2022年二次函数的最值问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载典型中考题（有关二次函数的最值）屠园试验 周前猛一、挑选题1 已知二次函数y=a（ x-1）2+b 有最小值1,就 a 与 b 之间的大小关 A. a<b B.a=b C a>b D 不能确定答案： C 2当 2 xl 时,二次函数 y=- （ x-m ）2+m2+1 有最大值 4,就实数 m 的值为（）A、- 7B、3或 -3C、 2或-3D2或-3 或- 744答案： C 当 2xl时,二次函数 y=- （ x-m ）2+m2+1 有最大值 4,二次函数在2xl上可能的取值是x= 2 或 x=1 或 x=m. x7265此时 ,它当 x=2 时,由y=- （ x-m ）2+m2+1 解得 m= - 7 4,y416在 2xl的最大值是65,与题意不符 . 2+5 ,它在 2 xl 的最大值16当 x=1 时,由y=- （ x-m ）2+m2+1解得 m=2 ,此时 y=-（x-2）是 4,与题意相符 . 当 x= m 时,由4=- （x-m ）2+m2+1 解得m=33 ,当 m= -3 此时 y=- （ x+3 ）2+4.它在 2xl的最大值是4,与题意相符；当m=,y=- （x-3 ）2+4 它在 2 x l 在 x=1 处取得,最大值小于4,与题意不符 . 综上所述,实数m 的值为 2或-3. 应选 C1 3 已知 0 x,那么函数 2y=-2x 2+8x-6 的最大值是（）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案： C 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）精品资料欢迎下载x=2,且在 x2 上 y 随 x 的增大而2+2该抛物线的对称轴是增大又 0x1 2,当 x= 1 2时, y 取最大值, y 最大=-2（1 -2）2+2=-2.5应选： C24、已知关于x 的函数. 以下结论： 存在函数,其图像经过（1,0）点； 函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； 当时, 不是 y 随 x 的增大而增大就是y 随 x 的增大而减小； 如函数有最大值,就最大值必为正数,如函数有最小值,就最小值必为负数；真确的个数是（）C 3 个D、4 个A,1 个B、 2 个答案： B 分析：将（ 1,0）点代入函数,解出 k 的值即可作出判定；第一考虑,函数为一次函数的情形,从而可判定为假；依据二次函数的增减性,即可作出判定；当 k=0 时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当 出顶点的纵坐标表达式,即可作出判定 . k 0 时,函数为抛物线,求解 ： 真 , 将 （ 1, 0） 代 入 可 得 ： 2k- （ 4k+1 ） -k+1=0 ,解 得 ： k=0 运 用 方 程 思 想 ； 假 , 反 例 ： k=0 时 , 只 有 两 个 交 点 运 用 举 反 例 的 方 法 ； 假 , 如 k=1 ,-b=5, 当 x 1 时 , 先 减 后 增 ； 运 用 举 反 例 的 方 法 ；2a4 真 , 当 k=0 时 , 函 数 无 最 大 、 最 小 值 ；k 0 时 , y最 =4ac-b2=-2 24k +1,4a8k 当 k 0 时 , 有 最 小 值 , 最 小 值 为 负 ；当 k 0 时 , 有 最 大 值 , 最 大 值 为 正 运 用 分 类 讨 论 思 想 二、填空题：1、如图,已知；边长为4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中 AF=2, BF=l,在 AB上的一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积,就矩形PNDM 的面积最大值是名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载答案： 12 2、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是答案： 4、4,8 解：设直角三角形得始终角边为x,就,另一边长为8-x ；设其面积为S. S= x· 8-x0<x<8. 配方得S=- x2-8x 2+8 =- x-4当 x=4 时, S 最大 =8. 及两直角边长都为4 时,此直角三角形的面积最大,最大面积为8. 3、函数y=24x-x2（0x4）的最大值与最小值分别是答案： 2,0 解：4x-x2最小值为 0,当 4x-x 2 取最大值时4x-x2最大,即 x=2 时,4x-x2最大为 4,所以,当 x=0 时, y 最大值为 2,当 x=2 时, y 取最小值为0 4、已知二次函数y=x2+2x+a （0x 1）的最大值是3,那么 a 的值为答案： 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载x=1 时最大解：二次函数y=x2+2x+a 对称轴为 x=-1,当 0x1 时 y 随 x 的增大而增大,当值为 3,代入 y=x2+2x+a 得 a=0. 5、如图,在ABC中, BC=5,AC=12,AB=13,在边 AB、AC 上分别取点D、E,使线段DE将 ABC分成面积相等的两部分,就这样线段的最小长度三、解答题：1 某产品第一季度每件成本为 50元,其次、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x 请用含x的代数式表示其次季度每件产品的成本； 假如第三季度该产品每件成本比第一季度少 9.5元,试求 x 的值 该产品其次季度每件的销售价为 60 元,第三季度每件的销售价比其次季度有所下降, 如下降的百分率与其次、 第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于 48元,设第三季度每件产品获得的利润为y元,试求y与x的函数关系式,并利用函数图象与性质求 y 的最大值（注：利润 销售价 成本）2解：（1）50 1 x 50 1 x 50 9 5. 解得 x 0 . 1（3）60 1 x 48 , 解得 x .0 2 而 x 0,0 x 0 2.2而 y 60 1 x 50 1 x250 x 40 x 10250 x 0 . 4 18当 x .0 4 时,利用二次函数的增减性,y随x的增大而增大,而 0 x 0 . 2,当 x .0 2 时,y最大值 18（元）说明：当自变量取值范畴为体体实数时,二次函数在抛物线顶点取得最值,而当自变量取值范畴为某一区间时,二次函数的最值应留意以下两种情形：如抛物线顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值；如抛物线的顶点不在该区间内, 就区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、如图,二次函数的图象经过点精品资料3欢迎下载4,该图象在x 轴上截7,且顶点 C 的横坐标为D0,9得的线段 AB 的长为 6. 求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD最小,求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q,使 QAB 与 ABC 相像？假如存在,求出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x h）2+k 顶点 C的横坐标为 4,且过点（ 0,）y=a（x 4）2+k,=16a+k 又对称轴为直线 x=4,图象在 x 轴上截得的线段长为 6 A（1,0）,B（7,0）0=9a+k由解得a=,k=y=（x 4）2二次函数的解析式为：（2）点 A、B 关于直线 x=4 对称PA=PB PA+PD=PB+PDDB 当点 P 在线段 DB上时 PA+PD取得最小值DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M PM OD, BPM= BDO,又 PBM= DBO BPM BDO 名师归纳总结 点 P 的坐标为（ 4,）第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）由（ 1）知点 C（ 4,）,精品资料欢迎下载又 AM=3,在 Rt AMC 中, cotACM=, ACM=60° ,AC=BC, ACB=120°当点 Q 在 x 轴上方时,过 Q 作 QN x 轴于 N 假如 AB=BQ,由 ABC ABQ 有 BQ=6, ABQ=120° ,就 QBN=60°QN=3,BN=3, ON=10,此时点 Q（10,）,假如 AB=AQ,由对称性知 Q（ 2,）当点 Q 在 x 轴下方时,QAB 就是 ACB,此时点 Q 的坐标是（ 4,）,经检验,点（ 10,）与（2,）都在抛物线上综上所述,存在这样的点 Q,使 QAB ABC 点 Q 的坐标为（ 10,）或（2,）或（ 4,）3、如图,抛物线经过 A 4 0,B 10,C 0,2 三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点,过 P 作PM x轴,垂足为 M,是否存在 P点,使得以 A,P,M 为顶点的三角形与OAC 相像？如存在,恳求出符合条件的点 P的坐标；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）在直线 AC上方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D 的坐标第 6 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）该抛物线过点精品资料欢迎下载C（0, -2）,可设该抛物线的解析式为 y=ax 2+bx-2,将 A（4,0）,B（1,0）代入,得,解得,此抛物线的解析式为；（2）存在,如图,设 P 点的横坐标为m,就 P点的纵坐标为,当 1m4 时, AM=4-m , COA=PMA=90° ,当 时, APM ACO,即 4-m=2 ,解得 m1=2,m 2=4（舍去）,P（2,1）；当 时, APM CAO,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即,精品资料欢迎下载解得 m1=4,m 2=5（均不合题意,舍去） ,当 1m4 时, P（2,1）,类似地可求出当 m>4 时, P（5, -2）,当 m<1 时, P（-3,-14）,综上所述,符合条件的点P 为（ 2,1）或（ 5,-2）或（ -3,-14）；（3）如图,设 D 点的横坐标为 t（0t4）,就 D 点的纵坐标为,过 D 作 y 轴的平行线交 AC于 E,由题意可求得直线 AC的解析式为,E点的坐标为,当 t=2 时, DAC的面积最大,D（2,1）；4 如图,矩形ABCD中, AB=3,BC=4,线段 EF 在对角线AC上, EGAD,FHBC,垂足分别是 G,H,且 EG+FH=EF（1）求线段 EF的长；名师归纳总结 （2）设 EG=x, AGE与 CFH的面积和为S,写出 S关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值第 8 页,共 15 页范畴,并求出S的最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5如图,点 C 是线段 AB 上的任意一点 C点不与 A、B 点重合 ,分别以 AC、BC为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与 CD 相交于点 M, BD与 CE相交于点N1求证： MN AB；名师归纳总结 2如 AB 的长为 l0cm,当点 C在线段 AB 上移动时,是否存在这样的一点C,使线段 MN 的第 9 页,共 15 页长度最长 .如存在,请确定C点的位置并求出MN 的长；如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（1）由题中条件可得 ACE DCB,进而得出 ACM DCN,即 CM=CN, MCN 是等边三角形,即可得出结论；（2）可先假设其存在,设 解答AC=x,MN=y,进而由平行线分线段成比例即可得出结论（1）证明：ACD与 BCE是等边三角形,AC=CD,CE=BC, ACE=BCD,在 ACE与 DCB中,AC=CD ACE=BCD CE=BC ACE DCB（SAS）, CAE=BDC,在 ACM 与 DCN中, CAE=BDC AC=CD ACM=DCN ACM DCN,CM=CN,又 MCN=180° -60 °-60 °=60°, MCN 是等边三角形, MNC= NCB=60°即 MN AB；（2）解：假设符合条件的点C存在,设 AC=x,MN=y,6、如图,在ABC中, A90° ,BC10, ABC 的面积为 25 ,点 D 为AB 边上的任意一点 D 不与 A 、B 重合 ,过点 D 作 DE BC ,交 AC 于点 E 设DEx以DE为折线将ADE 翻折,所得的A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为 y. 名师归纳总结 （1）用 x 表示.ADE的面积 ; 第 10 页,共 15 页（2）求出0x 5时 y 与 x 的函数关系式；（3）求出5x 10 时 y 与 x 的函数关系式；（4）当x取何值时,y的值最大？最大值是多少？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载AB C解:1 DE BC ADE=B,AED=C S ADE DE 2 ADE ABC S ABC BCS ADE 1 x 2即 42 BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为 5 y S ADE 1 x 2当 0x 5 时 4（3）5 x 10 时,点 A' 落在三角形的外部 , 其重叠部分为梯形1 x 2S A'DE=S ADE= 41xDE边上的高 AH=AH'= 2由已知求得 AF=5 A'F=AA'-AF=x-5 由 A'MN A'DE知SA'MNA'F2522中3x210x25SA'DEA'HSA'MNx52y1x2x44（4）在函数y1 x 425名师归纳总结 0 x5 当 x=5 时 y 最大为：4第 11 页,共 15 页在函数y3x210x25中4当xb20252a3时 y 最大为：325252543当x203时,y 最大为：3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载7、如图,抛物线y1x2bx22且 A（1,0）；（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标与 x 轴交于 A、B 两点,与 Y 轴交于 C点,Y （2）判定 的外形,证明你的结论；（3）点（ m,0）是轴上的一个动点,22A E D B X 当 +的值最小时,求m的值O M 解：（1）将 A（1,0）代入y1x2bx2得b3,所以抛物线的解析式y1x23 2xC 22配方得：y1x3225,所以顶点 D3 2,252288（2）求出 AC= 5 ,BC= 20 ,而 AB=5 AC2BC2AB2,故 为RT1 2,5 2）和 B（3）作点 C关于 X 轴的对称点 E（ 2 ,0）,连接 DE交 X 轴于点 M,通过两点式可求得直线DE的解析式：y41 x 122,当 y =0 时,解得 x =2441（24 ,0）即 m= 2441 418如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax 2+bx+6（a 0）相交于 A（4,m）,点 P 是线段 AB上异于 A、B 的动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛 物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点,使线段 PC的长有最大值,如存在,求出这个最大值；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）求 PAC为直角三角形时点P的坐标第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载分 析 ：（ 1） 已 知 B（ 4, m） 在 直 线 y=x+2上 , 可 求 得 m 的 值 , 抛 物 线 图 象 上 的 A 、 B两 点 坐 标 ,可 将 其 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中 ,通 过 联 立 方 程 组 即 可 求 得 待 定 系 数 的 值 （ 2）要 弄 清 PC 的 长 ,实 际 是 直 线 AB 与 抛 物 线 函 数 值 的 差 可 设 出 P 点 横 坐 标 ,根 据 直 线 AB 和 抛 物 线 的 解 析 式 表 示 出 P、 C 的 纵 坐 标 , 进 而 得 到 关 于 PC 与 P 点 横 坐 标 的 函 数 关 系 式 , 根 据 函 数 的 性 质 即 可 求 出 PC 的 最 大 值 （ 3） 当 PAC 为 直 角 三 角 形 时 , 根 据 直 角 顶 点 的 不 同 , 有 三 种 情 形 , 需 要 分 类 讨 论 , 分 别 求 解 上 ,解 ： （ 1） B（ 4, m ） 在 直 线 线 y=x+2 m=4+2=6 , B （ 4, 6） , A （1 2,5 2） 、 B （ 4, 6） 在 抛 物 线 y=ax2+bx+6上 ,5 2=（1 2）2 a+1 2b+6 ,6=16a+4b+6解 得 a=2 , b=-8 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=2x2-8x+6 2-8n+6 ） ,（ 2） 设 动 点 P 的 坐 标 为 （ n, n+2 ） , 就 C 点 的 坐 标 为 （ n, 2n PC= （ n+2 ） -（ 2n2-8n+6 ） ,=-2n2+9n-4 ,=-2 （ n-9）2+49,48 PC 0, 当 n=9 4时 , 线 段 PC 最 大 且 为49 8（ 3） PAC 为 直 角 三 角 形 ,i ） 如 点 P 为 直 角 顶 点 , 就 APC=90°由 题 意 易 知 , PC y 轴 , APC=45°, 因 此 这 种 情 形 不 存 在 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载ii ） 如 点 A 为 直 角 顶 点 , 就 PAC=90°如 答 图 3-1 , 过 点 A（1,5） 作 AN x 轴 于 点 N , 就 ON=1, AN=52 2 2 2过 点 A 作 AM 直 线 AB ,交 x 轴 于 点 M ,就 由 题 意 易 知 , AMN 为 等 腰 直 角 三角 形 , MN=AN=5, OM=ON+MN=+5=3 ,22 M （ 3, 0） 设 直 线 AM 的 解 析 式 为 ： y=kx+b ,就 ：1 k+b= 5, 3k+b=0 , 解 得 k=-1 , b=3 2 2 直 线 AM 的 解 析 式 为 ： y=-x+3 又 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=2x 2-8x+6 联 立 式 , 解 得 ： x=3 或 x=12（ 与 点 A 重 合 , 舍 去 ） C（ 3, 0） , 即 点 C、 M 重 合 当 x=3 时 , y=x+2=5, P1（ 3, 5） ；iii ） 如 点 C 为 直 角 顶 点 , 就 ACP=90° y=2x2-8x+6=2 （ x-2 ）2-2 , 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2 名师归纳总结 如 答 图 3-2 , 作 点 A（1 2,5 2） 关 于 对 称 轴 x=2 的 对 称 点 C,第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 点 C 在 抛 物 线 上 , 且 C（7 2精品资料欢迎下载,5 2）名师归纳总结 当 x=7 2时 , y=x+2=11 2,11 2） ；第 15 页,共 15 页 P2（7,11 2） 2 点 P1（ 3, 5） 、 P2（7 2,11 2） 均 在 线 段 AB 上 , 综 上 所 述 , PAC 为 直 角 三 角 形 时 , 点 P 的 坐 标 为 （ 3, 5） 或 （7 2- - - - - - -