2022年一元二次不等式及其解法学案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学案 34 一元二次不等式及其解法 自主梳理1一元二次不等式的定义只含有一个未知数,且未知数的最高次数是_的不等式叫一元二次不等式2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式 >0 0 <0 b24ac 二次函数 yax 2 bxc a>0 的图象有两相异实根一元二次方程b±x1,2有两相等实根没有实根ax2bxc0 b2 4acx1x2 a>0 的根2a_ x1<x2一元二a>0 x| x<x1, x| x _ 次不等或 x>x22 式 axa<0 x| x1<x<x2_ bxc>0 的解集自我检测 12022· 广州模拟 已知 p：关于 x 的不等式 x 就 p 是 q 的 22axa>0 的解集是 R,q：1<a<0,A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件x 24x6,x0,2设函数 f x就不等式 f x>f 1 的解集是 x6,x<0,A 3,1 3 , B 3,1 2 ,C 1,1 3 , D , 3 1,3 3已知不等式 x 22x3<0 的解集为 A,不等式 x 2 x6<0 的解集是 B,不等式 x 2 axb<0 的解集是 AB,那么 ab 等于 A 3 B 1 C 1 D3 42022· 厦门月考 已知 f x ax 2xc>0 的解集为 3,2 ,就 yf x 的图象是 5当 x1,2 时,不等式 x2mx4<0 恒成立, 就 m的取值范畴为 _. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -探究点一 一元二次不等式的解法例 1 解以下不等式：21 x 22x3>0；29 x 26x10.变式迁移 1 解以下不等式：12 x 24x3<0；2 3x 22x80；38 x116 x 2. 探究点二含参数的一元二次不等式的解法22xa<0. 例 2已知常数 aR,解关于 x 的不等式 ax变式迁移 2 解关于 x 的不等式 ax2 a 1 x1<0. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -探究点三 一元二次不等式恒成立问题例 3 2022· 巢湖月考 已知 f x x恒成立,求 a 的取值范畴22ax2 aR ,当 x 1, 时,f x a变式迁移 3 1 关于 x 的不等式4xm x 22x3<2 对任意实数x 恒成立, 求实数 m的取值范2围2 如不等式 x2px>4xp3 对一切 0p4 均成立,试求实数x 的取值范畴转化与化归思想的应用例12 分 已知不等式ax 2bxc>0 的解集为 , ,且 0< < ,求不等式cxbxa<0 的解集1三个“ 二次” 的关系：二次函数是主体,一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情形,一般争论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来争论,而争论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系, 通过二次函数的图象及性质来解决一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根,也是相应的二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标, 即二次函数的零点2解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：细心整理归纳 精选学习资料 1° 二次项如含有参数应争论参数是等于0、小于 0、仍是大于0. 然后将不等式转化为 第 3 页,共 7 页 二次项系数为正的形式 .2 ° 判定方程的根的个数,争论判别式与 0 的关系 .3 ° 确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要争论两根的大小关系,从而确定解集的形式3不等式恒成立问题：不等式恒成立,即不等式的解集为R,一元二次不等式ax2 bxc>0 a 0 恒成立的条件是a>0,24ac<0；ax2bxc<0 a 0 恒成立的条件 b是a<0, b 2 4ac<0. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 1函数 ylog 12 x -1 的定义域是 2A 2, 1 1 ,2 B 2, 1 1 ,2 C 2, 1 1,2 D 2, 1 1,2 22022· 抚顺模拟 已知集合 P x|x1 x1>0 ,集合 Q x| x 2x20 ,就 x Q是xP 的 A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件32022· 银川模拟 已知集合 M x| x 22 008 x2 009>0 ,N x| x 2axb0 ,如 MNR,M N2 009 ,2 010 ,就 Aa2 009 ,b 2 010 Ba 2 009 ,b2 010 Ca2 009 ,b2 010 Da 2 009 ,b 2 010 4如 m1 x 2m1 x3 m1<0 对任何实数 x 恒成立,就实数 m 的取值范畴是 Am>1 Bm<1 13 13Cm<11 Dm>1 或 m<11 5 创新题 已知 a1>a2>a3>0,就使得 1 aix 2<1 i 1,2,3 都成立的 x 的取值范畴是 A. 0,1B. 0,2a1a1C. 0,1D. 0,2a3a3二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 6在 R上定义运算 .：x.yx1 y ,如不等式 xa . xa<1 对任意实数 x 恒成立,就 a 的取值范畴为 _log 2x,x>0,7 已 知 函 数 f x 就 满 足 f x>1 的 x 的 取 值 范 围 为x 2,x0,_82022· 泉州月考 yf x 的 的 解 集 为已知函数 f x 的定义域为 , , f x为 f x 的导函数,函数图 象 如 右 图 所 示 , 且 f 2 1 , f 3 1 , 就 不 等 式 f x 2 6>1_三、解答题 共 38 分 细心整理归纳 精选学习资料 912 分 解关于 x 的不等式xa xa 2<0 aR 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -自主梳理 12 2. b 2ab 2aR.记 f x x2mx4,依据题意自我检测1C 2.A 3.A 4.D5 , 5 解析得 m 216>0,f,解得 m 5. f,课堂活动区例 1 解 1 两边都乘以 3,得 3x 26x2<0,由于 3>0,且方程 3x 26x203 3 3 3的解是 x113,x213,所以原不等式的解集是 x|1 3 <x<13 2 不等式 9x 26x10,其相应方程 9x 26x10, 6 24× 9 0,上1述方程有两相等实根 x3,结合二次函数 y9x 26x1 的图象知,原不等式的解集为 R. 变式迁移 1 解 1 不等式 2x 24x3<0 可转化为 2 x1 21<0,而 2 x1 21>0,2x 24x3<0 的解集为 ., 2 两边都乘以 1,得 3x 22x80,由于 3>0,且方程 3x 22x80 的解是 x1 2,4 4x23,所以原不等式的解集是 , 2 3, 13 原不等式可转化为 16x 28x10,即 4 x1 20,原不等式的解集为 4 例 2 解 上述不等式不肯定为一元二次不等式,当 a0 时为一元一次不等式,当 a 0 时为一元二次不等式,故应对 a 进行争论,然后分情形求解1 a0 时,解为 x>0.2 a>0 时, 44a 2. 当 >0,即 0<a<1 时,方程 ax 22xa2 2 21±1a 11a 11a0 的两根为 a,不等式的解集为 x| a <x< a 2 当 0,即 a1 时, x.；当 <0,即 a>1 时, x.3 当 a<0 时, >0,2 2即 1<a<0 时,不等式的解集为 x| x<1a 1a 或 x>1a 1a 0,即 a 1时,不等式化为 x1 2>0,解为 xR且 x 1. 3 <0,即 a<1 时, xR. 综上所述,当 a1 时,原不等式的解集为 .；当 0<a<1 时,2 211a 11a解集为 x| a <x< a ；当 a 0 时,解集为 x| x>0；当 1<a<0 时,解2 211a 11 a集为 x| x< a 或 x> a ；当 a 1 时,解集为 x| x R且 x 1 ；当 a<1 时,解集为 x| xR 变式迁移 2 解当 a 0 时,解得 x>1. 当 a>0 时,原不等式变形为 x1 a x1<0 , 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - a>1 时,解得1 1a<x<1；a1 时,解得 x.；0<a<1 时,解得 1<x< a. 当 a<0 时,原不等式变形为 x1 a x1>0 ,1 a<1,解不等式可得1 x< a或 x>1. 综上所述,当a<0 时,不等式解集为 ,1 a 1 , ；当 a0 时,不等式解集为1 , ；当 0<a<1 时,不等式解集为1 ,1 a ；当 a1 时,不等式解集为.；当 a>1 时,不等式解集为 1 a,1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3 解 方法一 f x xa 22a 2,此二次函数图象的对称轴为 xa. 当 a , 1 时, f x 在 1, 上单调递增,f xminf 1 2a3. 要使f x a 恒成立,只需 f x mina,即 2a3 a,解得 3 a<1；当 a 1, 时, f xminf a 2a 2,由 2a 2a,解得 1 a1.综上所述,所求 a 的取值范畴为 3 a1.4xm 2变式迁移 3 解 1 x 22x3 x1 22>0,不等式 x 2 2x3<2 同解于 4xm<2x4x6,即 2x 2 8x6 m>0. 要使原不等式对任意实数 x 恒成立,只要 2x 28x6m>0对任意实数 x 恒成立 <0,即 6486 m<0,整理并解得 m< 2. 实数 m的取值范畴为 , 2 2 x 2px>4xp3, x1 px 24x3>0. 令 g p x1 px 2 4x3,g就要使它对 0 p4 均有 g p>0 ,只要有 . x>3 或 x<1. g实数 x 的取值范畴为 , 1 3 , 课后练习区1A 由已知有log1 x 21 0x 2 1>0,x>1或x<1,2x<1 或 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 2x2.x 211.21<x2. 2D 化简得 P x< 1,或 x>1 ,Q x 2,或 x1 ,集合 P,Q之间不存在包含关系,所以 xQ是 xP 的既不充分又不必要条件 3D 化简得 Mx| x<1 或 x>2 009 ,由 MNR,MN2 009,2 010可知 N x|1 x2 010 ,即 1,2 010是方程 x 2axb0 的两个根所以 b1× 2 010 2 010 , a 12 010 ,即 a 2 009. 4C 当 m 1 时,不等式变为2x6<0,即 x<3,不符合题意当 m 1 时,由题意知m1<0,2mm, m化简,得m1<0,解得 m<13 11. 11m 2 2m13>0,5B 1 aix2<1,即 a i x 2 2aix<0,即 aix aix2<0 ,由于 ai>0,这个不等式可以化为x x2 ai<0,即 0<x<2 ai,如对每个都成立,就2 ai应最小,即ai 应最大,也即是2 0<x< a1. 6 1 32,2 解析由题意知, xa . xa<1 . xa1 xa<1 . x 2x a2a1>0.因上式对 xR都成立,所以 14 a 2a1<0 ,即 4a24a 3<0. 所以1 2<a<3 2. 7 , 1 2 , 解析当 x>0 时,由 log 2x>1,得 x>2；当 x0 时,由 x2>1,得 x<1. 综上可知, x 的取值范畴为 , 1 2 , 82,3 3, 2 解析由导函数图象知当x<0 时, f x>0,即 f x 在 , 0 上为增函数；当 x>0 时, f x<0 ,即 f x 在0 , 上为减函数,0x故不等式f x26>1 等价于f x26> f 2 或 f x26> f 3 ,即 2<x 260 或26<3,解得 x2,3 3, 2 9解xa xa 2<0. xa xa2<0 ,2 分 当 a0 或 a1 时,原不等式的解集为.；4 分 当 a<0 或 a>1 时, a<a2,此时 a<x<a2；7 分 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 0<a<1 时, a>a 2,此时 a 2<x<a.10 分 综上,当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为 x| a<x<a 2 ；当 0<a<1 时,原不等式的解集为 x| a 2<x<a ；当 a0 或 a1 时,原不等式解集为 .12 分 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -