1C（如图）的普通方程为222222xyxy，曲线2C的参数方程为cossinxryr（其中0,2r（，为参数）（1）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C和2C的极坐标方程；（2）设1C与2C的交于A，B，C，D四点，当r变化时，求凸四边形ABCD的最大面积【答案】（1）1:C2222cos2sin；2:Cr（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A在第一象限，并且设点A的极坐标，根据题意列出点A的直角坐标，表示出四边形ABCD的面积进行计算即可.【小问 1 详解】1:C222222xyxy，由cos,sinxy，故222222()2(cossin)，即2222cos2sin2:Ccossinxryr，即222xyr，即22r，r【小问 2 详解】由1C和2C图象的对称性可知，四边形ABCD为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A在第一象限，且坐标为(,)(0)2，又r，则点A的直角坐标为(cos,sin)rr，又2222cos2sin，即2222cos2sin2cos2r故S四边形ABCD=22 cos2 sin2sin2rrr=2 2cos2sin22sin4又02，故042，因此当42，即8 时，四边形ABCD的面积最大为 2.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23.设M为不等式1431xx的解集（1）求集合M的最大元素m；（2）若a，bM且abm，求1123ab的最小值【答案】（1）3m（2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x，1x ，113x，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a bab，构造11(2)(3)132()1 12328113823abbaababab，利用均值不等式即得解【小问 1 详解】由题意，1431xx（1）当13x 时，1431xx，解得3x，即133x；（2）当1x 时，141 3xx ，解得1x ，即=1x；（3）当113x 时，141 3xx ，解得1x ，即113x 综上：13x 故集合|13Mxx=-，3m【小问 2 详解】由题意，1,3,3a bab，故(2)(3)8ab故11(2)(3)132()1 12328113823abbaababab 由于1,3a b，故20,30ab由均值不等式，113213211 11 122382382321babaababab 当且仅当3223baab，即2,1ab时等号成立故求1123ab的最小值为12