2022年“三角板”与函数图象为背景的中考试题赏析.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载“ 三角板” 与函数图象为背景的中考试题赏析贵州省道真县玉溪镇中心学校 胡 军三角板是同学学习数学的常用工具,一幅三角板, 由于它的边和角的特别性,包蕴丰富的数学学问, 新课程实施以来,以三角板为背景的中考试题倍受命题者的青昧,大量显现在各地的中考试题中, 本文拟从 20XX 年中考试题中以三角板与函数图象为背景的试题加以分类赏析,与读者共享；一、三角板与反比例函数图象的结合例 1：（金华） 如图 1,将一块直角三角板放在平面直角坐标系中,过点,点在第一象限, 过点的双曲线为. 在轴上取一点作直线的垂线,以直线为对称轴,线段经轴对称变换后的像是；当点与点重合时,点的坐标是设,当与双曲线有交点时,的取值范畴是；解析：当点与点重合时,垂直平分,就易知,点的坐标是；30° 角的直角三角形的性质易得的取值范畴是： 第 1 页,共 9 页 由图形的对称变换和含细心整理归纳 精选学习资料 或； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载感悟： 涉及反比例函数的问题,有一个特别有用的基本结论：如图 2,从反比例函数为,就矩形的图象上任意一点分别作轴,垂足为,轴,垂足的面积 =；这个基本结论揭示了反比例函数的本质（几何意义）；运用此结论,仍可直接解决一些中考试题；中考链接：1.（鄂州）如图3：点在双曲线上,轴于,且的面积 SAOB=2,就；在双曲线上,点在双曲线上,且轴,2. （孝感）如图 4,点、在轴上,如四边形的面积为矩形,就它的面积为,点 . 3.（遵义） 如图 5,已知双曲线,为双曲线上的一点, 且轴于点,轴于点,、分别交双曲线于、细心整理归纳 精选学习资料 两点,就的面积为； 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4. （东营）如图6, 直线优秀学习资料欢迎下载、两点 ,是线段上的点和双曲线交于（不与、重合）, 过点、分别向轴作垂线 , 垂足分别是、, 连结、, 设面积是、面积是、面积是,就（）答案：由反比例函数的几何意义易知：1,；2,矩形的面积等于2； 3,的面积为：； 4 ,应选；二、与二次函数（抛物线）的结合例 2：（株洲）：孔明是一个喜爱探究钻研的同学,他在和同学们一起讨论某条抛物线的性质时, 将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于、两点,请解答以下问题：如测得（如图 7）,求 的值；对同一条抛物线,孔明将三角板绕点旋转到如图8 所示位置时, 过作轴于点,测得,写出此时点的坐标,并求点的横坐标；、的连线对该抛物线,孔明将三角板绕点旋转任意角度时诧异地发觉,交点段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析：设线段与优秀学习资料欢迎下载为中点,又由轴的交点为,由抛物线的对称性可得三角板的特别性可知,点的坐标为：, 将,代入抛物线得,；此问解法较多,现举例如下：如图 8,过点 作 轴于点,解法 一： 证和抛物线的有关学问可求得点 的横坐标；解法 二： 由解直角三角形和抛物线的有关学问可求得点 的横坐标；解法 三： 利用勾股定理和抛物线的有关学问可求得点 的横坐标；解法 一： 设（,）（）,（,）（）,设直线的解析式为：,得,解得,又易知,）,）（,）,直线.由此可知不论为何值,直线恒过点（解法 二： 设（,）（）,（与轴的交点为,依据,可得,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -化简,得优秀学习资料欢迎下载,. 又易知, ,为固定值；故直线恒过其与轴的交点（,）；,解法三：的值也可以通过以下方法求得：由前可知,由；,得：,化简,得例 3：（东营） ：在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点（2,0）,点（1,0）,如图 9 所示；抛物线经过点；求点的坐标；求抛物线的解析式；在抛物线上是否仍存在点（点除外） ,使仍旧是以为直角边的等腰 第 5 页,共 9 页 直角三角形？如存在,求全部点的坐标；如不存在,请说明理由；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析：如图10,过点作优秀学习资料欢迎下载；易证,得轴,垂足为将点,即点的坐标为（ 3,1）,即所求抛物线的解析式为：的坐标代入中,求得；假设存在点,使是直角三角形；即如图 10,如以为直角边,点为直角顶点,就延长至点使得,得到等腰直角三角形,过作轴,垂足为；易证,即,易知点的坐标为（,）,经检验在抛物线上；如图 11,如以为直角边,点为直角顶点,就过点作,使得,得到等腰直角三角形,过点作轴,垂足为,同样可证；可得点的坐标为（,1）,经检验同样在抛物线上；如图 12,如以为直角边,点为直角顶点,就过点作,使得,得到等腰直角三角形,过点作轴,垂足为,同样可证；可得点的坐标为（ 2,3）,经检验不在抛物线上；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载评析： 例 3 实际上是由2022 北京市密云县的一道中考试题改编而成；中考链接： （2022 密云）如图13,将腰长为的等腰是直角 放在平面直角坐标系中的其次象限,其中点在轴上,点在抛物线上,点的坐标为 1, 0的坐标为；点的坐标为,点抛物线的关系式为,其顶点坐标为；的位置请判定点、将三角板绕顶点逆时针方向旋转90°,到达是否在 2 中的抛物线上,并说明理由；例 4： 绍兴 抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴与轴交于点.的坐标及线段的长；如图 14,求点点在抛物线上,直线交轴于点,连接. 如含角的直线三角板如图 15 所示放置, 其中,一个顶点与重合,直角顶点在上,另一顶点在 第 7 页,共 9 页 上,求直线的函数解析式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如含优秀学习资料欢迎下载在直线上,另一个角的直角三角板一个顶点与点重合,直角顶点顶点在上,求点的坐标 . ；,即,为对称轴,解析：把代入抛物线解析式得；分别作轴,垂足分别为,；（2）如图 15,过点先证四边形为矩形, 再证,可得四边形为正方形；即,为等腰直角三角形,设直线的函,即、的坐标为数解析式为,求得,所求直线的函数解析式为,过点；作当点在对称轴的右侧时, 如图 16,过点作轴,垂足为点,垂足为,设点,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -,优秀学习资料欢迎下载,赏析 ：以上试题,借助三角板和函数基本图形的基本特点动身,表达了以下特点：1. 试题背景突出学科核心主干 . 把握数学问题的本质核心主干是数学学问的结构中的“ 连结点”,在上面的试题中, 题目以函数图象为载体,将三角板在函数图象中的不同放置方式作为试题的基本背景,如例 1 将含 的直角三角板放在直角坐标系中与反比例函数图象相结合设置了一个操作性的对称变换的综合性试题；例4 分别将含、角的直线三角板按题中要求放置,考查了一次函数、二次函数、三角形全等和相像等中学数学的核心内容；试题的奇妙之处在于问题中的三角板为求解问题供应的数量依据；把握数学问题的本质,表达数形结合；2. 试题解法基于数学活动体会,关注同学的学习过程以上试题的一个基本特点是：基于同学数学活动体会,关注“ 过程与方法” 在获得、应用数学学问的过程中的重要作用；解决以上试题的数学活动体会主要包括2 个层次：第一,来源于日常生活体会,如对的“ 三角板” 的直接熟悉；其次,建立在日常生活体会基础之上的探究活动, 如例 2 将一把含 30° 角的直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点处旋转,探究在旋转过程中三角板与抛物线的交点的连线段总经过一个固定的点（,）；3.试题考查注意理性数学思维,表达才能立意命题理念数学不仅是一种重要的“ 工具” 和“ 方法” ,而是人们学习的一种思维模式；在解决以上试题的过程中,同学要通过观看、试验、归纳、类比等获得猜想,并在解决问题的过程中进行合情推理, 有条理地表达自己的摸索过程；如例 3 以二次函数为载体,设置了一块等腰直角三角板放在直角坐标系第一象限,斜靠在两坐标轴上的情境,要求探究是否仍存在一点,使仍旧是以 为直角边的等腰直角三角形,要用分类摸索方法；强调了数学素养, 以才能立意, 以考查同学的思维品质为动身点和归宿,必备的数学学问和素养,考查了进一步学习的潜质；仍考虑到同学升入高中学习所细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -