2022年黑龙江省龙东地区中考数学真题含解析.pdf

黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区 2022 年初中毕业学业统一考试数学试题年初中毕业学业统一考试数学试题一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分）1.下列运算中，计算正确的是（）A.222babaB.326aaaC.224xxD.623aaa2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的 6 名同学每分钟跳绳次数分别是 172，169，180，182，175，176，这 6 个数据的中位数是（）A.181B.175C.176D.175.54.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7B.8C.9D.105.2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8B.10C.7D.96.已知关于 x 的分式方程23111xmxx的解是正数，则 m 的取值范围是（）A.4mB.4mC.4m且5m D.4m且1m7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费 360 元其中毛笔每支 15 元，围棋每副 20 元，共有多少种购买方案？（）A.5B.6C.7D.88.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，平行四边形 OBAD 的顶点 B 在反比例函数3yx的图象上，顶点 A 在反比例函数kyx的图象上，顶点 D 在 x 轴的负半轴上若平行四边形 OBAD 的面积是 5，则 k 的值是（）A.2B.1C.1D.29.如图，ABC中，ABAC，AD 平分BAC与 BC 相交于点 D，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 DC 的中点，连接 EF 交 AD 于点 P若ABC的面积是 24，1.5PD，则 PE 的长是（）A.2.5B.2C.3.5D.310.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 F 是 CD 上一点，OEOF交 BC 于点 E，连接 AE，BF 交于点 P，连接 OP则下列结论：AEBF；45OPA；2APBPOP；若:2:3BE CE，则4tan7CAE；四边形 OECF 的面积是正方形 ABCD 面积的14其中正确的结论是（）A.B.C.D.二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分）11.我国南水北调东线北延工程 2021-2022 年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水 1.89 亿立方米，将数据 1.89 亿用科学记数法表示为_12.函数23yx中自变量x的取值范围是_13.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，OAOC，请你添加一个条件_，使AOBCOD14.在一个不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是_15.若关于 x 的一元一次不等式组21 30 xxa的解集为2x，则 a 的取值范围是_16.如图，在O中，AB 是O的弦，O的半径为 3cm，C 为O上一点，60ACB，则 AB 的长为_cm17.若一个圆锥的母线长为 5cm，它的侧面展开图的圆心角为 120，则这个圆锥的底面半径为_cm18.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，60BAD，3AD，AH 是BAC的平分线，CEAH于点 E，点 P 是直线 AB 上的一个动点，则OPPE的最小值是_19.在矩形 ABCD 中，9AB，12AD，点 E 在边 CD 上，且4CE，点 P 是直线 BC 上的一个动点 若APEV是直角三角形，则 BP 的长为_20.如图，在平面直角坐标系中，点1A，2A，3A，4A在 x 轴上且11OA，212OAOA，322OAOA，432OAOA按此规律，过点1A，2A，3A，4A作 x 轴的垂线分别与直线3yx交于点1B，2B，3B，4B记11OAB，22OA B，33OA B，44OA B的面积分别为1S，2S，3S，4S，则2022S_三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分）21.先化简，再求值：22221111aaaaa，其中2cos301a 22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为1,1A，2,5B，5,4C（1）将ABC先向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位，得到111A BC，画出两次平移后的111A BC，并写出点1A的坐标；（2）画出111A BC绕点1C顺时针旋转 90后得到221A B C，并写出点2A的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A旋转到点2A的过程中所经过的路径长（结果保留）23.如图，抛物线2yxbxc经过点1,0A，点2,3B，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点 P，使PBC的面积是BCD面积的 4 倍，若存在，请直接写出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查设每名学生平均每天的睡眠时间为 x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x B 组：8.59xC 组：99.5xD 组：9.510 xE 组：10 x 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求 D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有 1500 名学生，请估计该校睡眠时间不足 9 小时的学生有多少人？25.为抗击疫情，支援 B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往 B 市甲、乙两辆货车从 A 市出发前往 B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达 B 市甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往 B 市乙车维修完毕后立即返回 A 市两车离 A 市的距离 y（km）与乙车所用时间 x（h）之间的函数图象如图所示（1）甲车速度是_km/h，乙车出发时速度是_km/h；（2）求乙车返回过程中，乙车离 A 市的距离 y（km）与乙车所用时间 x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是 120km？请直接写出答案26.ABC和ADE都是等边三角形（1）将ADE绕点 A 旋转到图的位置时，连接 BD，CE 并延长相交于点 P（点 P 与点 A 重合），有PAPBPC（或PAPCPB）成立；请证明（2）将ADE绕点 A 旋转到图的位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE绕点 A 旋转到图的位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明27.学校开展大课间活动，某班需要购买 A、B 两种跳绳已知购进 10 根 A 种跳绳和 5 根 B 种跳绳共需 175元：购进 15 根 A 种跳绳和 10 根 B 种跳绳共需 300 元（1）求购进一根 A 种跳绳和一根 B 种跳绳各需多少元？（2）设购买 A 种跳绳 m 根，若班级计划购买 A、B 两种跳绳共 45 根，所花费用不少于 548 元且不多于 560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA、OB 的长分别是一元二次方程27120 xx的两个根OAOB，4tan3DAB，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线DCCB向点 B 运动，到达 B 点停止设运动时间为 t 秒，APC的面积为 S（1）求点 C 的坐标；（2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使CMP!是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区 2022 年初中毕业学业统一考试数学试题年初中毕业学业统一考试数学试题一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分）1.下列运算中，计算正确的是（）A.222babaB.326aaaC.224xxD.623aaa【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断【详解】2222 bbbaaa，故 A 选项错误，不符合题意；2326aaa，故 B 选项错误，不符合题意；224xx，故 C 选项正确，符合题意；624aaa，故 D 选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可【详解】解：是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；是轴对称图形，不是中心对称图形不符合题意；不是轴对称图形，是中心对称图形符合题意；是轴对称图形，不是中心对称图形不符合题意；故选 C【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转 180后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的 6 名同学每分钟跳绳次数分别是 172，169，180，182，175，176，这 6 个数据的中位数是（）A.181B.175C.176D.175.5【答案】D【解析】【分析】先将这 6 个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数【详解】解：将 172，169，180，182，175，176 从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为 175，176，这 6 个数据的中位数为175 176175.52，故 D 正确故选：D【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数4.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可【详解】由俯视图可知最底层有 5 个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有 3 个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538个故选：B【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查5.2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8B.10C.7D.9【答案】B【解析】【分析】设有 x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x，解方程即可【详解】设有 x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x，解方程，得 x1=10，x2=-9（舍去），故选 B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键6.已知关于 x 的分式方程23111xmxx的解是正数，则 m 的取值范围是（）A.4mB.4mC.4m且5m D.4m且1m【答案】C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m 且4 10m ，即可求解【详解】方程两边同时乘以(1)x，得231xmx，解得4xm，关于 x 的分式方程23111xmxx的解是正数，0 x，且10 x，即40m 且4 10m ，4m且5m，故选：C【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为 0，熟练掌握知识点是解题的关键7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费 360 元其中毛笔每支 15 元，围棋每副 20 元，共有多少种购买方案？（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】设设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据总价=单价数量，即可得出关于 x，y 的二元一次方程，结合x，y 均为正整数即可得出购买方案的数量【详解】解：设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据题意得，15x+20y=360，即 3x+4y=72，y=18-34x又x，y 均为正整数，415xy或812xy或129xy或166xy或203xy，班长有 5 种购买方案故选：A【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费 360 元”，列出二元一次方程是解题的关键8.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，平行四边形 OBAD 的顶点 B 在反比例函数3yx的图象上，顶点 A 在反比例函数kyx的图象上，顶点 D 在 x 轴的负半轴上若平行四边形 OBAD 的面积是 5，则 k 的值是（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】连接 OA，设 AB 交 y 轴于点 C，根据平行四边形的性质可得1522AOBOBADSS，ABOD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解【详解】解：如图，连接 OA，设 AB 交 y 轴于点 C，四边形 OBAD 是平行四边形，平行四边形 OBAD 的面积是 5，1522AOBOBADSS，ABOD，ABy 轴，点 B 在反比例函数3yx的图象上，顶点 A 在反比例函数kyx的图象上，3,22COBCOAkSS，35222AOBCOBCOAkSSS，解得：2k 故选：D【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键9.如图，ABC中，ABAC，AD 平分BAC与 BC 相交于点 D，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 DC 的中点，连接 EF 交 AD 于点 P若ABC的面积是 24，1.5PD，则 PE 的长是（）A.2.5B.2C.3.5D.3【答案】A【解析】【分析】连接 DE，取 AD 的中点 G，连接 EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得 ADBC，BD=CD，再由 E 是 AB 的中点，G 是 AD 的中点，求出 SEGD=3，然后证EGPFDP（AAS），得 GP=CP=1.5，从而得 DG=3，即可由三角形面积公式求出 EG 长，由勾股定理即可求出 PE 长【详解】解：如图，连接 DE，取 AD 的中点 G，连接 EG，AB=AC，AD 平分BAC与 BC 相交于点 D，ADBC，BD=CD，SABD=112422ABCS=12，E 是 AB 的中点，SAED=111222ABDS=6，G 是 AD 的中点，SEGD=11622AEDS=3，E 是 AB 的中点，G 是 AD 的中点，EGBC，EG=12BD=12CD，EGP=FDP=90，F 是 CD 的中点，DF=12CD，EG=DF，EPG=FPD，EGPFDP（AAS），GP=PD=1.5，GD=3，SEGD=12GD EG=3，即1332EG，EG=2，在 RtEGP 中，由勾股定理，得PE=222221.5EGGP=2.5，故选：A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键10.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 F 是 CD 上一点，OEOF交 BC 于点 E，连接 AE，BF 交于点 P，连接 OP则下列结论：AEBF；45OPA；2APBPOP；若:2:3BE CE，则4tan7CAE；四边形 OECF 的面积是正方形 ABCD 面积的14其中正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：通过证明DOFCOE ASA得到 EC=FD，再证明EACFBD SAS得到EAC=FBD，从而证明BPQ=AOQ=90，即AEBF；通过等弦对等角可证明45OPAOBA；通过正切定义得tanBEBPBAEABAP，利用合比性质变形得到CE BPAPBPBE，再通过证明AOPAEC得到OP AECEAO，代入前式得OP AE BPAPBPAO BE，最后根据三角形面积公式得到AE BPAB BE，整体代入即可证得结论正确；作 EGAC 于点 G 可得 EGBO，根据tanEGEGCAEAGACCG，设正方形边长为 5a，分别求出 EG、AC、CG 的长，可求出3tan7CAE，结论错误；将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用DOFCOE ASA，可证明S四边形OECF=SCOE+SCOF=SDOF+SCOF=SCOD即可证明结论正确【详解】四边形 ABCD 是正方形，O 是对角线 AC、BD 的交点，OC=OD，OCOD，ODF=OCE=45OEOFDOF+FOC=FOC+EOC=90DOF=EOC在DOF 与COE 中ODFOCEOCODDOFEOC DOFCOE ASAEC=FD在EAC 与FBD 中45ECFDECAFDBACBD EACFBD SASEAC=FBD又BQP=AQOBPQ=AOQ=90AEBF所以正确；AOB=APB=90点 P、O 在以 AB 为直径的圆上AO 是该圆的弦45OPAOBA所以正确；tanBEBPBAEABAPABAPBEBPABBEAPBPBEBPAPBPCEBPBECE BPAPBPBE,45EACOAPOPAACE AOPAECOPAOCEAEOP AECEAOOP AE BPAPBPAO BE1122ABEAE BPAB BESAE BPAB BE2OP AB BEABAPBPOPOPAO BEAO所以正确；作 EGAC 于点 G，则 EGBO，EGCECGOBBCOC设正方形边长为 5a，则 BC=5a，OB=OC=5 22a，若:2:3BE CE，则23BECE，233BECECE35CEBC35 23 2522CEEGOBaaBCEGAC，ACB=45，GEC=45CG=EG=3 22a3 232tan73 25 22aEGEGCAEAGACCGaa所以错误；DOFCOE ASA，S四边形OECF=SCOE+SCOFS四边形OECF=SDOF+SCOF=SCODSCOD=14ABCDS正方形S四边形OECF=14ABCDS正方形所以正确；综上，正确，错误，故选 B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分）11.我国南水北调东线北延工程 2021-2022 年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水 1.89 亿立方米，将数据 1.89 亿用科学记数法表示为_【答案】81.89 10【解析】【分析】把亿写成810，最后统一写成10na 的形式即可【详解】解：由题意得：1.89 亿=81.89 10，故答案为：81.89 10【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键12.函数23yx中自变量x的取值范围是_【答案】1.5x【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，即可求出答案【详解】解：根据题意，230 x，1.5x；故答案为：1.5x【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于 0 进行解题13.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，OAOC，请你添加一个条件_，使AOBCOD【答案】OB=OD（答案不唯一）【解析】【分析】根据 SAS 添加 OB=OD 即可【详解】解：添加 OB=OD，在AOB 和COD 中，AOCOAOBCODOBOD，AOBCOD（SAS）故答案为 OB=OD（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键14.在一个不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是_【答案】13【解析】【分析】利用概率公式计算即可【详解】不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，摸到红球的概率是21243，故答案为：13【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键15.若关于 x 的一元一次不等式组21 30 xxa的解集为2x，则 a 的取值范围是_【答案】2a#2a【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案【详解】解：21 30 xxa，解不等式得：2x，解不等式得：xa，关于x的不等式组21 30 xxa的解集为2x，2a故答案为：2a【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）16.如图，在O中，AB 是O的弦，O的半径为 3cm，C 为O上一点，60ACB，则 AB 的长为_cm【答案】3 3【解析】【分析】连接 OA、OB，过点 O 作 ODAB 于点 D，由垂径定理和圆周角定理可得12ADBDAB，120AOB，再根据等腰三角形的性质可得30OABOBA，利用含 30角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解【详解】解：连接 OA、OB，过点 O 作 ODAB 于点 D，12ADBDAB，90ODA，60ACB，120AOB，OAOB，30OABOBA，3cmOA，3cm2OD，223 3cm2ADOAOD，3 3cmAB，故答案为：3 3【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键17.若一个圆锥的母线长为 5cm，它的侧面展开图的圆心角为 120，则这个圆锥的底面半径为_cm【答案】53【解析】【分析】由于圆锥的母线长为 5cm，侧面展开图是圆心角为 120扇形，设圆锥底面半径为 rcm，那么圆锥底面圆周长为 2rcm，所以侧面展开图的弧长为 2rcm，然后利用弧长公式即可得到关于 r 的方程，解方程即可求解【详解】解：设圆锥底面半径为 rcm，则圆锥底面周长为：2 rcm，侧面展开图的弧长为：2 rcm，12052=180r，解得：r=53，故答案为：53【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长18.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，60BAD，3AD，AH 是BAC的平分线，CEAH于点 E，点 P 是直线 AB 上的一个动点，则OPPE的最小值是_【答案】3 62【解析】【分析】作点 O 关于 AB 的对称点 F，连接 OF 交 AB 于 G，连接 PE 交直线 AB 于 P，连接 PO，则 PO=PF，此时，PO+PE 最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出 OF，OE 长，再证明EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出 EF 长即可【详解】解：如图，作点 O 关于 AB 的对称点 F，连接 OF 交 AB 于 G，连接 PE 交直线 AB 于 P，连接 PO，则 PO=PF，此时，PO+PE 最小，最小值=EF，菱形 ABCD，ACBD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，BAD=60，ABD 是等边三角形，BD=AB=3，BAO=30，OB=32，OA=332，点 O 关于 AB 的对称点 F，OFAB，OF=2OG=OA=332，AOG=60，CEAH 于 E，OA=OC，OE=OC=OA=332，AH 平分BAC，CAE=15，AEC=CAE=15，DOE=AEC+CAE=30，DOE+AOG=30+60=90，FOE=90，由勾股定理，得 EF=22223 33 33 6222OFOE,PO+PE 最小值=3 62故答案为：3 62【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点 O 关于AB 的对称点 F，连接 OF 交 AB 于 G，连接 PE 交直线 AB 于 P，连接 PO，则 PO=PF，则 PO+PE 最小，最小值=EF 是解题的关键19.在矩形 ABCD 中，9AB，12AD，点 E 在边 CD 上，且4CE，点 P 是直线 BC 上的一个动点 若APEV是直角三角形，则 BP 的长为_【答案】313或154或 6【解析】【分析】分三种情况讨论：当APE=90时，当AEP=90时，当PAE=90时，过点 P 作 PFDA 交DA 延长线于点 F，即可求解【详解】解：在矩形 ABCD 中，9ABCD，12ADBC，BAD=B=BCD=ADC=90，如图，当APE=90时，APB+CPE=90，BAP+APB=90，BAP=CPE，B=C=90，ABPPCE，ABBPPCCE，即9124BPBP，解得：BP=6；如图，当AEP=90时，AED+PEC=90，DAE+AED=90，DAE=PEC，C=D=90，ADEECP，ADDECEPC，即12944PC，解得：53PC，313BPBCPC；如图，当PAE=90时，过点 P 作 PFDA 交 DA 延长线于点 F，根据题意得BAF=ABP=F=90，四边形 ABPF 为矩形，PF=AB=9，AF=PB，PAF+DAE=90，PAF+APF=90，DAE=APF，F=D=90，APFEAD，AFPFDEAD，即99412AF，解得：154AF，即154PB；综上所述，BP 的长为313或154或 6故答案为：313或154或 6【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键20.如图，在平面直角坐标系中，点1A，2A，3A，4A在 x 轴上且11OA，212OAOA，322OAOA，432OAOA按此规律，过点1A，2A，3A，4A作 x 轴的垂线分别与直线3yx交于点1B，2B，3B，4B记11OAB，22OA B，33OA B，44OA B的面积分别为1S，2S，3S，4S，则2022S_【答案】404123【解析】【分析】先求出113AB，可得1 132OA BS，再根据题意可得112233nnABA BA BA B，从而得到11OAB22OA B33OA B44OA BnnOA B，再利用相似三角形的性质，可得1 1OA BS22OA BS33OA BS44OA BSnnOA BS=2222231:2:2:2:2n，即可求解【详解】解：当 x=1 时，3y，点11,3B，113AB，1 1131322OA BS，根据题意得：112233nnABA BA BA B，11OAB22OA B33OA B44OA BnnOA B，1 1OA BS22OA BS33OA BS44OA BSnnOA BS=OA12OA22OA32OAn2，11OA，212OAOA，322OAOA，432OAOA，22OA，2342OA ，3482OA 12nnOA，1 1OA BS22OA BS33OA BS44OA BSnnOA BS=2222231246221:2:2:2:21:2:2:2:2nn，1 1222nnnOA BOA BSS，2 2022 24041202232232S故答案为：404123【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分）21.先化简，再求值：22221111aaaaa，其中2cos301a【答案】11a，33【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出 a 值，然后把 a 值代入化简式计算即可【详解】解：原式22222112111aaaaaaa2121211aaaa11a，当2cos30131a 时，原式133131【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为1,1A，2,5B，5,4C（1）将ABC先向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位，得到111A BC，画出两次平移后的111A BC，并写出点1A的坐标；（2）画出111A BC绕点1C顺时针旋转 90后得到221A B C，并写出点2A的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A旋转到点2A的过程中所经过的路径长（结果保留）【答案】（1）见解析；15,3A（2）见解析；22,4A（3）点1A旋转到点2A所经过的路径长为52【解析】【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A旋转到点2A为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可【小问 1 详解】解：如图所示A1B1C1即为所求，15,3A；【小问 2 详解】如图所示A2B2C2即为所求，22,4A；【小问 3 详解】2211345AC 点1A旋转到点2A所经过的路径长为90 551802【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键23.如图，抛物线2yxbxc经过点1,0A，点2,3B，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点 P，使PBC的面积是BCD面积的 4 倍，若存在，请直接写出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）223yxx（2）存在，115,1P，215,1P【解析】【分析】（1）将点1,0A，点2,3B，代入抛物线得10423bcbc，求出bc，的值，进而可得抛物线的解析式（2）将解析式化成顶点式得222314yxxx，可得D点坐标，将0 x 代入得，3y ，可得C点坐标，求出1BCDS的值，根据4PBCBCDSS可得4PBCS，设2,23P m mm，则21223342PBCSmm ，求出m的值，进而可得P点坐标【小问 1 详解】解：抛物线2yxbxc过点1,0A，点2,3B，10423bcbc，解得23bc ，抛物线的解析式为：223yxx【小问 2 详解】解：存在222314yxxx，1,4D，将0 x 代入得，3y ，0,3C，D到线段BC的距离为 1，2BC，12 1 12BCDS V，44PBCBCDSS，设2,23P m mm，则21223342PBCSmm ，整理得，224mm，解得115m ，或215m ，115,1P，215,1P，存在点 P，使PBC的面积是BCD面积的 4 倍，点 P 的坐标为115,1P，215,1P【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识 解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查设每名学生平均每天的睡眠时间为 x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x B 组：8.59xC 组：99.5xD 组：9.510 xE 组：10 x 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求 D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有 1500 名学生，请估计该校睡眠时间不足 9 小时的学生有多少人？【答案】（1）100（2）补全统计图见解析（3）D 组所对应的扇形圆心角度数为72（4）估计该校睡眠时间不足 9 小时的学生有 375 人【解析】【分析】（1）根据统计图中B组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E组人数占比为15，求出E组人数为100 15人，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；（3）根据D组人数的占比乘以360计算求解即可；（4）根据AB，两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可【小问 1 详解】解：由统计图可知，本次共调查了2020100（人），故答案为：100【小问 2 详解】解：由统计图可知，E组人数占比为15，E组人数为100 1515（人），A组人数为100204020155（人），补全统计图如图所示【小问 3 详解】解：由题意知，D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100，D 组所对应的扇形圆心角度数为72【小问 4 详解】解：由题意知，5201500375100（人）估计该校睡眠时间不足 9 小时的学生有 375 人【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识解题的关键在于从统计图中获取正确的信息25.为抗击疫情，支援 B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往 B 市甲、乙两辆货车从 A 市出发前往 B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达 B 市甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往 B 市乙车维修完毕后立即返回 A 市两车离 A 市的距离 y（km）与乙车所用时间 x（h）之间的函数图象如图所示（1）甲车速度是_km/h，乙车出发时速度是_km/h；（2）求乙车返回过程中，乙车离 A 市的距离 y（km）与乙车所用时间 x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是 120km？请直接写出答案【答案】（1）10060（2）1001200yx（3）3，6.3，9.125【解析】【分析】（1）根据图象分别得出甲车 5h 的路程为 500km，乙车 5h 的路程为 300km，即可确定各自的速度；（2）设0ykxb k，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为 t 时，相距 120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可【小问 1 详解】解：根据图象可得，甲车 5h 的路程为 500km，甲的速度为：5005=100km/h；乙车 5h 的路程为 300km，乙的速度为：3005=60km/h；故答案为：100；60；【小问 2 详解】设0ykxb k，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，代入得9300120kbkb，解得1001200kb y 与 x 的函数解析式为1001200yx；【小问 3 详解】解：设乙出发的时间为 t 时，相距 120km，根据图象可得，当 0t5 时，100t-60t=120，解得：t=3；当 5t5.5 时，根据图象可得不满足条件；当 5.5t8 时，500-100（t-5.5）-300=120，解得：t=6.3；当 8t9 时，100（t-8）-300=120，解得：t=12.2，不符合题意，舍去；当 9t12 时，100（9-8）+100（t-9）+60（t-9）=120，解得：t=9.125；综上可得：乙车出发 3h、6.3h 与 9.125h 时，两车之间的距离为 120km【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键26