2022年第一章质点运动学习题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第一章 质点运动学习题答案1-1 质点做直线运动,运动方程为2x 12 t 6 t其中 t 以 s 为单位, x 以 m 为单位,求： 1 t 4s 时,质点的位置、速度和加速度；2质点通过原点时的速度；3质点速度为零时的位置；4 做出 x-t 图、 v -t 图、 a -t 图. 解： 1 依据直线运动情形下的定义,可得质点的位置、速度和加速度分别为x12t6 t2（1）a12m/s2vdx1212 t（2）dta2 d x12（3）dt2当 t 4s时,代入数字得：x48m v36m/s t62 t 0 （2）当质点通过原点时,x 0,代入运动方程得：12解得：t 10,t 22,代入（ 2）式得：1s v 112m/s v =12m/s 23 将v0代入（ 2）式,得 1212 t0解得：t代入（ 1）式得： x12m6m=6m 1.2一质点在 xOy 平面上运动,运动方程为x =3t +5, y = 1 t 2+3t -4. 2式中 t 以 s 计, x , y 以m计 1 以时间 t 为变量,写出质点位置矢量的表示式；2 求出 t =1 s 时刻和 t 2s 时刻的位置矢量,运算这 1秒内质点的位移；3 运算 t 0s时刻到 t 4s时刻内的平均速度；4 求出质点速度矢量表示式,运算 t 4s 时质点的速度； 5 运算 t 0s 到 t 4s 内质点的平均加速度；6 求出质点加速度矢量的表示式,运算 t 4s 时质点的加速度 . 名师归纳总结 解：（1）1,t2r3 t5 i0r1t23 t4jm第 1 页,共 11 页22 将t代入上式即有8 i0 . 5jmr 13 rr 211j4jmr 2r 13j4 . 5jm5j4j,r417 i16j- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆vrr4r012i420j3 i5jms1t404 vdr3it3 jms1m/s2 ,d t就v 43 i7jms15 v03 i3j,v 43 i7javv44v041jms2t46 这说明该点只有d va 1 j md ty 方向的加速度,且为恒量s2. 1-4 一质点沿始终线运动,其加速度为a2x ,式中 x的单位为m, a 的单位为试求该质点的速度v 与位置坐标 x 之间的关系 . 设x0时,v 4m/s 解：依题意名师归纳总结 advdv dxvdv2x第 2 页,共 11 页dtdx dtdxx2xdxvvdv0v 0积分得2 x1 22 vv02vv 022x2162x31-5 质点沿直线运动,加速度a42 t ,假如当 t 3 时,x9,v2,求质点的运动方程 . 其中 a 以 m/s2 为单位, t 以 s 为单位, x 以 m 为单位, v 以 m/s 为单位 解：加速度表示式对t 积分,得vadt1 t334 tv 0xvdt1 t1242t2v tx 0将 t 3s, x 9m,v2m/s 代入以上二式,得积分常数v 01 m/s,0x 0.75m,就v1t34t13x1t42 t2t0.7512- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1-6 当物体以特别高的速度穿过空气时,由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比,即a2 kv ,其中 k 为常量 . 如物体不受其他力作用沿kxx方向运动,通过原点时的速度为v ,试证明在此后的任意位置 0x处其速度为vv e 0. 解：依据加速度定义得：dv 2 dv dv dx dva kv,因 a v,代入上式,分别变量,整理后得：dt dt dx dt dx1 dv kdx,应用初始条件 x 0, v v ,两边积分得vv v0 1v dv 0 xkdx 得 ln vv 0 kx 即 有：v v e 0 kx1-7 试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程,并证明做匀速圆周运动质点的速度矢量 v 和加速度 a 矢量的标积等于零,即 v a = 0解：以直角坐标表示的质点运动学方程为xRcost yRsint以矢量形式表示的指点运动学方程为rRcostiRsintj速度和加速度分别为vdrRsintiRcostjracostibsintj ,其中a b , ,均为大dta2Rcosti2Rsintj所以v a =01-8 一质点在 xoy 平面内运动,其运动方程为于零的常量 . 解：（1）质点在任意时刻的速度sinvtd rasintibcostjdt（ 2）由xacost yb消去 t ,可得轨道方程名师归纳总结 x2y21可见是椭圆方程,说明质点作椭圆运动. 第 3 页,共 11 页a22 b（3）加速度adv2 costibsintj =2rdt由于2 >0,所以 a 的方向恒与 r 反向,即 a恒指向椭圆中心- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1-9 路灯离地面高度为H ,一个身高为 h 的人,在灯下水平路面上以匀速度v 步行 . 如图所 0示,求当人与灯的水平距离为 x 时,他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小 . 图 1-9 解：建立如下列图的坐标,t 时刻头顶影子的坐标为x' x ,设头顶影子的移动速度为v ,就vd x' xdxdx'v0dx'dtdtdtdt由图中可看出有H h' ',x x x'就有 x ' hx dx hv 0H h dt H hhv 0 H所以有 v v 0 v 0H h H h1-10 质点沿半径为 R 的圆周按 sv 0 t 1 bt 2的规律运动,式中 s为质点离圆周上某点的2弧长 , v , b 都是常量,求：1 t 时刻质点的加速度；2 t 为何值时,加速度在数值上等于 b 名师归纳总结 解：（1）vd sv0bt2第 4 页,共 11 页d tad vbbtd tv0v2anRR- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆就a2 aa2b2v0Rbt4n2加速度与半径的夹角为arctanan v 0Rb2abt2 由题意应有即ab2 bv 0Rbt42bt40b2b2v 0Rbt4,v02当tv 0 时,bab5cm/s2 ,如该质点由静止开头运1-11 质点做半径为20cm 的圆周运动,其切向加速度恒为动,需要多少时间：1它的法向加速度等于切向加速度；2 法向加速度等于切向加速度的二倍 . 解：质点圆周运动半径 r 20cm,切向加速度 a 5cm/s 2 ,t 时刻速度为 v a t ,法向加速度为 a n v 2 / r ,因此有 t v a a r / a a n2 ra（1）当 a a 时,t a n2 r r 20 4 s a a 5（2）当 a 1 a 时,t a n2 r 2 r 40 2.83 s 2 a a 561-12 1 地球的半径为 6.37 10 m,求地球赤道表面上一点相对于地球中心的向心加速度 . 2 地球绕太阳运行的轨道半径为 1.5 10 11m,求地球相对于太阳的向心加速度 . 3 天文测量说明,太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中心运动,半径为 2.8 10 20m,速率为2.5 10 m/s,求太阳系相对于银河系的向心加速度 5. 解：（ 1）地球赤道表面一点相对于地球中心的向心角速度为an 1R 126.371062426023.36102 m/s2160（2）地球相对太阳的向心加速度为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆an 2R 22211 1.5 103652606025.95 103 m/s224（3）太阳系相对银河系的向心加速度a n3v 325 2.5 10 212.23 1010 m/s260° 的夹角,R 32.8 10 201-13 以初速度0v 20ms抛出一小球,抛出方向与水平面成求： 1 球轨道最高点的曲率半径R ； 2 落地处的曲率半径R 解：设小球所作抛物线轨道如题1-13 图所示题 1-13 图 1 在最高点,又v 1vxv 0cos 60oan 1g10ms2an 12 v 1112 v 1m20cos602an110102 在落地点,而2v 2v020ms1, man 2go cos 602 v 21020 280a n2cos 601-14 一架飞机在水平地面的上方,以174m/s 的速率垂直俯冲,假定飞机以圆形路径脱离俯名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆冲,而飞机可以承担的最大加速度为78.4m/s2 ,为了防止飞机撞到地面,求飞机开头脱离俯冲的最低高度 . 假定整个运动中速率恒定 . 解：设飞机以半径为 R 圆形路径俯冲,其加速度为a n v 2 / R当 a 为飞机所能承担的最大加速度时,n R 即为最小,所以2 278.4 174 / R min , R min 174 / 78.4 386.2 m 1-15 一飞轮以速度 n 1500 rev/min 转动,受制动而匀称减速,经 t 50 s 静止,求1 角加速度 和从制动开头到静止飞轮转过的转数 N ；2 求制动开头后,t 25 s 时飞轮的角速度；3 设飞轮半径 R =1m,求 t 25 s 时,飞轮边缘上一点的速度和加速度 .解：（ 1）飞轮的1500初角速度 0 2 n 2 50,当 t 50 s 时,0 ；代入 0 t 得600t从开头到静止,飞轮转过的角度及其转数为：（2）tN0t1t2505015021250 rad 2 52 5rad/s 222625 rev v25s 时,飞轮的角速度为0t5 0（3）t25s 时,飞轮边缘上一点的速度为R1 2525 m/s 相应的切线和法线加速度为2ta R 1 m/s2 2 2 2a n R 25 1 625 m/s21-16 一质点沿半径为 1m 的圆周运动, 运动方程为 2 3t ,式中 以弧度计, t 以秒计,求： 1 t 2s 时,质点的切向和法向加速度；2当加速度的方向和半径成 45 角时,其角位移是多少？名师归纳总结 解：t2s时,adt29t2,d18tms2第 7 页,共 11 页dd t 1R118236ms2anR1 92221296- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2 当加速度方向与半径成 45 角时,有即tan452a1anR2R亦即 9 t218 t就解得3t29于是角位移为1-17 一圆盘半径为 时角速度变为零23 3t2322.67rad93m,它的角速度在t 0 时为 3.33rad/s ,以后匀称地减小,到t 4s. 试运算圆盘边缘上一点在t 2s 时的切向加速度和法向加速度的大小. 解：角速度匀称减小,因此,角加速度为40003.330.83 rad/s244圆盘做匀角加速度,故有当t0t3.330.83t216.7rad/s 2s 时,3.330.83法向和切向加速度分别为名师归纳总结 a nR282.4 m/s2aR 7.8 m/s2第 8 页,共 11 页1-18 某雷达站对一个飞行中的炮弹进行观测,发觉炮弹达最高点时,正好位于雷达站的上方, 且速率为 v ,高度为 h ,求在炮弹此后的飞行过程中,在t 以 s 为单位 时刻雷达的观测方向与铅垂直方向之间的夹角及其变化率d雷达的转动角速度 dt解：以雷达位置为坐标原点,取坐标系xoy 如下列图,依据题意,炮弹的运动方程为xv tyh12 g t2可解得：cotyh1gt2（ 1 ）就2 vtxarccoth1gt22 vt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆将（ 1）式两边对 t 求导数,得csc 2 d gt 2h2 12 gt 2dt vt1 2 1 2 1 2就有 ddt vt h2 csc 2 gt2 vt 2 hcot 22 gt1 h v h1 gt 2 2 gt2v t 2 221-19 汽车在大雨中行驶,车速为 80km/h ,车中乘客观察侧面的玻璃上雨滴和铅垂线成 60角,当车停下来时,他发觉雨滴是垂直下落的,求雨滴下落的速度 . 解：取车为运动参考系 'S ,雨滴相对于车的速度为 v ps',雨滴对地地速度为 v ps,车对地的速度为 v 'ss,相对运动速度合成定理为v ps v ps ' v ss ' 见如下列图的速度合成图,就有1000v ps v ps ' cot 60 80 0.577 12.8 m/s 36001-20 一升降机以加速度 1.22m/s 2 上升,当上升速度为 2.44 m/s 2 时,有一螺帽自升降机的天花板松落, 天花板与升降机底面相距2.74m,运算：1螺帽从天花板落究竟面所需的时间；2 螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离 . 解：以升降机外固定柱子为参考系,竖直向上为y 坐标轴正向,螺帽松落时升降机底面位置为原点 . 螺帽从 0y 2.74m 处松落,以初速度 v 2.44m/s 做竖直上抛运动,升降机底面就从原点以同样的初速度做向上的加速运动,加速度 a 1.22m/s 2 ,它们的运动方程分别为螺帽：y 1 y 0 v t 1gt 2底面：y 2 v t 1at 22 2螺帽落究竟面上时,y 1 y ,由以上两式得 t 0.705s （2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为sy 0y 1v t1gt20.715m v吹来（对地面） ,问骑车者遇到风速及21-21 某人骑自行车以速率v 向西行使,北风以速率风向如何？名师归纳总结 解：地为静系E,人为动系M ；风为运动物体P 第 9 页,共 11 页肯定速度：vPEv,方向向南；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆牵连速度：vMEv,方向向西；vPM求相对速度v PM？方向如何？v PEvPMv MEv MEv PEv45°vPMv2v22 vMPPE方向：来自西北；或东偏南45° ；1-22 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮着蓬的垂直投影后2m的甲板上, 蓬高为 4m,但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m,如雨滴的速度大小为8m/s,求轮船的速率 .解： 依题意作出矢量图如题 1-22 所示图 1-22 v 雨船v 雨v 船v 雨v 雨船v 船由图中比例关系可知1v 船 v 雨 8 m s1-23 飞机自 A 城向北飞到 B 城,然后又向南飞回到 A城,飞机相对于空气的速度为 v,而空气相对于地面的速度为 u ,A、B 之间的距离为 L ,假如飞机相对于空气的速率保持不变,试证： 1 当空气静止的 u 0 时,飞行一个来回的时间为 t 0 2 L v ； 2 当空气的速度2由南向北时,飞行一个来回的时间为 t 1 t 0 /1 u2 ；3 当空气的速度由东向西,飞行一v2个来回的时间为 t 2 t 0 / 1 u2v解：（ 1）当空气静止时,t 往 t 返 L 就 t 0 t 往 t 返 2Lv v（2）空气对地面的速度 u 由南向北时, 飞机相对空气的相对速度去时与 u 同向,回来时与 u反向,依据相对运动速度合成定理,飞机来回速率分别为名师归纳总结 v 往vu v 返vu第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆就来回飞行的时间t1t往t返vLuvLuv2Lv21t022u / （3）空气对地面的速度由东向西时v 往v2u2,v 返v2u2来回飞行的时间名师归纳总结 t 2t往t 返2 Lu21t 0第 11 页,共 11 页v 2 / 2- - - - - - -