2022年“费马点”与中考试题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载“ 费马点” 与中考试题费尔马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的创造者之一费马点 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费尔马的结论：对于一个各角不超过 120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过 120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点下面简洁说明如何找点 P 使它到ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？这就是所谓的费尔马问题图 1 解析 ：如图 1,把 APC 绕 A 点逆时针旋转 60°得到APC,连接 PP就 APP为等边三角形,AP= PP,PC=PC,所以 PA+PB+PC= PP+ PB+ PC点 C可看成是线段AC 绕 A 点逆时针旋转60°而得的定点, BC为定长,所以当 B、P、P、C 四点在同始终线上时, PA+PB+PC 最小这时 BPA=180° -APP=180°-60 °=120° ,APC=A PC=180° -APP=180° -60 °=120° ,BPC=360° -BPA-APC=360° -120°-120°=120°因此,当ABC 的每一个内角都小于 120°时,所求的点 P 对三角形每边的张角都是 120°,可在 AB、BC 边上分别作 120°的弓形弧, 两弧在三角形内的交点就是 P 点；当有一内角大于或等于 120°时,所求的 P 点就是钝角的顶点费尔马问题告知我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换本文列举近年“ 费马点” 走进中考试卷的实例,供同学们学习参考例 1 （20XX年广东中考题）已知正方形ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26 ,求此正方形的边长图 2 图 3分析 ：连接 AC,发觉点 E 到 A、B、C 三点的距离之和就是到ABC三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载的变形,只是背景不同解如图 2,连接 AC,把 AEC 绕点 C 顺时针旋转60°,得到GFC,连接 EF、BG、AG,可知EFC、 AGC都是等边三角形,就EF=CE又 FG=AE,AE+BE+CE = BE+EF+FG（图 4） 点 B、点 G 为定点（ G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60°所得） 线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值,此时设正方形的边长为a ,那么26 BO=CO=2a ,GC=2a , GO=6a 22 BG=BO +GO =2a +6a 22 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为2a +6a =26 ,解得 a =222E、F 两点都在 BG 上（图 3）B注此题旋转AEB、 BEC 也都可以,但都必需围着定点旋转,读者不妨一试A6,0,例 2 （20XX年北京中考题）如图 4,在平面直角坐标系xOy 中, ABC 三个顶点的坐标分别为6,0,C0, 4 3,延长 AC 到点 D, 使 CD=1 2AC ,过点 D 作 DE AB 交 BC 的延长线于点E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,如过 B 点的直线 ykxb 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点动身,先沿 y 轴到达 G 点,再沿 GA 到达 A 点,如P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置,使 P 点依据上述要求到达 A 点所用的时间最短分析和解 ：（1）D 点的坐标（ 3, 6 3 ）（过程略）（2） 直线 BM 的解析式为y3x6 3（过程略） 第 2 页,共 4 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AEyODBx优秀学习资料欢迎下载yFCEMDCAOBx图 4 （3）如何确定点 G 的位置是此题的难点也是关健所在设 Q 点为 y 轴上一点, P 在 y 轴上运动的速度为 v,就 P沿 MQA 运动的时间为 MQ AQ,使 P 点到达 A 点所用的时间最短,就是1 MQ AQ 最小, 或 MQ2AQ 最小2 v v 2解法 1 BQ=AQ,MQ 2AQ 最小就是 MQ AQBQ 最小,就是在直线 MO 上找点 G 使他到 A、B、M三点的距离和最小至此,再次发觉这又是一个费尔马问题的变形,留意到题目中等边三角形的信息,考虑作旋转变换把 MQB 绕点 B 顺时针旋转60° ,得到M QB,连接 QQ、MM （图 5）,可知QQB、 MM B 都是等边三角形,就 QQ=BQ又 M Q=MQ,MQ AQBQ= MQ+ QQ+AQ点 A、M 为定点,所以当Q、Q两点在线段A M上时, MQAQBQ 最小由条件可证明Q点总在 AM上,所以 A M与 OM 的交点就是所要的G 点（图 6）可证 OG=1 2MG图 5 图 6 图 7解法 2 考虑1 MQ AQ 最小,过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K,由 OB=6,OM = 6 3 ,可得 BMO 30°,所2以 QK 1 MQ 2要使1 MQ AQ 最小,只需使 AQQK 最小, 依据“ 垂线段最短”,可推出当点 A、Q、K 在一条直线上时, AQ+QK2最小,并且此时的 QK 垂直于 BM,此时的点 Q 即为所求的点 G（图 7）过 A 点作 AHBM 于 H, 就 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点.由 OB=6,OM= 6 3 ,可得OBM =60° , BAH=30° 第 3 页,共 4 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在 Rt OAG 中, OG=AO·优秀学习资料欢迎下载tanBAH= 2 3G 点的坐标为（ 0, 2 3 ）（G 点为线段 OC 的中点）例 3 （20XX 年湖州中考题）如点P 为 ABC 所在平面上一点,且APB=BPC=CPA=120° , 就点 P 叫做 ABC 的费马点（1） 如 P 为锐角ABC 的费马点,且ABC=60° ,PA=3,PC=4, 就 PB 的值为；（2）如图 8,在锐角ABC 的外侧作等边ACB,连结 BB求证：BB 过 ABC 的费马点 P,且 BB=PA+PB+PC图 8 解：（1）利用相像三角形可求 PB 的值为 2 3 （2）设点 P 为锐角ABC 的费马点,即 APB=BPC=CPA=120°如图 8,把 ACP 绕点 C 顺时针旋转60°到 BCE,连结 PE,就 EPC 为正三角形 BEC = APC =120°, PEC=60° BEC+PEC=180°即 P、E、B 三点在同始终线上 BPC=120°,CPE=60°, BPC +CPE =180 °,即 B、P、E 三点在同始终线上 B、P、 E、B 四点在同始终线上,即 又 PE=PC,BE= PA, BB=E B+PB+PE=PA+PB+PCBB 过 ABC 的费马点 P注 通过旋转变换,可以转变线段的位置,优化图形的结构在使用这一方法解题时需留意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地,当题目显现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时,可将图形作旋转 60° 或 90°的几何变换,将不规章图形变为规章图形,或将分散的条件集中在一起,以便挖掘隐含条件,使问题得以解决费尔马问题是个好玩的数学问题,这些问题经常可通过旋转变换来解决细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -