2022年解析不等式恒成立问题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 解析不等式恒成立问题纵观近年来各地高考数学试题,有关不等式恒成立问题屡见不鲜,这类问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方 程、几何有机结合起来,具有形式敏捷、思维性强、学问交汇 点多等特点 .考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立, 二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的值或取值范畴 .解决这类问题的关键是转化,通过等价转化能使问题起到“ 柳暗花明” 的成效.而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类争论、函数与方程等数学思想方法,其常用方法主要有：更换主元法、别离参数法、数形结合法、最值法等,笔者试图通过本文能对同学突破这一难点有所启发 . 一、更换主元法在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数, 利用函数的图象和性质解决问题,同时留意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加明朗化,一般地,已知存在范畴的量为变量,而待求范畴的量为参数 . 2 x 1 m x 21 对满意 m 2,2 的一切实数 m恒成立, 求 x 的取值范畴 . 名师归纳总结 m解：设f m x21 m2x1,就不等式2 x1m x21对满意第 1 页,共 5 页2,2的一切实数m 恒成立f m 0对m2,22m2时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f m 0ff22x2212xx10 , 0即2x22x10 , 0 22x1212x22x3解得x1237xx137,故 x 的取值范畴是71,31. x的不21或12222注：此类问题常因思维定势,同学易把它看成关于等式争论,此种解法因运算繁琐易出错；假设变换一个角度,以 m 为变量,使 f m x 2 1 m 2 x 1, 就问题转化为求一次函数或常数函数f m 的值在 2,2 内恒为负时,参数 x应满意的条件“ 换位” 摸索优势明显 . 二、别离参数法当不等式中的参数或关于参数的代数式能够与其它变量完全别离出来,且别离后不等式另一边的函数或代数式的最值可求时,常用别离参数法 . f x ln e x a a 为常数是实数集 R 上的奇函数,函数g x x cos x 在区间3 , 23 上是减函数 . 求 a的值与 的范畴；假设对中的任意实数 都有 g x t 1 在 , 23 3上恒成立,求实数 t 的取值范畴 . 假设 m 0,试争论关于 x的方程 f ln xx 22 ex m 的根的个数 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：、略由题意知,函数g x xcosx 在区间3,2上是减函3数. tg x max1g331,1 2,g x .t1在3,2上恒成立3131 2,t1t3232注：此类问题可把要求的参变量别离出来,单独放在不等式的一侧, 将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题：假设对于 x 取值范畴内的任一个数都有 f x g a 恒成立,就 g a f x min；假设对于 x 取值范畴内的任一个数都有f x g a 恒成立,就 g a f x max . 三、数形结合法假如不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时, 可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 名师归纳总结 yf x 3 x6,x2,假设不等式f 2xm恒成立,就实数第 3 页,共 5 页63 , x x2m的取值范畴是 . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y2xm及yf x 的 图 象 , 由 于 不 等 式f x 2xm 恒 成 立 , 所 以 函 数y2xm的图象应总在函数yf x 的图象下方,因此,当x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时,y4m0,所以m4,故m的取值范畴是4,.y f x yy 2 x m2 O x注：解决不等式问题常常要结合函数的图象,依据不等式中量的特点, 挑选适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范畴.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,精确做出函数的图象 .如：不等式 x 2log a x 0,在x 0, 1 时恒成立, 求 a的取值范畴 .此不等式为超越不等式,求2解时一般使用数形结合法,设 f x x 2, log a x 然后在同一坐标系下精确做出这两个函数的图象,借助图象观看便可求解 . 四、最值法当不等式一边的函数或代数式 的最值较易求出时,可直接求出这个最值最值可能含有参数的不等式求解 . f xlnxm ,g x ax3x.3,然后建立关于参数当mm2时,求f x 的单调区间；a 的假设3时,不等式g x f x 恒成立,求实数2取值范畴 . 解：略名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当m3时,不等式g x f x 即a x 33xxlnx3x0,22a x3 21 ln x 32, 亦 即 a x3 2ln x 12, 所 以 a 3lnx x2 12 . 令h x 3lnx x2 12 ,就 h x 6lnx 3 x,由 h x 0 得 x 1 .且当0 x 1 时,h x 0；当 x 1 时,h x 0,即 h x 在 0,1 上单调递增,在 1, 上单调递减,所以 h x 在 x 1 处取得极大值 h 1 3,也就是函数2h x a 3lnx x2 12 恒成立,需要 a 32,所以 a的取值范畴为 3 ,2 . 注：恒成立问题多与参数的取值范畴问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题型,它以“ 参数处理” 为主要特点,以“ 导数” 为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关,所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来,通过函数最值求解相关问题 . 不等式恒成立问题,因题目涉及学问面广,解题方法敏捷多样, 技巧性强, 难度大等特点, 要求有较强的思维敏捷性和制造性、 较高的解题才能, 上述方法是比较常用的,但由于问题形式千变万化, 考题亦常考常新, 因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学,在平常的训练中不断领会和总结,老师也要介入心理辅导和思想方法指导,解决此类问题的才能上得到改善和提高 . 从而促使同学在名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
