2022年高中数学立体几何知识点复习总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中课程复习专题 数学立体几何一 空间几何体 空间几何体的类型1 多面体： 由如干个平面多边形围成的几何体；围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；2 旋转体： 把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体；其中,这条直线称为旋转体的轴； 几种空间几何体的结构特点1 棱柱的结构特点1.1 棱柱的定义： 有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱；1.2 棱柱的分类图 1-1 棱柱 图 1-1 棱柱1.3 棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形；1.4 长方体的性质 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC 1 2 = AB 2 + AC 2 + AA 1 2 长方体的一条对角线 AC 1与过定点 A 的三条棱所成图 1-2 长方体的角分别是 、,那么：cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 sin 2 + sin 2 + sin 2 = 2 长方体的一条对角线 AC 1与过定点 A 的相邻三个面所组成的角分别为 、,就：cos 2 + cos 2 + cos 2 = 2 sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 1.5 棱柱的侧面绽开图：正 n 棱柱的侧面绽开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.6 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h c 为底面周长, h 为棱柱的高 S直棱柱全= c·h+ 2S底 V棱柱= S底·h 2 圆柱的结构特点 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴, 其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱；2-2 圆柱的性质图 1-3 圆柱 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； 过轴的截面 轴截面 是全等的矩形；2-3 圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形；2-4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2 ·r·h r 为底面半径, h 为圆柱的高 2 S圆柱全= 2 r h + 2 r V圆柱= S底h = r 2h 3 棱锥的结构特点 3-1 棱锥的定义 棱锥：有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥； 正棱锥： 假如有一个棱锥的底面是正多 图 1-4 棱锥 边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥；3-2 正棱锥的结构特点 平行于底面的截面是与底面相像的正多边形,面的距离之比；相像比等于顶点到截面的距离与顶点究竟 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中的六个元素,即侧棱 SB 、高 SO、斜高 SH、侧棱在底面上的射影 OB 、斜高在底面上的射影 OH 、底面边长的一半 BH ,构成四个直角三角形 三角形 SOB、SOH、SBH、OBH 均为直角三角形 ；3-3 正棱锥的侧面绽开图：正 n 棱锥的侧面绽开图是由 n 个全等的等腰三角形组成；3-4 正棱锥的面积和体积公式S正棱锥侧 = 0.5 c hc 为底面周长, h 为侧面斜高 S正棱锥全= 0.5 c h + S底面V棱锥= 1/3 S底面·h h 为棱锥的高 4 圆锥的结构特点名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4-1 圆锥的定义： 以直角三角形的始终角边所在的直线为旋 转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆 锥；4-2 圆锥的结构特点 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等 于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比； 轴截面是等腰三角形； 母线的平方等于底面半径与高的平方和：图 1-5 圆锥l 2 = r 2 + h 24-3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形；4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧= r·l r 为底面半径, l 为母线长 S圆锥全= r·r + l V圆锥= 1/3 2· r h h 为圆锥高 5 棱台的结构特点 5.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台；5.2 正棱台的结构特点 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边 图 1-6 棱台 形； 正棱台的对角面也是等腰梯形； 棱台常常被补成棱锥,然后利用形似三角形进行讨论；5-3 正棱台的面积和体积公式S棱台侧= n/2 a + b ·ha 为上底边长, b 为下底边长, h 为棱台的斜高,n 为边数 S棱台全= S上底+ S下底+ S侧 V棱台= 6 圆台的结构特点 6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥,我 们把截面和底面之间的部分称为圆台；6-2 圆台的结构特点 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； 圆台的截面是等腰梯形；名师归纳总结 圆台常常补成圆锥,然后利用相像三角形进行讨论；图 1-7 圆台第 3 页,共 10 页6-3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= ·R + r ·l r、R 为上下底面半径 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S圆台全= ·r学习必备欢迎下载2 + ·R2 + ·R + r·l V圆台= 1/3 r 2 + R 2 + r R h h 为圆台的高 7 球的结构特点 7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体；空间中,与定 点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的 几何体称为球体；7-2 球的结构特点 球心与截面圆心的连线垂直于截面； 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差： r 2 = R2 d 2图 1-8 球7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是： 依据题意,确定是内接仍是外切,画出立体图形； 找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后做出剖面图； 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； 留意圆与正方体的两个关系：球内接正方体,球直径等于正方体对角线；球外切正方体,球直径等于正方体的边长；7-4 球的面积和体积公式 2 S球面= 4 R R 为球半径 3 V球= 4/3 R 空间几何体的视图1 三视图：观看者从三个不同的位置观看同一个空间几何体而画出的图形；正视图：光线从几何体的前面对后面正投影,得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面对右边正投影,得到的投影图；留意： 俯视图画在正视图的下方,“ 长度” 与正视图相等；侧视图画在正视图的右方,“ 宽度” 与俯视图相等；正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样“ 高度” 与正视图相等,宽 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形,而不是直观图；2 直观图 2-1 直观图的定义：是观看者站在某一点观看一个空间几何体而画出的图形,直观图通常 是在平行投影下画出的空间图形；2-2 斜二测法做空间几何体的直观图 在已知图形中取相互垂直的轴 画直观图时,把它画成对应的轴Ox、Oy,即取 xOy = 90 ° ；O x 、O y,取 x O y = 45° 或 135° ,它们确定的名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面表示水平平面； 在坐标系 xo中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x 轴的线段保持长度不变；平行于 y 轴的线段长度减半；结论：采纳斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 2-3 解决关于直观图问题的留意事项 由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“ 俯视图”； 由几何体的直观图画三视图时,能观察的轮廓线和棱画成实线,不能观察的轮廓线和棱 画成虚线；二 点、直线、平面之间的关系 平面的基本性质 1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化图形语言文字语言符号语言点 A 在直线 a 上A a 点 B 在直线 a 外Ba 点 A 在平面 内A 点 B 在平面 外B直线 a在平面 内a直线 b 在平面 外b直线 a与平面 相交于点 A a =A直线 a与直线 b 相交于点 A a b=A 平面 与平面 交于直线 a =a名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 平面的基本性质 公理一：假如一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内；公理二：不共线的三点确定一个平面；推论一：直线与直线外一点确定一个平面；推论二：两条相交直线确定一个平面；推论三：两条平行直线确定一个平面；公理三：假如两个平面有一个公共点,那么它们仍有公共点,这些公共点的集合是一条直 线两个平面的交线 ； 空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系相交、平行、异面 1.1 平行线的传递公理：平行于同始终线的两条直线相互平行；即： a b,b c a c 1.2 等角定理：假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补；1.3 异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线； 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直 线；即：1.4 异面直线所成的角 图 2-1 异面直线 异面直线成角的范畴：0° , 90° . 作异面直线成角的方法：平移法；留意：找异面直线所成角时,常常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特别点 如 中点、端点等 ,形成异面直线所成的角；2 直线与平面的位置关系直线在平面内、相交、平行 图 2-2 直线与平面的位置关系名师归纳总结 3 平面与平面的位置关系平行、斜交、垂直 第 6 页,共 10 页 平行关系 包括线面平行和面面平行 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点,就称为直线和平面平行；1.2 判定定理：1.3 性质定理：1.4 判定或证明线面平行的方法 利用定义 反证法 ： l = , l 用于判定 ；图 2-3 线面角 利用判定定理：线线平行线面平行用于证明 ； 利用平面的平行：面面平行线面平行用于证明 ； 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行用于判定 ；2 线面斜交和线面角：l = A 2.1 直线与平面所成的角简称线面角 ：如直线与平面斜交,就平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角；2.2 线面角的范畴： 0 °,90° 留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时, =0°；当直线垂直于平面时, =90°3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点,就称为两 平面平行；3.2 面面平行的判定定理： 判定定理1：假如一个平面内的两条相交直线都平行于图 2-4 面面平行另一个平面,那么两个平面相互平行；即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 的两条线段,那么这两个平面平行；即： 判定定理 2：垂直于同一条直线的两平面相互平行；即：3.3 面面平行的性质定理图 2-5 判定 1 推论图 2-6 判定 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 面面平行学习必备欢迎下载线面平行 夹在两个平行平面间的平行线段相等； 垂直关系 包括线面垂直和面面垂直 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：如一条直线垂直于平面内的任意一条直线,就这条直线垂直于平面；1.2 线面垂直的判定定理：1.3 线面垂直的性质定理： 如直线垂直于平面,就它垂直于平面内任意一条直线；即： 垂直于同一平面的两直线平行；即：1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 利用定义,用反证法证明； 利用判定定理证明； 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,就另一条直线也垂直与平面； 一条直线垂直于两平行平面中的一个,就也垂直于另一个； 假如两平面垂直,在一平面内有始终线垂直于两平面交线,就该直线垂直于另一平面；1.5 三垂线定理及其逆定理 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的全部线段中,斜线相 等就射影相等,斜线越长就射影越长,垂线段最短；如图：图 2-7 斜线定理 三垂线定理及其逆定理名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载已知 PO,斜线 PA 在平面 内的射影为 OA ,a 是平面 内的一条直线； 三垂线定理：如 aOA ,就 a PA；即垂直射影就垂直斜线； 三垂线定理逆定理：如 影；aPA,就 aOA ；即垂直斜线就垂直射 三垂线定理及其逆定理的主要应用 证明异面直线垂直；图 2-8 三垂线定理 作出和证明二面角的平面角； 作点到线的垂线段；2 面面斜交和二面角 2.1 二面角的定义：两平面 、 相交于直线 l,直线 a 是 内的一条直线,它过 l 上的一 O 点,也垂直于 l,就直线 a、b 所形成 点 O 且垂直于 l,直线 b 是 内的一条直线,它也过 的角称为 、 的二面角的平面角,记作-l-；2.2 二面角的范畴：-l- 0° ,180° 2.3 二面角平面角的作法： 定义法：证明起来很麻烦,一般不用； 三垂线法：常用方法； 垂面法：常用于空间几何体中的二面角；3 面面垂直3.1 面面垂直的定义：如二面角-l- 的平面角为90° ,就两图 2-9 面面垂直平面 ；3.2 判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；即：3.3 面面垂直的性质定理 如两面垂直,就这两个平面的二面角的平面角为 90° ；图 2-10 面面垂直性质 2 图 2-11 面面垂直性质 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三 立体几何主要难点1 三种角的对比角的类型范畴解题步骤异面直线0° 90°1 找：利用平移法找出异面直线所成角；所成角 固定一条直线,平移另一条直线, 将两条直线都平移至一特别位置；2 证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角,常需证明线线平行；3 运算：通过解三角形,算出异面直线角的角度；直线与平面0° 90°1 找：作出斜线与其在平面内射影的夹角,一般用三垂线定理；所成角2 证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角,常证明线面垂直；3 运算：通过解三角形,求出线面角的角度；二面角的0 1 作：依据二面角平面角的定义,作出这个平面角；平面角2 证：证明所作的角就是二面角的平面角,常用三垂线法和垂面法；3 运算：通过解三角形,求出二面角平面角的角度；2 立体几何学问网络名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页