2022年一元二次函数知识点汇总.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载姓名 二次函数总复习（学问点）1. 定义：一般地,假如yax 2bxc a ,b ,c是常数,a0,那么 y 叫做 x 的一元二次函数. . 2. 二次函数yax2的性质1 抛物线yax2（a0）的顶点是原点,对称轴是y 轴. 2 函数yax2的图像与 a的符号关系：当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3. 二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于 包括重合 y 轴的抛物线 . 4. 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式,其中hb,k4acab22a45. 抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 打算抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上；当 a 0 时,开口向下； a 越小,抛物线的开口越大, a 越大,抛物线的开口越小；对称轴为平行于 y 轴 或重合 的直线,记作 x h . 特殊地, y 轴记作直线 x 0 . 定点是抛物线的最值点 最大值 a 0 时 或最小值 a 0 时 ,坐标为 h , k ；6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法1 公式法：yax2bxcaxb24 ac2 b,顶点是（b4 ac,4 a2 b）,对称轴是直线xb. 2 a2a4 a2 ah2k的形式,得到顶点为 h, k ,对称轴是x2 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh. 3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失7. 抛物线yax2bxc中,a,b ,c的作用的对称轴是直线xb, 故： 第 1 页,共 4 页 1 a打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . 2 b 和 a共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y2 axbxc2 ab0时,对称轴为 y 轴；b0时, 对称轴在 y 轴左侧；b0时, 对称轴在 y 轴右侧. aa细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 c的大小打算抛物线yax2bxc学习必备欢迎下载与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线ycax 2bxc与 y 轴有且只有一个交点0 , c ：c0,抛物线经过原点; 0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0. a8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2k；yax2bxc. 其中左右移动可得到,再上下移动可得到；口诀“ 左加右减,上加下减”图像特点如下：y函数解析式k开口方向x对称轴顶点坐标ax20 y 轴 0,0 yax2k当a0时x0 y 轴 0, k xh h ,0 axh2开口向上yyaxh2当a0时xh h , k 开口向下yax2bxcxbb,4acb2 2a2 a4 a9. 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式：y2 axbxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. x2. 2 顶点式：yaxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. x 3 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、x ,通常选用交点式：yaxx 110. 抛物线与Y轴的交点 1 y 轴与抛物线y2 axbxc得交点为 0,c 2 抛物线与 x 轴的交点二次函数yax 2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元二次方程 第 2 页,共 4 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ax2bxc0学习必备欢迎下载的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x轴相交；有一个交点 顶点在 x 轴上 0 抛物线与 x轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . 11二次函数与一元二次方程的关系：1 一元二次方程 0 ax 2 bx c 就是二次函数 y ax 2bx c 当函数 y 的值为 0 时的情形2 二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴的交点有三种情形：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y 0 时自变量 x 的值,2即一元二次方程 ax bx c 0 的根2 23 当二次函数 y ax bx c 的图象与 x 轴有两个交点时,就一元二次方程 y ax bx c 有两个不相 等 的 实 数 根 ； 当 二 次 函 数 y ax 2bx c 的 图 象 与 x 轴 有 一 个 交 点 时 , 就 一 元 二 次 方 程ax 2bx c 0 有两个相等的实数根；当二次函数 y ax 2bx c 的图象与 x 轴没有交点时,就一2元二次方程 ax bx c 0 没有实数根12. 二次函数的应用：1 二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大 小 值；一般而言,最大 小 值会在顶点处取得,达到最大 小 值时的 x 即为顶点横坐标值,最大 小 值也就是顶点纵坐标值；2 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的学问解决实际问题中的最大 小 值 附：将二次函数的一般式yax2bxc化为顶点式yaxh2k的方法： 可用配方法和公式法典型例题精讲：某商人假如将进货单价为8 元的商品按每件10 元出售,每天可销售100 件,现在他采纳提高出售价格,削减进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价一元,其销售量将削减10 件,问他将出售价定为多少元时,才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？解：设涨价x 元,即售出价为（10+x ）元,利润为y 元,依题意得：y=（10+x-8 ）（ 100-10x ）=（2+x ）（ 100-10x ）= -10x 2+80x+200 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 y= -10 （x-4 ）2 +360 当涨价x 为 4 元,即售价为10+4=14 元时每天所赚的利润最大,最大利润为360 元 第 4 页,共 4 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -