2022年高一数学期末复习解三角形.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高一下期末复习五：解三角形一、学问梳理1正弦定理：a = b = c =2R（ R 为 ABC 外接圆半径） ,明白正弦定理以下变形：sin A sin B sin Ca 2 R sin A , b 2 R sin B , c 2 R sin Csin A a , sin B b , sin C c2 R 2 R 2 Ra : b : c sin A : sin B : sin Ca b c a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C最常用三角形面积公式：S ABC 1 ah a 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A2 2 2 22 正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边,求其它两边和一角；（唯独解）2两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角明白：已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情形 : a b sin A 无解a bsinA 一解 直角 如 A 为锐角时 :bsinA a b 二解 一锐 , 一钝 a b 一解 锐角 已知边 a,b和 A（解可能不唯独）C C C Cba ba ba a b aA A A AH B B1 H B2 H Ba<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b a b无解 仅有一个解 有两个解 仅有一个解a b 无解如 A 为直角或钝角时 :a b 一解 锐角 2 2 23余弦定理：a 2b 2c 22 bc cos A cos A b c a2 bc2 2 22 2 2 c a bb c a 2 ac cos B cos B2 ca2 2 22 2 2 a b cc a b 2 ab cos C cos C2 ab4余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边,求三个角； （解唯独）（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角（解唯独）：（3）两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角（解可能不唯独）5把握用解三角形的学问解决测量、航海、几何、物理学等方面的简洁应用问题解三角形问题一般解题思想：一般来讲,无论是应用性问题,仍是纯数学问题,假如涉及到一个三角形 的运算与证明,常应联想到正弦定理和余弦定理；二典型例题名师归纳总结 例 1.在ABC中,已知a3,b2,B45,求A C 及 c第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀学习资料欢迎下载第 2 页,共 5 页解：（法一）由正弦定理得：sinAasinB3sin453,b22B4590,即 ba ,A60或 120 ,当A60时C75,cbsinC2sin75622,sinBsin45当A120时C15,cbsinC2c2sin15cosB62sinBsin 2452（法二）：设 cx ,由余弦定理b2a2ac,将已知条件代入,整理得：x26x10,解之得：x622；当c622时,cosAb2c2a2226262223213322bc221 当c622时, cosA=12变式 :在 ABC 中,已知sin A4,cosB5,就 cosC 的值为. 513解:sin A42,3,4A3或2A3,52234cosB51, 3B2, 从 而A为 锐 角 ,（ 2A3, A+B 应 舍 去 ）, 于 是13234cosA3,sinB12, cosCcosABcosAcosBsinAsinB3351365例2、依据所给的条件,判断ABC的外形（1）acosAbcosB（2）acosAbBcCcoscos1ABC为等腰三角形或直角三角形；2ABC为等边三角形例3：在ABC中,已知ab4,ac2 b ,且最大角为1200,求三边的长和它的面积a=14,b=10,c=6 S=153例 4：如图,在海岸 A 处发觉北偏东45° 方向, 距 A 处3 1 海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75° 方向,距A 处 2海 里 的C 处的我方缉私船, 奉命以 103 海里时的速度追截走私船 , 此时走私船正以10 海里时的速度, 从 B 处向北偏东30° 方向逃跑问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船.并求出所需时间解：设辑私船应沿CD方向行驶 小时,才能最快截获 在 D点 走私船,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 CD103 海里, BD10海里优秀学习资料欢迎下载6BC 2AB 2 AC 22AB·AC·cosA2cos120 ° 6, BC（3 1）2222（3 1）·2BCACsinAsinABCsinABCACsinA2sin120BC62 ABC45° , B 点在 C点的正东方向上, CBD90° 30° 120°BDCD10tsin1201,sinBCDsinCBDsinBCDBDsinCBDCD103 t2 BCD30° , DCE90° 30° 60°由 CBD120° , BCD30°得 D30°BDBC,即 1066 小时 15 分钟 10例 5.（ 05 全国 III ）ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a b c ,已知 a b c 成等比数列,3且 cos B；4（I）求 1 1的值；tan A tan C（II ）设 BA BC 3,求 a c 的值；2解：（I）由 cos B 3得 sin B 7,由 b 2ac 得 sin 2B sin A sin C 于是4 4cot A cot C cos A cos C sin A2 C sin2 B 1 4 7；sin A sin C sin B sin B sin B 7（II ）由 BA BC 3,得 ca cos B 3,由 cos B 3,得 ca 2,即 b 22；2 2 42 2 2 2 2 2 2 2又 b a c 2 ac cos B ；得 a c 5, a c a c 2 ac 9,得 a c 3；三课后作业：1. ABC 中,a、 、 分别为 A、B、C的对边,假如 、 、 成等差数列,B30,ABC 的面积为3,2那么b= 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - A .123B.13优秀学习资料2欢迎下载D.23C.23答案： B 2.设 A 是 ABC 中的最小角,且cosAa1,就实数 a 的取值范畴是（ A ）B）a1A a3 B a 1 C 1a3 D a0 3.飞机沿水平方向飞行,在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为 30° ,向前飞行10000 米,到达处,此时测得正前下方目标C的俯角为 75° ,这时飞机与地面目标的水平距离为（250031A 5000 米B 50002米C4000 米D40002米4.已知 ABC 的三边长a3 ,b5,c6,就 ABC 的面积为（B ）A 14B214C15D2155.在 ABC 中, a=x,b=2, B=45 ° .如解此三角形可得两解,就6.在 ABC 中,如2AXa222tan,试判定 ABC 的外形 . tanBb2x 的取值范畴是 _ 名师归纳总结 解法 1：由正弦定理：sinAcosBsin2AcosB 即：cosAsinAsin2Asin2B第 4 页,共 5 页sinBcosAsin2AsinB2A = 2B 或 2A = 180 2B即： A= B 或 A + B = 90 ABC 为等腰或直角三角形解法 2：由题设：sinAcosBa2aa2c2b2a22 bR 22 ac2acosAsinBb2c2bb22bc2R化简： b 2a 2 + c2b2 = a 2b2 + c2a2 a2 b2a 2 + b2c2=0 a = b 或 a 2 + b 2 = c2 ABC 为等腰或直角三角形7. 在ABC中,已知a23,c62,B45O求,b,A ,C（2）b22A=600 C=750 8.在 ABC 中,ab10,cosC 是方程2x23x20的一个根,求ABC 周长的最小值；解：2x23x202x 1,2x 221c o sC12又cos C是方程x23x0的一个根2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载3 cosB 的值由余弦定理可得：c2a2b22ab1ab2ab2就：c2100a10aa5275当a5时, c 最小且c7553此时abc1053 ABC 周长的最小值为10539 在 ABC中,已知角B45° , D是 BC边上一点, AD5,AC7,DC3,求 AB解：在ADC中,cos CAC2DC2AD2722325211,2ACDC7314又 0C180° , sin C5314在 ABC中,ACABsinBsinCABsinCAC532756.sinB14210. 在ABC 中, A . B . C 的对边分别为a . b . c ；如 a,b,c 成等比数列, 求 fB=sinB+域；名师归纳总结 解析1 b2ac, a2c22accosBa2c2b22acac1
