2022年圆锥曲线与方程知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、相关学问点：1、曲线与方程圆锥曲线与方程 重点、难点、易错点分析（1）曲线与方程的概念（2）曲线与方程的判定问题（3）曲线的对称性（4）已知方程画曲线（5）坐标法与解析几何的讨论对象（6）已知曲线求方程 直接法相关点法（代入法）交轨法定义法 待定系数法2、椭圆（1）椭圆的定义（2）椭圆的标准方程（3）椭圆的几何性质（4）椭圆的定义的应用（5）利用待定系数法求椭圆的标准方程3、双曲线（1）双曲线的定义（2）双曲线的标准方程（3）双曲线的简洁几何性质（4）双曲线的定义的应用（5）双曲线的标准方程的求法 4、抛物线（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的简洁几何性质5、直线与圆锥曲线（1）直线与圆锥曲线的位置关系（2）直线与圆锥曲线相交时的弦长公式（3）弦中点问题（4）直线与圆锥曲线相交的问题（5）定值与最值问题题型：一、曲线与方程1、曲线与方程的概念名师归纳总结 例 1：命题“ 曲线C 上的点的坐标都是方程fx,y=0 的解” 是正确的,以下命题中正确选项（）A 、方程 fx,y=0 的曲线是 C B、方程 fx,y=0 的曲线不肯定是C 第 1 页,共 18 页C、fx,y=0 是曲线 C 的方程D、以方程 fx,y=0 的解为坐标的点都在曲线C 上例 2：设方程 fx,y=0 的解集非空,假如命题“ 坐标满意方程fx,y=0 的点都在曲线C 上” 是不正确的,就以下命题正确选项（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A 、坐标满意方程 fx,y=0 的点都不在曲线 C 上B、曲线 C 上的点的坐标都不满意方程 fx,y=0 C、坐标满意方程 fx,y=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上D、肯定有不在曲线 C 上的点,其坐标满意 fx,y=0 2、曲线与方程的判定问题例 1：设 A2 ,0,B0,2,能否说线段AB 的方程是 A+B-2=0 ？为什么？例 2：以下 4 个点中,在曲线xy=1 上的是（）D、（0,0）A、（ -1,1）B、（1,-1）C、（ -1,-1）3、曲线的对称性例 1：曲线 fx,y=0 关于直线 x-y-3=0 对称的曲线方程为（）D、fy+3,x-3=0 A 、fx-3,y=0 B、fy+3,x=0 C、fy-3,x+3=0 例 2：方程1|x|1y表示（）D、一条射线和一条线段A、两条线段B、两条直线C、两条射线4、已知方程画曲线 例 1：如图 2-1-1 所示的图形的方程与图中曲线的方程对应正确选项（ 例 2：方程 x242y2 420 表示的图形是 _例 3：画方程 |x|y|1 表示的曲线例 4：求方程xy1x10所表示的曲线；5、坐标法与解析几何的讨论对象 1）、坐标法：借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满意某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点 的坐标（ x,y=0 表示曲线,通过讨论方程的性质间接地来讨论曲线的性质,这就叫坐标法；2）、由坐标法讨论几何图形的学问所形成的学科叫做解析几何,解析几何讨论的主要问题是：依据已知条件,求出表示曲线的方程；3）、坐标法解题的基本思路通过曲线的方程,讨论曲线的性质；几何问题直角坐标系代数问题转化代数方程几何结论转化代数结论几何意义名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 1：证明：平面内任意一点到矩形的一对对顶角的距离的平方和等于这个点到另一对对顶角顶点的距离的平方和；6、已知曲线求方程求曲线方程一般有一下五个步骤：建立适当的直角坐标系,并用 x, y 表示曲线上任意一点 M 的坐标；在建立坐标系时应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素,使解题更加简化；（建系）写出适合条件 P 的的点 M 的集合 P M P M ；（列式）用坐标表示 PM ,写出方程 f x , y 0；（代换）化简方程 f x , y 0（化简）证明中方程的解为坐标的点都在曲线上；（证明）例 1：A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动；已知 BC 4,A 到 l 的距离为 3,求 ABC 的外心的轨迹方程；答案：解法一（直接法）：建立平面直角坐标系,使x 轴与 l 重合, A 点在 y 轴上,就点A（0,3）；设 ABC 的外心为 P（x,y P 在 BC 的垂直平分线上,Bx2 , 0,Cx,2 0；P 也在 AB 的垂直平分线上,PA2PB,22y22即x2y3化简,得x6y50这就是所求轨迹方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,0 3；解法二：（参数法）：建立同解法一中平面直角坐标系,得A由消去设 BC 边的垂直平分线的方程为xt,就点 B 的坐标为t,2 0,于是 AB 的中点是t22,3,2从而 AB 的垂直平分线方程为y3t32xt222t,得2 x6y50,即为所求；例 2：设圆 C：x12y21,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程；答案：解法一（直接法）故设 OQ 为过 O 点的任意一条弦,Px ,y为其中点,0x1；就CPOQ.因 OC 中点为M1,0,2 y1,由圆的范畴知2MP1 OC 21,得方程x12224解法二（定义法）OPC90,10,为圆心, OC 为直径的圆上,由圆的方程得：动点 P 在以点 M2x122 y10x1；24解法三（代入法）设Qx 1, y 1,就2x1x 1,xx 12x又x 1122 y 112yy1y 12y2x122y210解法四（参数法）名师归纳总结 设动弦 OQ 的方程为ykx,代入圆的方程得第 4 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：已知 ABC 中,A20,学习必备欢迎下载y3 x21上移动,求 ABC 的重心的、B0,-2,第三个定点C 在曲线轨迹方程；二、椭圆1、椭圆的定义名师归纳总结 平面内与两定点F 、F2的距离的和等于常数2 a2 aF 1F 2的动点 P 的轨迹叫做椭圆；第 5 页,共 18 页即：PF 1PF 22 a其中两定点F 、F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离F 1F 22c2 c2 a叫做椭圆的焦距；P 为椭圆的动点；长轴为长等于 2a； 短轴为长等于2b；例1：以下说法中正确选项（）A、已知F -4 ,0F 4 , 0, 到F ,F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B、已知F -4 ,0F 4 , 0, 到F ,学习必备欢迎下载6的点的轨迹是椭圆；F 两点的距离之和为C、到 1F -4 ,0 F 4,0两点的距离之和等于点 M5,3到 F ,F 的距离之和的点的轨迹是椭圆；D、到点 F -4 ,0 ,F 4 ,0距离相等的点的轨迹是椭圆；例2：平面一动点 M 到两定点 F 、F 的距离之和为常数 2 a,就点 M 的轨迹为（）；A、椭圆 B、圆 C、无轨迹 D、椭圆或线段或无轨迹2、椭圆的标准方程（1）这里的标准指中心在原点,对称轴为坐标轴；（2）标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴；2 2焦点在 x 轴时标准方程为 x2 y2 1 a b 0；a b2 2y x焦点在 y 轴时标准方程为 2 2 1 a b 0a b为了运算便利,有时将方程写为 mx 2ny 21 m ,0 n 0 , m n（标准方程的统一形式）例 1：椭圆的两个焦点坐标分别为 F 1 ,8 0 , F 2 8 0, ,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20,就此椭圆的标准方程为（）2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x yA . 1 B . 1 C . 1 D . 136 1 0 0 400 336 100 36 20 12例 2：已知中心在原点 O 的椭圆 C 经过点 A （2,3）,且点 F（2,0）为其右焦点；求：椭圆 C 的方程；例 3：在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x2y21ab0的左焦点为F 10,1,且点P0 1,a2b2名师归纳总结 在C 上；求椭圆C 的方程；第 6 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 4：求适合以下条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-12,0）,（12,0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26；（2）焦点在坐标轴上,且经过点A32,和B23 1,（ 3）椭圆的几何性质名师归纳总结 标准方程x2y21ab0y2x2A 21ab0第 7 页,共 18 页22a2b2ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图形A 1F 1b学习必备欢迎下载F 1a c F 2A 2F2A 1范畴a x a , b y b b x b , a y a对称性 对称轴： x 轴, y 轴；对称中心：坐标原点性 顶点 A 1 a 0, , A 2 a , 0 A 1 ,0 a , A 2 ,0 a质 轴长轴 A 1A 2 的长为 2 a,短轴 B 1B 2 的长为 2 b B 1 0 , b , B 2 0 , b B 1 b 0, , B 2 b , 0焦距F 1 F 2 2 c离心率 ce 0 1,aabc 的关系 2 2 2c a b例 1：已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴一个端点的距离等于 9,就椭圆 E 的离心率名师归纳总结 - - - - - - -等于（）A .3B .4C.5D.12551313例 2：设椭圆x2y21m0 ,n0的右焦点与抛物线2 y8x的焦点相同,离心率为1 ,就此椭圆 2m22n的方程为（）A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y211216161248646448例 3：已知椭圆x22 y1ab0的长、短轴端点分别为A、B,从今椭圆上一点M （在 x 轴上方）a2b2向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F ,AB /OM. 求椭圆的离心率e；第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 4）椭圆的定义的应用例 1：一个动圆与已知圆O 1:x32y21外切,与圆O 2:x32y281 内切,试求动圆圆心的轨迹方程；例 2：求过点 A（2,0）且与圆2 x4x2 y320内切的圆的圆心的轨迹方程；（5）利用待定系数法求椭圆的标准方程名师归纳总结 例 1：在直角坐标系xOy 中,点 P 到两点0 ,3、0,3的距离之和等于4,设点 P 的轨迹为 C,直线第 9 页,共 18 页ykx1与 C 交于 A、B 两点 . （ 1）写出 C 的方程：（2）如OAOB,求 k 的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、双曲线（1）双曲线的定义平面内与两个定点F 、F 的距离的差的肯定值等于常数小于F 1F 2且不等于零）的点的轨迹叫双曲线；两定点F、F 2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离F 1F 2叫做双曲线的焦距；2）例 1：已知定点F 12 0,、F 22,在满意以下条件的平面内,动点P 的轨迹为双曲线的是（A .PF1PF 23B.PF 1PF24C.PF 1PF25D.PF 1PF42.双曲线的标准方程（1）这里的标准指中心在原点,对称轴为坐标轴；（2）标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴；焦点在 x 轴时标准方程为x2y21a,0b0；a2b2焦点在 y 轴时标准方程为y2x21a,0b0a2b2例 1：k>1,就关于 x,y 的方程1kx2y2k21所表示的曲线是（）B.焦点在 y 轴上的椭圆A.焦点在 x 轴上的椭圆C.焦点在 Y 轴上的双曲线（3）双曲线的简洁几何性质D.焦点在 x 轴上的双曲线名师归纳总结 标准方程x2y21a0,b0y2x21a0,b0第 10 页,共 18 页2222abab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图形范畴xa 或 xaya 或 ya性对称性对称轴： x 轴, y 轴；对称轴： x 轴, y 轴；顶点对称中心：坐标原点对称中心：坐标原点A 1a 0,A 2a ,0A 1,0a,A 2,0a质渐近线ybxyax实虚轴ab线段A 1A 2叫做双曲线的实轴,它的长A 1A 22 a；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴, 它的长B 1B 22 b；a 叫做双曲线的实半轴,b 叫做双曲线的虚半轴；离心率2,焦点是ec a1 ,其中ca2b2）abc 的关系2 ca22 bca,0cb0（例 1：已知双曲线的离心率是4 0,4 0,就双曲线方程为A.x2y2x21y21B.x2y21C. x23y21D.x2y21412124106610例 2：与双曲线有公共的渐近线,且过,32,求双曲线的标准方程；916（4）双曲线的定义的应用例 1：已知动圆M 与圆C 1:x422 y2外切,与圆C 2:x42y22内切,试求动圆圆心 M 的轨迹方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：已知双曲线的中心在原点,焦点F 1, F 2学习必备欢迎下载2 ,且且过点,410. 在坐标轴上,离心率为（1）求双曲线方程；（2）如点 M （3,m）在双曲线上,求证：MF 1MF20（5）利用待定系数法求双曲线的标准方程假如明确双曲线中心在原点,焦点在y 轴上,就双曲线方程可设为y2x21ab20 ,b0a2b2然后由条件求a,b；x 轴上,就双曲线方程可设为x2y2假如明确双曲线中心在原点,焦点在221a0,b0ab然后由条件求a,b；（焦点在哪个轴上） ,“ 在定量” （确定2 a 、的值）；解决此类问题的常用方法是“ 先定型”假如已知双曲线的方程为标准式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为2 mx2 ny1（m、n 同号）,然后由条件求m、n. A 的纵坐标为4,求此双,235和P 247,4两点,求双曲线的标准方程；例 1：已知双曲线经过P 123例 2：设双曲线与椭圆x2y21有相同的焦点, 且与椭圆相交,一个焦点2736曲线的方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、抛物线（1）抛物线的定义平面内到肯定点 F 和肯定直线 l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线,定点 F 不在定直线 l 上；例 1：过点 A3,0 且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为（）A.圆 B、椭圆 C、直线 D、抛物线例 2：如点 P 到直线 x 1 的距离比它到点（2,0）的距离小 1,就点 P 的轨迹为（）A.圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线（2）抛物线的标准方程y22pxp0y22pxp0x22pyp0x22pyp0例 1：已知抛物线y22x的焦点是 F,点 P 事抛物线上的动点,又有点A（3,2）；（ 1）求PAPF的最小值,并求出取最小值时P 点的坐标；（ 2）求点 P 到点B11,的距离与点P 到直线x1的距离之和的最小值；22例 2：设 P 是曲线y24x上的一个动点；名师归纳总结 （1）求点 P 到点 A-1,1 的距离与点P 到直线x1的距离之和和最小值；第 13 页,共 18 页（2）如 B3 ,2）,点 F 是抛物线的焦点,求PBPF的最小值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）抛物线的简洁几何性质标准方程y22pxp0y22pxp0x22pyp0x22pyp0图形对称轴X 轴X 轴y 轴y 轴性焦点坐标2 2xFp,0Fxp,0F0 p 20pF0 ,pp222准线方程xp 2PF0pPFyp 2yy0p22焦半径PFx0px0pPFy质方程 范畴2222xy0y0x0顶点坐标）O（ 0,0）离心率 e e1的准线方程是（例 1：抛物线y名师归纳总结 A.x1B.x1 8C.y1D.y1第 14 页,共 18 页228例 2：抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,其上有一点A4 ,m）,其到准线的距离为6,就 m= - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：已知圆x22 y6x70与抛物线学习必备px欢迎下载0的准线相切,就p=（）y22p五、直线与圆锥曲线（1）直线与圆锥曲线的位置关系例 1：在平面直角坐标系xOy 中,经过点（ 0,2 ）且斜率为k 的直线 l 与椭圆x2y21有两个不同2的交点 P 和 Q；（ 1）求 k 的取值范畴；（ 2）设椭圆与x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A、B 是否存在常数k,使的向量OPOQ与 AB 共线？假如存在,求k 的值；假如不存在,请说明理由；（2）直线与圆锥曲线相交时的弦长公式y例 1：已知两定点F 120,F 220,满意条件PF 2PF 12的点 P 的轨迹是曲线E,直线kx1与曲线 E 交于 A、B 两点；（1）求 k 的取值范畴；（2）假如AB63,且曲线 E 上存在点 C,使OAOBm OC,求 m 的值和ABC 的面积 S；（3）弦中点问题名师归纳总结 例 1：在椭圆2 x42 y16中,求通过点M （2, 1）且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长；第 15 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：已知双曲线的方程为x2y21学习必备欢迎下载B1,1平分的弦？假如存在,求出弦所在的,试问：是否存在被点直线方程；假如不存在,说明理由；（4）直线与圆锥曲线相交的问题例 1：已知椭圆C:x2y21ab0过点1 ,3,且离心率e1a2b222（1）求椭圆方程；名师归纳总结 G（2）如直线l:ykxmk0与椭圆交于不同的两点M 、N,且线段 MN 的垂直平分线过定点第 16 页,共 18 页1,0,求 k 的取值范畴；8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 2：（动弦过定点问题）已知椭圆 C 的中点在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为 1；（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）如直线l :ykxm与椭圆 C 教于 A、 B 两点（ A,B 不是左右定点） ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点；求证：直线（5）定值与最值问题l 过定点,并求出该定点的坐标；例 1：已知,椭圆C 过点 A,13,两个焦点为（-1,0）,（1,0）；2（1）求椭圆 C 的方程；名师归纳总结 （2）E、F 是椭圆 C 上的两个动点,假如直线AE 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,第 17 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载并求出这个定值；例 2：已知椭圆x2y21两焦点分别为F 、F2, P 是椭圆在第一象限的图像上一点,并满意24PF 1PF 21,过 P 作倾斜角互补的两条直线PA、PB 分别交椭圆于A 、B 两点；（1）求 P 点坐标；（2）求 PAB 面积的最大值；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页