2022年一次函数图象的平移变换问题探究.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一次函数图象的平移变换问题的探究所谓平移变换 就是在平面内,将一个图形整体沿某一个方向移动肯定的距离,这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原先的图形相比大小、外形不变, 只是位置发生了变化 .简洁的点 P（x,y）平移规律如下：（1）将点 P（x,y）向左平移a 个单位,得到2P1（x a,y）（2）将点 P（x,y）向右平移a 个单位,得到P2（x+a,y）（3）将点 P（x,y）向下平移a 个单位,得到P3（x, ya）（4）将点 P（x,y）向上平移a 个单位,得到P4（x, y+a）反之也成立 . 下面我们来探究直线的平移问题. x+2 ,2l：y=2x2 的关系 . 2x 与1l ：y=【引例 1】探究一次函数l ： y=333【探究 】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3 个函数的图象（如图1）,观看这3 个函数的图象：1 1ll2l从位置上看, 它们是 3 条平行的直线 .（这是由于它们的k 值相同）；从数量上看,对于同一自变量 的取值（不妨取x=0 即直线与 y 轴-1 -1 1 的交点） ,可以看出直线1l 在直线 l 的上方 2 个单位处, 直线2l 在图 1 直线 l 的下方 2 个单位处,因此,一次函数1l ： y=2x+2 的图象3可以看作是由正比例函数l ：y=2x 的图象沿 y 轴向上平移2 个单位得到的； 一次函数2l ：3y=2x2 的图象可以看作是由正比例函数l ：y=2x 的图象沿 y 轴向下平移2 个单位得到33的. 【拓广 】：一般地,一次函数 y=kx+b 的图象是由正比例函数 y=kx 的图象沿 y 轴向上（b>0）或向下（ b<0）平移 b 个单位长度得到的一条直线 . 【应用 】： 例 1、（08 上海市）在图 2 中,将直线 OA向上平移 1 个单位,得到一个一次函数的图像,那么这个一次函数的解析式是细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载x 分析：观看图像发觉直线OA 是正比例函数的图象,可设y 直线 OA 的解析式为y=kx ,又点 A（2,4）在函数图像上,所以4 A 4=2 k 即 k=2,又一次函数的图像是由直线OA向上平移 1 个单位3 2 1 得到,故这个一次函数的解析式为y=2x+1. y=【引例 2】探究一次函数l ：y=2x 与1l ：y=2 （x+3）,32l：O 1 2 32 （x3）的关系 . 3图 2 【探究 】观看引例1 与引例 2 中的 3 个函数的解析式,经过变形我们可以发觉他们是完全相同的, 因而, 画出 3 个函数的图象仍旧是图1 的情形 .从位置上看, 它们是 3 条平行的直线 .（这是由于它们的 k 值相同） ；从数量上看 ,对于同一 因变量 的取值 （不妨取 y=0,即直线与 x 轴的交点）,可以看出直线 1l 在直线 l 的左方 3 个单位处,直线 2l 在直线 l 的右方 3 个单位处,因此,一次函数 1l ：y= 2 （x+3 ）的图象可以看作是由正比例函数 l ：3y= 2x 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位得到的；一次函数 2l：y= 2 （x3）的图象可以看3 3作是由正比例函数 l ：y= 2x 的图象沿 x 轴向右平移 3 个单位得到的 . 3【拓广 】：一般地由正比例函数 y=kx 的图象沿 x 轴向左平移 m（m>0）个单位,得到的一次函数解析式为 y=k（x+m） =kx+km ；沿 x 轴向右平移 m（m>0）个单位,得到的一次函数解析式为 y=k（xm）=kx km；综合上述归纳推广可以发觉,直线上下平移时,影响的 影响 x 值的变化 . y 值的变化,直线左右平移时【应用 】：（ 08 年武汉市）点（0,1）向下平移 2B yA C x个单位后的坐标是,直线y2x1向下平移2 个单位后的解析式是；O 直线y2x1向右平移 2 个单位后的解析式是； 第 2 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如图,已知点C 为直线 y学习必备欢迎下载y2x1交 y 轴于点 A,x 上在第一象限内一点,直线交 x 轴于 B,将直线 AB 沿射线 OC 方向平移 3 2 个单位,求平移后的直线的解析式分析： 点（0,1）向下平移 2 个单位, 横坐标不变, 纵坐标减去 2,故为（0,1）. 依据上面拓广的规律直线 y 2 x 1 向下平移 2 个单位后的解析式应为 y 2 x 12,即y 2 x 1；直线 y 2 x 1 向右平移 2 个单位后的解析式应为 y=2x-2+1 即 y 2 x 3；解法 1：点 C 为直线 y x 上在第一象限内一点,OC= 3 2 可知点 C（3,3）,将直线 AB 沿射线 OC 方向平移 3 2 个单位,相当于向右平移 3 个单位,再向上平移 3 个单位,依据拓广规律,解析式变为 y=2x-3+1+3 即 y 2 x 2；解法 2：点 C 为直线 y x上在第一象限内一点,OC= 3 2 可知点 C（3,3）,将直线 AB 沿射线 OC 方向平移 3 2 个单位,相当于向右平移 3 个单位,再向上平移 3 个单位,从而点 A（0,1）平移到（ 3,4）,设平移后的直线的解析式为 y=2x+b ,就有 4=6+b 所以 b=-2,所以所求直线的解析式为 y=2x-2. 细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载赏析一道函数图象探究题函数是中学数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的沟通语言,含有大量的丰富的有价值的信息 .为考查同学们猎取和应用图象信息的才能 ,函数图象探究题便成了近年来各地中考的新亮点 ,解答这类题的关键是从图象中猎取信息 ,正确地进行 “ 形”和“ 数” 的转换 .现就 08 年中考有关一次函数图象探究题精选一例,浅析如下 ,供同学们鉴赏：例2022 江苏南京 一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为xh,两车之间的距离 为ykm,图中的折线表示y 与 x 之间的函数关系依据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请说明图中点 B 的实际意义；图象懂得（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；问题解决（5）如其次列快车也从甲地动身驶往乙地,速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后,其次列快车与慢车相遇求其次列快车比第一列快车晚动身多少小时？分析 1 图中折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系 ,从折线中可以看出 ,当 x =0,即两车即将动身时 , y =900 km,这说明甲、乙两地之间的距离为 900km；2当 x =4,即慢车行驶 4 小时 , y =0 km,这说明两车之间的距离为 0,即两车相遇 ; 3两车相遇后连续行驶 ,快车至乙地停止行驶 折线上为点 C,慢车连续向甲地行驶 ,直至 x =12,即慢车行驶了 12 小时到达甲地 折线上为点 D.点 D 的纵坐标为 900 km ,这说明细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载慢车 12 小时行驶的路程为 900 km,从而可求得慢车的速度 ,再由两车 4 小时相遇 ,即 4 小时共走了 900 km,就快车速度可求 . 4 求线段 BC所表示的 y 与 x 之间的函数关系式,关键是要确定 B、C 两点的坐标 ,由图象可知 ,点 B 的坐标为 4,0,点 C 的横坐标为快车到达乙地的时间 ,由快车行驶路程÷快车行驶速度可得 ,而纵坐标就为此时两车之间的距离 ,可由慢车行驶时间× 慢车行驶速度求得,再用待定系数法可求得线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式 . 5 慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与其次列快车相遇 ,此时 ,慢车行驶的时间是4.5h代入线段 BC 所表示函数关系式 ,可以求得此时慢车与第一列快车之间的距离 , 而这也正是两列快车之间的距离 ,再由快车行驶速度 ,就可求得两列快车发车的间隔时间 ,从而问题可解 . 解： （1）900；（2）图中点 B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时,慢车和快车相遇（3）由图象可知,慢车 12h 行驶的路程为 900km ,所以慢车的速度为 90075km / h；12当慢车行驶 4h 时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为 900km,所以慢车和快车行驶的速度之和为 900 225km / h,所以快车的速度为 150km/h 4（4）依据题意,快车行驶 900km 到达乙地,所以快车行驶 9006h 到达乙地,此150时两车之间的距离为 6 75 450km ,所以点 C 的坐标为 6 450设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b ,把 4 0, , 6 450 代入得04 kb,解得k225,y225x900 第 5 页,共 6 页 4506 kb .b900.所以,线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为自变量 x 的取值范畴是4x6细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（5）慢车与第一列快车相遇30 分钟后与其次列快车相遇,此时,慢车的行驶时间是4.5h把 x 4.5 代入 y 225 x 900,得 y 112.5此时,慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是 112.5km,所以两列快车动身的间隔时间是 112.5 150 0.75h ,即其次列快车比第一列快车晚动身 0.75h点评 本例的确是一道难得的函数图象探究题 ,从列意布局 ,信息读取 ,图象懂得 ,问题解决 ,环环相扣 ,步步紧逼 ,既给了同学们解决问题的方法,又给了同学们宽阔的思维空间和探索空间 ,既考查了同学们猎取图象信息的才能 ,又考查了同学们探究学习的过程 ,仍充分渗透了运动变化的观点 .可以看得出命题者的构思奇妙 ,匠心独运 .不得不令人耳目一新 ,拍案叫绝. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -