2022年【强烈推荐】高中数学解析几何公式与题型.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -高中数学解析几何公式与题型解析几何中的基本公式1、 两点间距离：如Ax1,y1,Bx2,y2,就ABl2:x2x 12y 2y 12特殊地：AB/x轴,C1就 ABAxByC20；AB/y轴,就 AB；2、 平行线间距离：如l1:AxBy0 ,就：dC 1C2A2B2留意点： x,y 对应项系数应相等；3、 点到直线的距离：P x , y , :l Ax By C 0Ax By C就 P 到 l 的距离为：d 2 2A By kx b4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：F x , y 0消 y：ax 2bx c 0,务必留意 .0如 l 与曲线交于 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 2 2就：AB 1 k x 2 x 1 5、 如 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,P（x,y）；P 在直线 AB 上,且 P分有向线段 AB 所成的比为,x 1 x 2x就 1,特殊地：=1 时, P 为y 1 y 2y11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AB 中点且xx 12x2yy 12y2变形后：xx 1 或xy2y100 ,kk1x2yy6、 如直线 l1 的斜率为 k1,直线 l2 的斜率为 k 2,就 l1 到 l2 的角为,适用范畴： k1,k 2 都存在且 k 1k 21 ,tank211 k2如 l 1 与 l2 的夹角为,就 tank 1k 2,21k 1k 2留意：（1）l1 到 l 2 的角,指从l 1 按逆时针方向旋转到l2 所成的角,范畴0,l1 到 l 2 的夹角：指l1、l2 相交所成的锐角或直角；（2）l1 l2 时,夹角、到角 =；2（3）当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角；7、 （1）倾斜角, ,0 ；2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）a,b夹角,0,；（3）直线 l 与平面的夹角, ,2；=0；（4）l1 与 l2 的夹角为, ,2,其中 l1/l2 时夹角（5）二面角,0,；（6）l1 到 l2 的角, ,8、 直线的倾斜角与斜率 k 的关系a 每一条直线都有倾斜角,但不肯定有斜率；b 如直线存在斜率k,而倾斜角为,就 k=tan；9、 直线 l1 与直线 l 2 的的平行与垂直（1）如 l1,l 2 均存在斜率且不重合： l1/l2xk1=k 20（2）如l1:A 1xB 1yC10, l1l2k 1k 2=1 l2:A 2B2yC2如 A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零10 、名称斜截式：l1/l2A 1B 1C1；A2B2C2l1l2A1A 2+B 1B2=0；l1 与 l 2 相交A 1B 1A 2B2l1 与 l 2 重合A 1B 1C 1；A 2B2C2留意：如 A 2 或 B 2 中含有字母,应留意争论字母=0 与0 的情形；直线方程的五种形式方程留意点y=kx+b 应分斜率不存在斜率存在点斜式：yykxx（1）斜率不存在：xxkxx两点式：（2）斜率存在时为yyyy 1xx1y2y1x2x13 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -截距式：xy1其中 l 交 x 轴于a,0,交 y 轴于0,bab当直线 l 在坐标轴上, 截距相等时应分：一般式：AxByC0（1）截距 =0 设 y=kx y1（2）截距 =a0设xaa即 x+y= a（其中 A、B 不同时为零）10 、确定圆需三个独立的条件圆的方程Ax（1）标准方程：xa2yb2,r2,a ,b 圆心, r0半径；11、直线（2）一般方程：x2y2Dx0,（D2E24FEyFD,ED2E24F圆心rByC0与圆222b2r2xa2y的位置关系有三种如AaBb2C,ddr相离02 ABdr相切0dr相交012 、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1, O2,半径分别为r1,r2,O 1O2ddr1r2外离4 条公切线dr1r2外切3 条公切线r 1r2相交2 条公切线r 1r 2ddr 1r 2内切1 条公切线0dr 1r 2内含无公切线4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -外离 外切相交内切内含13 、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义：如F 1,F 2 是两定点, P 为动点,且PF 1PF22aF 1F 2（ a 为常数）就 P 点的轨迹是椭圆；定义：如F 1 为定点, l 为定直线,动点P 到 F 1 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e（ 0<e<1 ）,就 P 点的轨迹是椭圆；标 准 方 程 ：x2y21a2b2ab0 a 值域：定义域：xaxxbyb ,短轴长长轴长 = a=2b 焦距： 2c 准线方程：xe a2a2,PF2e a2x ,PF 12 aPF 2,acPF 1acc焦半径 ：PF1xcc5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -等（ 留意涉及焦半径用点P 坐标表示,第肯定义； ）留意：（1）图中线段的几何特点：A 1F 1 A 2 F 2 a c,A 1F 2 A 2 F 1 a c2 2B 1F 1 B 1 F 2 B 2 F 2 B 2 F 1 a,A 2 B 2 A 1 B 2 a b 等等；顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a , b , c 有关；（2）PF 1F 2 中常常利用余弦定理 、三角形面积公式 将有关线段 PF 、PF 、2c,有关角 F 1PF 2 结合起来,建立 PF + PF 、PF 1 PF 2 等关系x a cos（3）椭圆上的点有常常用到三角换元：；y b sin（4）留意题目中椭圆的焦点在 x 轴上仍是在 y 轴上,请补充当焦点在 y 轴上时,其相应的性质；二、双曲线（一）定义：如F1,F 2 是两定点,PF 1PF 22 aF 1F2（ a 为常数）,就动点 P 的轨迹是双曲线；如动点P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数e（e>1 ）,就动点 P的轨迹是双曲线；（二）图形：（三）性质方程：x2y21a0 ,b0y2x21a0,b0a2b2a2b26 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -定义域：xxa 或xa ；值域为 R；实轴长 = a 2,虚轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程：xa2ca2c焦半径 ：PF 1e xa2,PF2e a2x,PF 1PF 22 a；cc留意：（1）图中线段的几何特点：AF 1BF2ca,AF 2BF1ac顶点到准线的距离：aa2或aa2；焦点到准线的距离：ca2或cccc两准线间的距离=2a2b axc（2）如双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y20ya2b2a2b2如渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为x2y222aabab如双曲线与x2y21有公共渐近线,可设为x2y2a2b2a2b2y=x ,（0,焦点在 x 轴上,0,焦点在 y 轴上）（3）特殊地当ab 时离心率e2两渐近线相互垂直,分别为此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2；,将有关（4）留意PF1F2中结合定义PF 1PF 22 a与余弦定理cosF1PF2线段PF 、PF 、F 1F 2和角结合起来；（5）完成当焦点在 二、抛物线y 轴上时,标准方程及相应性质；（一）定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线；即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1 ）；（二）图形：7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（三）性质：方程：y22px,p0,p焦参数；焦点： p 2, 0 ,通径AB2p；px 1x2pp准线：p 2；CDx 1px 2x焦半径：CFxp,过焦点弦长222p ；焦点到准线的距离 2= p ；通径长 =2留意：（1）几何特点：焦点到顶点的距离=顶点是焦点向准线所作垂线段中点；（2）抛物线y2x2px上的动点可设为Py2,y或p2P2pt22,ptP其中y22px或,y解析几何新题型【考点透视】一直线和圆的方程8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1懂得直线的斜率的概念,把握过两点的直线的斜率公式,把握直线方程的点斜式、两点 式、一般式,并能依据条件娴熟地求出直线方程2把握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够依据 直线的方程判定两条直线的位置关系3明白二元一次不等式表示平面区域4明白线性规划的意义,并会简洁的应用5明白解析几何的基本思想,明白坐标法6把握圆的标准方程和一般方程,明白参数方程的概念,懂得圆的参数方程二圆锥曲线方程1把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质2把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质3把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质4明白圆锥曲线的初步应用【例题解析】考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之 . p4,例 1如抛物线y22px的焦点与椭圆x22 y1的右焦点重合,就p的值为（）62A2B 2C4D 4考查意图 : 此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆x2y21的右焦点为 2,0 ,所以抛物线y22px 的焦点为 2,0 ,就62应选 D. 考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之 . 例 2已知抛物线y-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B,就 |AB| 等于1,A.3 B.4 C.32D.42考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为 yxb ,由yx2 xb32 xxb30x 1x 2y9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -进而可求出AB 的中点M1,1b ,又由M1,1b 在直线xy0上可求出2222b1,x20,由弦长公式可求出AB1 1 21 24 23 2x2应选 C 例 3如图,把椭圆x2y21的长轴5.35.2516AB 分成 8 等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P P P P P P P七个点, F 是椭圆的一个焦点,就PFP FP FP FP FP FP F_. 考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的敏捷应用解答过程：由椭圆2 x2 y1的方程知a225,a5.2516PFPFP FP FP FP FP F72 a7a72故填 35. 考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: . 1 椭圆的 离心率 ec 0,1 e 越大就椭圆越扁 a; 2 双曲线的 离心率 ec 1, e 越大就双曲线开口越大 a结合有关学问来解题. 例 4已知双曲线的离心率为2,焦点是 4,0 , 4,0 ,就双曲线方程为Ax 2y 21 Bx 2y 21 Cx 2y 21 Dx 2y 214 12 12 4 10 6 6 10考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念 . 解答过程：e c 2, c 4, 所以 a 2, b 212. 应选 A. a小结 : 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要留意仔细把握 .特殊对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要仔细体会 . 例 5已知双曲线 3 x 2y 2 9 ,就双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于（）A. 2 B. 2 3 C. 2 D.4 310 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和离心率 ec 1, 的有关学问的应用才能 a.解答过程：依题意可知a3,ca2b23923考点 4.求最大 小值求最大 小 值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 小值 :特殊是 ,一些题目仍需要应用曲线的几何意义来解答. 2例 6已知抛物线y2=4x,过点 P4,0 的直线与抛物线相交于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,就 y 12+y 2的最小值是 . 考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大小值的方法 .解:设过点 P4,0 的直线为yk x4 ,k2x28x164 ,2 k x28 k24x16k20,y 12y 224x 1x 248 k22416 2132.kk2故填 32. 考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第肯定义中的限制条件、圆锥曲线其次定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够娴熟运用；常用的解题技巧要熟记于心 . 例 7在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在其次象 限、半径为 22 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆x2y2=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. a29（1）求圆 C 的方程；（2）摸索究圆C 上是否存在异于原点的点Q,使 Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF的长 .如存在,恳求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由. 考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础学问,考查综合运用数学学问 进行推理运算的才能和解决问题的才能解答过程 1 设圆 C 的圆心为m, n 8就mn,解得m2,n222,n2.所求的圆的方程为x22y2211 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 由已知可得2a1 0,a5椭圆的方程为2 x2 y1, 右焦点为F 4, 0 ; 8OF, 221259假设存在Q 点22 2 cos ,22 2 sin使 QF222 cos42222 sin242 cos1整理得si n3 c o s2, 代入sin2得:2 10cos12 2 cos70, cos12212 21010因此不存在符合题意的Q 点. 例 8如图 ,曲线 G 的方程为 y 22 x y 0 .以原点为圆心,以 t t 0 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的 正半轴相交于 A 与点 B. 直线 AB 与 x 轴相交于点 C. （）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；（）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线 CD 的斜率为定值 . 考查目的 本小题综合考查平面解析几何学问,主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算才能与思维才能,综合分析问题的才能. x2 y1.解答过程 （I）由题意知,Aa,2a.由于|OA|t,所以a22at2.由于t0 ,故有ta22 a.（1）由点 B（0, t）, C（ c,0）的坐标知,直线BC 的方程为ct又因点 A 在直线 BC 上,故有a2 a,1cta. 将（ 1）代入上式,得aa 2a2,1解得ca22 ca（II）由于D a22 a2 ,所以直线CD 的斜率为k CD2 a2a2a2a2 a2 2a2 1,a2c222 a2 所以直线 CD 的斜率为定值 . 12 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 9已知椭圆E :x2y21ab0,AB 是它的一条弦,M2,1 是弦 AB 的中点,如22ab以点 M2,1 为焦点,椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点 N4,1,如椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满意ee 11 ,求：（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程 . 解答过程：（ 1）设 A、B 坐标分别为Ax , y , Bx , y ,1 1 2 2e 112,就x2 1y2 11,x2y21,二式相减得：222 a2 ba2b2kABy1y2x11x b 222b2kMN12 11,xxy2a24y a 212所以a22b22a2c ,2 a2 2c ,就ec2；a2（2）椭圆 E 的右准线为xa22c22c,双曲线的离心率cce设 Px, y 是双曲线上任一点,就：| PM |x22y122,21或 c3,| x2c | x2c |两端平方且将N4,1代入得： c当 c1时,双曲线方程为：x22y120 ,不合题意,舍去；当 c3时,双曲线方程为：x10y1232 ,即为所求 . 小结：（1）“点差法 ”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时,如有焦点、准线,就通常会用到其次定义 . 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简洁化,便于懂得和运算 . 典型例题：例 10 双曲线 C 与椭圆x22 y1有相同的焦点,直线y=3 为 C 的一条渐近线 . 841 求双曲线 C 的方程；2 过点 P0,4 的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合） .当PQ1QA2QB,且128时,求 Q 点的坐标 . ,以及运用3考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面对量等学问综合解题的才能数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的才能. 13 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解答过程：（）设双曲线方程为x2y21, a2b2由椭圆x2y21,求得两焦点为 2,0,2,0,84对于双曲线C c2,又y3x 为双曲线 C 的一条渐近线b3解得a21,b23,a双曲线 C 的方程为2 xy213（）解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零2. Q4,0. ,就设 l 的方程：ykx4,A x y 1 1,B x 2,ykPQ1QA,4, 41x 14,y 1. kk441x 14x 1y 1414kkkk41y 11A x y在双曲线 C 上,1611121610. 16k20.k211632116216k2k220.16k22321161313同理有：16k223221616k20.k20,23.16如16k20,就直线 l 过顶点,不合题意1,2是二次方程16k2x232x1616k20.的两根 . 312k328,k24,此时0,k2. 2163所求Q的坐标为 2,0. 解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零,0. 设 l 的方程,ykx4,A x 1,y 1,B x2,y 2,就Q4kPQ1QA,Q 分 PA 的比为1. 由定比分点坐标公式得14 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -411x 1x 14 1 k 11k1041y 1y 14111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零ykx4,A x y 1,B x 2,y 2,设 l 的方程：ykx4,A x 1,y 1,B x 2,y2,就Q4,0. kPQ1QA2QB,4, 41x 14,y 12x 24,y 2. kkk41y 12y ,14,24,y 1y 2又128,112,即3y 1y 22y y. 3y 1y 23将ykx4代入2 xy21得3k2y224y483k20. 33k20,否就 l 与渐近线平行 . y 1y 23242,y y 12483k2. k3k2332422483 k2k2.k2k3Q 2,0. 解法四： 由题意知直线l 得斜率 k 存在且不等于零,