2022年高中数学二次函数试题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数1（人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题）解析式、待定系数法如fxx2bxc ,且f10,f30,求f1的值变式 1：如二次函数fx2 axbxc 的图像的顶点坐标为2, 1 ,与 y 轴的交点坐标为0,11,就Aa1,b4,c11Ba3,b12,c11、Ca3,b6,c11Da3,b12,c11变式 2：如fxx2b2x3,x , b c 的图像 x=1 对称,就 c=_变式3： 如二次函数fxax2bxc 的图像与x 轴有两个不同的交点A x 1,0B x 2,0,且2 x 1x2226,试问该二次函数的图像由fx3x12的图像向上平移几个9单位得到？2（北师大版第52 页例 2）图像特点将函数fx2 3 x6x1配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像名师归纳总结 f变 式1 ： 已 知 二次 函数fx2 axbxc , 如 果fx 1ffx 2 其 中x 1x , 就 2xx 1x 2D4acab22AbBbC cf2aa0、f1、4变式 2：函数fxx2pxq 对任意的x 均有f1x1x ,那么f1的大小关系是f1yAf1f1f0Bf0f1Cf1f0f1Df1f0f1变式 3：已知函数fx2 axbxc 的图像如右图所示,O请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）单调性已知函数 f x x 22 x,g x x 22 x x 2,41求 f x , g x 的单调区间； 2 求 f x , g x 的最小值2变式 1：已知函数 f x x 4 ax 2 在区间 ,6 内单调递减,就 a 的取值范畴是Aa 3 Ba 3 Ca 3 Da 3变式 2：已知函数 f x x 2a 1 x 5 在区间 12 ,1上为增函数,那么 f 2 的取值范畴是_变式 3：已知函数fx2 xkx 在 2, 4 上是单调函数,求实数k 的取值范畴4（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）最值2 2已知函数 f x x 2 x,g x x 2 x x 2,41求 f x , g x 的单调区间； 2 求 f x , g x 的最小值2变式 1：已知函数 f x x 2 x 3 在区间 0,m上有最大值 3,最小值 2,就 m 的取值范畴是A 1,f3xB 0,2C 1,2D,2变式 2：如函数y24的最大值为M,最小值为m,就 M + m 的值等于 _2 a2在区间 0,2 上的最小值为3,求 a 的值变式 3：已知函数x42 x4axa25（人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题）奇偶性已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数,当x 0 时,fxx1x 画出函数fx 的图像,并求出函数的解析式变式 1：如函数ffxm1x22 m1x1 是偶函数,就在区间,0 上 fx 是A增函数B减函数bxC常数D可能是增函数,也可能是常数变式2： 如函数x2 ax3ab a1x2a 是偶函数,就点a b 的坐标是_名师归纳总结 变式 3：设 a 为实数,函数fx x2f|xa|1,xR第 2 页,共 17 页I争论f x 的奇偶性； II 求x的最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6（北师大版第 64 页 A 组第 9 题）图像变换x24x3, 3x020,9 2已知f x 3 x3,0x12 x6x5,1x61画出函数的图象；2求函数的单调区间；3求函数的最大值和最小值变式 1：指出函数y2 x2x3的单调区间变式 2： 已知函数fx|x22axb|xR 给以下命题：fx必是偶函数； 当f0f2 时,fx的图像必关于直线x=1 对称； 如a2b0,就fx 在区间 a, 上是增函数；fx有最大值|a2b|其中正确的序号是_变式 3：设函数fxx|x|bxc ,给出以下 4 个命题：当 c=0 时,yfx是奇函数；当 b=0,c>0 时,方程f x 0只有一个实根；yfx的图象关于点（0,c）对称；方程fx0至多有两个实根上述命题中正确的序号为7（北师大版第54 页 A 组第 6 题）值域求二次函数f x 22 x6x 在以下定义域上的值域：1定义域为xZ0x3； 2 定义域为2,1 变式 1： 函数f x 2 x26 x2x2的值域是A20,3 2B20,4C20,9D22变式 2：函数 y=cos2x+sinx 的值域是 _f 1 + x = f 1变式 3：已知二次函数f x = a x 2 + bx（a、b 为常数,且a 0）,满意条件x,且方程f x = x 有等根1求 f x 的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2是否存在实数m、n（m < n）,使f x 的定义域和值域分别为m,n 和 3m,3n,假如存在,求出 m、 n 的值,假如不存在,说明理由8（北师大版第 54 页 B 组第 5 题）恒成立问题2当 a b c 具有什么关系时,二次函数 f x ax bx c 的函数值恒大于零？恒小于零？变式 1：已知函数 f x = lg a x 2 + 2x + 1 I如函数 f x 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴；II 如函数 f x 的值域为 R,求实数 a 的取值范畴变式 2：已知函数 f x x 2 ax 3 a ,如 x 2,2 时,有 f x 2 恒成立,求 a 的取值范畴变式 3：如 f x = x 2 + bx + c,不论、为何实数,恒有f sin 0,f 2 + cos 0I 求证： b + c = 1；II 求证：c3；x 1,0和x 2,0,试确定xIII 如函数f sin 的最大值为8,求 b、c 的值9（北师大版第54 页 B 组第 1 题）根与系数关系右图是二次函数fxax2bxc 的图像,它与x 轴交于点a b c 以及x x ,x 1x 的符号1y变式 1：二次函数yax2b与一次函数yaxbab1xO12x在同一个直角坐标系的图像为名师归纳总结 变式 2：直线yyyyy1x2 m3,第 4 页,共 17 页O xOxOxOxA BCDmx3与抛物线C 1:yx25 mx4m ,C2:yx 22 mC3:yx23 mx2 m3中至少有一条相交,就m 的取值范畴是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 3：对于函数f x,如存在x0R,使 f x0 = x0 成立,就称x0 为 f x 的不动点假如函数f x = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点x1、x2I如 x1 < 1 < x2,且 f x 的图象关于直线x = m 对称,求证m > 1 2；II 如 | x1 | < 2 且 | x1x2 | = 2,求 b 的取值范畴10（北师大版第 52 页例 3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料依据以前的统计数据,如零售价定为每瓶 4元,每月可销售 400 瓶；如每瓶售价每降低 0.05 元,就可多销售 40 瓶在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润？变式 1：在抛物线fx2 xax 与 x 轴所围成图形的内接y矩形 一边在 x 轴上 中如图 ,求周长最长的内接矩形两边之比,其中 a 是正实数A Dx变式 2：某民营企业生产A,B 两种产品, 依据市场调查与猜测,OBCA 产品的利润与投资成正比,其关系如图一； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）1 分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；2 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B两种产品的生产,问：怎样安排这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1 万元）？fx a1x21x1x的最大值为ga 变式 3：设 a 为实数,记函数名师归纳总结 （）求 ga；（）试求满意gag1的全部实数a第 5 页,共 17 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数答案1（人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题）解析式、待定系数法式是变式 1： 解： 由题意可知b21,解得a3,应选 D2 a4 acb 2b124 ac11c11变式 2： 解： 由题意可知b221,解得 b=0,02c1,解得 c=2变式 3：解： 由题意可设所求二次函数的解析式为fx3x12k ,绽开得fx2 3 x6x3k ,x 1x22,x x 233k,2 x 1x 22x 1x222x x226,即42 3k26,解得k49339所以,该二次函数的图像是由fx3x12的图像向上平移4 3单位得到的,它的解析fx3x124,即fx3 x26x5332（北师大版第52 页例 2）图像特点变式 1： 解： 依据题意可知x 12x2b,fx 12x 24acab2,应选 D2a4变式 2： 解： f1xf1x ,抛物线fxx2pxq 的对称轴是x1,p1 即p2,2fx2 x2xq ,f0q 、f13q 、f11q ,故有f1f0f1,选 Cy变式 3： 解： 观看函数图像可得：名师归纳总结 a>0开口方向 ； c=1和 y 轴的交点 ；10；Ox 4 a2b10和 x 轴的交点 ；ab10fb24a0判别式 ； 1b2对称轴 2 a第 6 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）单调性变式 1： 解： 函数 f x x 24 ax 2 图像是开口向上的抛物线,其对称轴是 x 2 a ,由已知函数在区间 ,6 内单调递减可知区间 ,6 应在直线 x 2 a 的左侧,2 a 6,解得 a 3,应选 D变式 2：解： 函数 f x x 2a 1 x 5 在区间 12 ,1上为增函数,由于其图像 抛物线 开a 1 1 1 a 1 1口向上,所以其对称轴 x 或与直线 x 重合或位于直线 x 的左侧,即应有,2 2 2 2 2解得 a 2,f 2 4 a 1 2 5 7,即 f 2 72变式 3：解： 函数 f x x kx 的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是kx,2已知函数在 2, 4 上是单调函数,区间 2, 4 应在直线 x k的左侧或右侧,2即有 k 2 或 k4,解得 k 4 或 k 82 24（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）最值 y2变式 1： 解： 作出函数 f x x 2 x 3 的图像,O x名师归纳总结 开口向上,对称轴上x=1,顶点是 1,2,和 y 轴的交点是 0,3,6,第 7 页,共 17 页m 的取值范畴是 1m2,应选 C变式 2： 解： 函数有意义,应有x240,解得2x2,0x2440x24203x24M=6,m=0,故 M + m=62 a变式 3： 解： 函数 fx 的表达式可化为fx4xa222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0a2,即 0a4时, fx 有最小值 22a ,依题意应有22a3,解得2a1 2,这个值与 00a4相冲突a22 a2是最小值,依题意应有4a22 a23,解得当a0,即a0时,f02a12,又a,a12为所求a22a2是最小值,a510为所当a2,即a4时,f2168 a2aa22a23,解得a510,又a依题意应有168求综上所述,a12或a5105（人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题）奇偶性变式 1： 解： 函数fxm1x2m21x1是偶函数m210m1,当m1时,fx1是常数； 当m1时,fx2x21,在区间,0 上 fx 是增函数,应选D1且b0,点,a b 的坐2a0且b0,即a变式 2：解： 依据题意可知应有a13标是1,0 3xx 2|x|1fx ,此时,fx为偶函变式 3： 解：（I）当a0时,函数f数；名师归纳总结 为fa 当a0时,fa a21,fa a22|a|1,第 8 页,共 17 页fafa,fafa,此时fx 既不是奇函数,也不是偶函数（II ）（i）当xa时,fx x2xa1x12a3,24如a1,就函数fx 在,a 上单调递减,从而函数fx在,a 上的最小值2a21,就函数f x 在,a 上的最小值为f13a,且f1fa如a12242xa时,函数fxx2xa1x12a3,（ii ）当24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如a1,就函数fx在,a 上的最小值为f13a,且f1fa,2242如a1,就函数fx在a,上单调递增,从而函数fx在a,上的最小值2为fa a21综上,当a1时,函数fx的最小值为3a；24y当1a1时,函数fx的最小值为a21；22当a1时,函数fx的最小值为3a246（北师大版第64 页 A 组第 9 题）图像变换变式1： 解： 函数可转化为二次函数,作出函数图像,由图像可得单调区间当x0时,yx22x3x124,当x0时,yx22x3x124作出函数图像,由图像可得单调区间在, 1 和 0,1 上,函数是增函数；在1,0 和 1,Ox上,函数是减函数变式 2： 解： 如a1,b1,就f x |x22 x1|x22x1,明显不是偶函数,所以是不正确的；如a1, b4,就f x |x22 x4 |,满意f0f2,但f x 的图像不关于直线x=1 对称,所以是不正确的；名师归纳总结 如a2b0,就f x |2 x2 axb|x22 axb ,图像是开口向上的抛物线,其对称第 9 页,共 17 页轴是 xa,f x 在区间 a, 上是增函数,即是正确的；明显函数f x |2 x2 axb|xR 没有最大值,所以是不正确的变式 3： 解：f x x x|bxcx22bxc x00,xbxc x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1当 c=0 时,f x x xbx,满意fxfx ,是奇函数,所以是正确的；2当 b=0,c>0 时,f x x xcx22c x00,c,所以是正确的；xc x方程fx0即x 2c0或xx20c0,x0明显方程x2c0无解；方程xx20c0的唯独解是 xx03设x 0,y 0是函数f x x x|bxc 图像上的任一点,应有y 0x 0|x 0|bx 0c ,而该点关于（0, c）对称的点是x 0,2cy 0,代入检验2 cy 0x 0|x 0|bx 0c 即y 0x 0|x 0|bx 0c , 也 即y 0x 0|x 0|bx 0c , 所 以x 0,2cy 0也 是 函 数f x x x|bxc 图像上的点,所以是正确的；有三个根,所以是不正4如b1, c0,就f x x x|x,明显方程x x|x0确的名师归纳总结 7（北师大版第54 页 A 组第 6 题）值域第 10 页,共 17 页变式 1： 解：作出函数f x 2x26x2x2的图象, 简单发觉在2,3上是增2函数,在3 ,2 2上是减函数,求出f 220,f24,f39,留意到函数定义不包22含x2,所以函数值域是20,92变式 2：解： y= cos2x+sinx=2sin 2x+sinx+1,令 t= sinx就 y=2t 2+t+1,其中 t 1,1, 1,1, y 2, 9 8 ,即原函数的值域是2, 9 8 变式 3： 解： I f 1 + x = f 1x, b 2a= 1,又方程f x = x 有等根a x 2 + b 1 x = 0 有等根, = b1 2 = 0 b = 1 a = 1 2, f x = 1 2 x 2 + x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - II f x 为开口向下的抛物线,对称轴为x = 1,1当 m 1 时, f x 在 m,n 上是减函数,R, 3m = f xmin = f n = 1 2 n 2 + n * ,3n = f xmax = f m = 1 2 m 2 + m,两式相减得： 3 mn = 1 2 n 2m 2 + n m,1m < n,上式除以mn 得： m + n = 8,代入* 化简得： n 28n + 48 = 0 无实数解2当 n1 时, f x 在 m,n 上是增函数, 3m = f xmin = f m = 1 2 m 2 + m,3n = f xmax = f n = 1 2 n 2 + n,m = 4,n = 03当 m1n 时,对称轴x = 1 m,n, 3n = f xmax = f 1 = 1 2n = 1 6与 n1 冲突综合上述知,存在m = 4、n = 0 满意条件8（北师大版第54 页 B 组第 5 题）恒成立问题变式 1： 解： I 函数f x 的定义域为R,即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为应有a > 0a > 1, = 44a < 0 实数a 的取值范畴是 1,+ II 函数 f x 的值域为R,即 a x 2 + 2x + 1 能够取0,+ 的全部值1当 a = 0 时, a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1 满意要求；2当 a 0 时,应有a > 0 0 < a 1 = 44a 0 实数a 的取值范畴是 0,1 变式 2： 解法一： 转化为最值 名师归纳总结 f x 2在2,2 上恒成立,即2f x x2ax1a0在2,2 上恒成立第 11 页,共 17 页a24 1a0,2 2a22 2；5a2 22a241a0f20f 20,a2 或a222综上所述5a222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二：（运用根的分布）当a 22,即a4时,应有g a f 2273a2, 即a55 3,a 不存在；4当2a2,即4a4时,应有g a faa2a32,224即2222,4a222a2；当a 22,即a4时,应有g a f27a2,即a,5a综上所述5a222变式 3： 证明： I 依题意, f sin 2 = f 1 0,f 2 + cos = f 1 0,f 1 = 0 1 + b + c = 0 b + c = 1,成立II 由 I 得： f x = x 2c + 1 x + c* f 2 + cos 0 2 + cos 2 c + 1 2 + cos + c0 1 + cos c2 + cos 0,对任意 1 + cos0 c2 + cos, c2 + cos max = 3III 由 * 得： f sin = sin 2 c + 1 sin + c,设 t = sin,就 gt = f sin = t 2c + 1 t + c, 1 t1,这是一开口向上的抛物线,对称轴为t = c + 1 2,由 II 知： t3 + 1 2= 2, gt 在 1,1 上为减函数 gtmax = g1 = 1 + c + 1 + c = 2c + 2 = 8 , c = 3 b = c1 = 49（北师大版第54 页 B 组第 1 题）根与系数关系yaxb交于两点o,b、1 ,ab,变式 1： 解： 二次函数yax2b与一次函数图象由二次函数图象知a,b同号,而由B,C中一次函数图象知a,b异号,相互冲突,故舍去aB,Cb1,又由b知,当a0时,b1,此时与 A 中图形不符, 当 0abb 时,aa与 D 中图形相符名师归纳总结 变式22：2 m解：原命题可变为：求方程mx3x25mx4 m,第 12 页,共 17 页mx3x1 x2 m3,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - mx3x23 mx2m3中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是：“ 三个方程均无实数解” ,于是,从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值,即得所求解不等式组 4 m 24 4 m3,0得3m1,1 2 m1 22 4 m,024 m24 2m ,0故符合条件的 m取值范畴是m3或m12变式 3： 解： I 由 f x 表达式得m = b 2a, gx = f xx = a x 2 + b1 x + 1,a > 0,由 x1,x2 是方程f x = x 的两相异根,且x1 < 1 < x2, g1 < 0 a + b < 0 b a > 1 b 2a > 1 2,即 m > II = b 1 24a > 0 b1 2 > 4a,x1 + x2 = 1b, x1x2 = 1 a,a | x1x2 | 2 = x1 + x2 24x1x2 = 1b 24 a = 2 2,a b1 2 = 4a + 4a 2 *又| x1x2 | = 2, x1、x2 到 gx 对称轴x = 1b的距离都为1,2a要 gx = 0 有一根属于2,2,就 gx 对称轴x = 1b 2a 3,3, 3 < b1 2a< 3 a > 1 6 | b 1 |,把代入* 得： b1 2 > 2 3 | b1 | + 1 9 b1 2,解得： b < 1 4或 b > 7 4, b 的取值范畴是：, 1 4 7 4 ,+10（北师大版第52 页例 3）应用变式 1： 解： 设矩形 ABCD 在 x 轴上的边是BC,BC