2022年《选修---不等式选讲》知识点详解+例题+习题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -选修 45不等式选讲最新考纲： 1.懂得肯定值的几何意义,并明白以下不等式成立的几何意义及取等号的条件： 1|ab|a|b|a,bR2|ab|ac|cb|a,bR.2.会利用肯定值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c,|axb|c,|xc|xb|a.3.明白柯西不等式的几种不同形式,懂得它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简洁问题明白证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有肯定值的不等式的解法1|fx|>aa>0. fx>a 或 fx<a；2|fx|<aa>0. a<fx<a；3对形如 |xa|xb|c,|xa|xb|c 的不等式,可利用肯定值不 等式的几何意义求解2含有肯定值的不等式的性质 |a|b|a±b|a|b|.问题探究： 不等式 |a|b|a±b|a|b|中,“ ” 成立的条件分别是什么？提示： 不等式 |a|b|ab|a|b|,右侧 “ ” 成立的条件是 ab0,左侧 “ ” 成立的条件是 ab0 且|a|b|；不等式 |a|b|ab|a|b|,右 侧“ ” 成立的条件是 ab0,左侧 “ ” 成立的条件是 ab0 且|a|b|.3基本不等式 定理 1：设 a,bR,就 a2b22ab.当且仅当 ab 时,等号成立ab细心整理归纳 精选学习资料 定理 2：假如 a、b 为正数,就2ab,当且仅当 ab 时,等号成立 第 1 页,共 14 页 定理 3：假如 a、b、c 为正数,就abc3 abc,当且仅当 abc 时,3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -等号成立定理 4：一般形式的算术 几何平均值不等式 假如 a1、a2、 、an为 n 个正数,就a1a2 ann a1a2 an,当且仅当 a1a2 an 时,等号成n立4柯西不等式1柯西不等式的代数形式：设a,b,c,d 为实数,就 a2b2 · c2d2acbd2,当且仅当 adbc 时等号成立nnna2如 ai,biiN*为实数,就 i 1 2i bi1 2i ai1 ibi2,当且仅当bi0i1,2, ,n或存在一个数 k,使得 aikbii1,2, ,n时,等号成立3柯西不等式的向量形式：设, 为平面上的两个向量,就| · | |·|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立1判定正误 在括号内打“ ” 或 “ × ” 1对|ab|a|b|当且仅当 a>b>0 时等号成立 2对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立 3|axb|cc>0的解等价于 caxbc. 4不等式 |x1|x2|<2 的解集为 . . 5如实数 x、y 适合不等式 xy>1,xy>2,就 x>0,y>0. 答案 1× 23452不等式 |2x1|x<1 的解集是 A x|0<x<2 B x|1<x<2 C x|0<x<1 D x|1<x<3解析 解法一： x1 时,满意不等关系,排除C、D、B,应选 A.解法二：令 fxError. 就 fx<1 的解集为 x|0<x<2 答案 A 3设|a|<1,|b|<1,就|ab|ab|与 2 的大小关系是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A|ab|ab|>2 B|ab|ab|<2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析 |ab|ab|2a|<2.答案 B4如 a,b,c0, ,且 abc1,就 abc 的最大值为 A1 B2C. 3 D2解析 abc 21×a1×b1×c 2 121212abc3.1当且仅当 abc 时,等号成立abc 23.3 .故应选 C.故abc 的最大值为答案 C5如存在实数 x 使|xa|x1|3 成立,就实数 a 的取值范畴是_解析 利用数轴及不等式的几何意义可得 所以 a 的取值范畴为 2a4.答案 2a4x 到 a 与到 1 的距离和小于 3,考点一含肯定值的不等式的解法解|xa|xb|c或 c型不等式,其一般步骤是：1令每个肯定值符号里的代数式为零,并求出相应的根2把这些根由小到大排序,它们把定义域分为如干个区间3在所分区间上,去掉肯定值符号组成如干个不等式,解这些不等式,求 出它们的解集4这些不等式解集的并集就是原不等式的解集细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解肯定值不等式的关键是恰当的去掉肯定值符号12022 ·山东卷 不等式 |x1|x5|<2 的解集是 A, 4 B, 1 C1,4 D1,5 22022 ·湖南卷 如关于 x 的不等式 |ax2|<3 的解集为 Error. ,就 a_.解题指导 切入点： “ 脱掉” 肯定值符号； 关键点： 利用肯定值的性质 进行分类争论解析 1当 x<1 时,不等式可化为 x1x5<2,即 4<2,明显 成立,所以此时不等式的解集为 ,1；当 1x5 时,不等式可化为x1x5<2,即 2x6<2,解得 x<4,又1x5,所以此时不等式的解集为 1,4；当 x>5 时,不等式可化为 x1x5<2,即 4<2,明显不成立,所以此时不等式无解综上,不等式的解集为 ,4应选 A.2|ax2|<3, 1<ax<5.1 5当 a>0 时, <x< ,与已知条件不符；a a当 a0 时,xR,与已知条件不符；5 1当 a<0 时, <x< ,又不等式的解集为 Error. ,故 a 3.答案 1A23用零点分段法解肯定值不等式的步骤：1求零点； 2划区间、去肯定值号；3分别解去掉肯定值的不等式；4取每个结果的并集,留意在分段时不要遗漏区间的端点值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -对点训练 已知函数 fx|xa|x2|.1当 a3 时,求不等式 fx3 的解集；2如 fx|x4|的解集包含 1,2,求 a 的取值范畴解1当 a 3 时,fxError.当 x2 时,由 fx3 得2x53,解得 x1；当 2<x<3 时, fx3 无解；当 x3 时,由 fx3 得 2x53,解得 x4；所以 fx3 的解集为 x|x1 或 x42fx|x4|. |x4|x2|xa|. 当 x1,2时, |x4|x2|xa|. 4x2x|xa|. 2ax2a. 由条件得 2a1 且 2a2,即 3a0. 故满意条件的 a 的取值范畴为 3,0考点二利用肯定值的几何意义或图象解不等式对于形如 |xa|xb|>c 或|xa|xb|<c 的不等式,利用肯定值的几何 意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式,更为直观、简捷,它表达了 数形结合思想方法的优越性|xa|xb|的几何意义是数轴上表示 应留意 x 的系数为 1.x 的点与点 a 和点 b 的距离之和,112022 ·重庆卷 如不等式 |x1|x2|a2 a2 对任意实数 x 恒成立,2就实数 a 的取值范畴是 _2不等式 |x1|x2|>k 的解集为 R,就实数 k 的取值范畴是 _解题指导 切入点： 肯定值的几何意义； 关键点： 把恒成立问题转化为 最值问题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析 1|x1|x2|x1x2|3,11 171 17a2 a23,解得 24a4.即实数 a 的取值范畴是1 171 17 4,4 2解法一：依据肯定值的几何意义,设数 x,1,2 在数轴上对应的点分别为 P,A,B,就原不等式等价于PAPB>k 恒成立 AB3,即|x1|x2|3.故当 k<3 时,原不等式恒成立解法二：令 y|x1|x2|,就 yError.要使 |x1|x2|>k 恒成立,从图象中可以看出,只要 k<3 即可故k<3 满意题意1 171 17答案 1 4,4 2, 3解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满意条件的 x 即可；不等式的恒成立问题,可转化为最值问题,即 . a<fxmin.fx<a 恒成立 . a>fxmax,fx>a 恒成立对点训练 2022 ·唐山一模 已知函数 fx|2xa|a,aR,gx|2x1|.1如当 gx5 时,恒有 fx6,求 a 的最大值；2如当 xR 时,恒有 fxgx3,求 a 的取值范畴解1gx5. |2x1|5. 52x15. 2x3；fx6. |2xa|6a. a62xa6a. a3x3. 依题意有, a32,a1.故 a 的最大值为 1.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2fxgx|2xa|2x1|a|2xa2x1|a|a1|a,当且仅当 2xa2x10 时等号成立解不等式 |a1|a3,得 a 的取值范畴是 2, 考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法许多,解题时既要充分利用已知条件,又要时刻瞄准解题目标,既不仅要搞清是什么,仍要搞清干什么,只有兼顾条件与结论,才能找到正确的解题途径应用基本不等式时要留意不等式中等号成立的条件2022 ·新课标全国卷 设 a,b,c,d 均为正数,且 abcd,证明：1如 ab>cd,就 ab > cd；2 ab > cd 是|ab|<|cd|的充要条件解题指导 切入点： 不等式的性质； 关键点： 不等式的恒等变形证明 1由于 ab 2ab2ab,cd 2cd2cd,b 2>cd 2.由题设 abcd,ab>cd 得a因此ab >cd .2如 |ab|<|cd|,就 ab2<cd2,即 ab24ab<cd24cd.由于 abcd,所以 ab>cd.由1得ab >cd .ab 2>cd 2,即如ab >cd,就 ab2ab >cd2cd .由于 abcd,所以 ab>cd.于是 ab2ab24ab<cd24cdcd2.因此 |ab|<|cd|.综上,ab >cd 是|ab|<|cd|的充要条件分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发觉条件和结论之间的关系时,可用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析法来查找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必需可逆对点训练2022 ·新课标全国卷 设 a、b、c 均为正数,且 abc1.证明：11abbcac ；3a2 b2 c22 bca1.证明 1由 a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca 得a2b2c2abbcca.由题设得 abc21,即 a2b2c22ab2bc2ca1.1所以 3abbcca1,即 abbcca .a2 b2 c22由于 bb2a,cc2b,aa2c,a2 b2 c2故 bcaabc2abc,a2 b2 c2即 bcaabc.a2 b2 c2所以 bca1. 方法规律总结 方法技巧 1肯定值不等式求解的根本方向是去除肯定值符号2肯定值不等式在求与肯定值运算有关的最值问题时需敏捷运用,同时仍要留意等号成立的条件3在证明不等式时,应依据命题供应的信息挑选合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时,要留意右边为常数易错点睛 1对含有参数的不等式求解时,分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要留意等号成立的条件细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -课时跟踪训练 七十一、填空题1不等式 |2x1|<3 的解集为 _解析 |2x1|<3. 3<2x1<3. 1<x<2.答案 1,22如不等式 |kx4|2 的解集为 x|1x3 ,就实数 k_.解析 |kx4|2, 2kx42,2kx6.不等式的解集为 x|1x3, k2.答案 23不等式 |2x1|x1|<2 的解集为 _1解析 当 x 时,原不等式等价为 2x1x1<2,即 22 2 1 13x<2,x> ,此时33 <x .当 <x<1 时,原不等式等价为 2x1 2 21x1<2,即 x<0,此时2 <x<0.当 x1 时,原不等式等价为 2x1x1 2 2 <2,即 3x<2,x< ,此时不等式无解,综上,原不等式的解为3 3 <x<0,即原不等式的解集为 2 3,0 2 3,0 答案 4已知关于 x 的不等式 |x1|x|k 无解,就实数 k 的取值范畴是 _解析 |x1|x|x1x|1,当 k<1 时,不等式 |x1|x|k 无 解,故 k<1.答案 ,1 52022 ·西安统考 如关于实数 x 的不等式 |x5|x3|<a 无解,就实数 a 的取值范畴是 _细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析 |x5|x3|x5x3|8,故 a8.答案 ,862022 ·重庆卷 如函数 fx|x1|2|xa|的最小值为 5,就实数a_.解析 当 a 1 时,fx3|x1|0,不满意题意；当 a<1 时,fxError. fxminfa3a12a5,解得 a 6；当 a>1 时, fxError. fxminfaa12a5,解得 a4.答案 6 或 47如关于 x 的不等式 |a|x1|x2|存在实数解,就实数 a 的取值范畴是_解析 fx|x1|x2|Error.fx3.要使 |a|x1|x2|有解,|a|3,即 a3 或 a3.答案 ,33,8已知关于 x 的不等式 |xa|1x>0 的解集为 R,就实数 a 的取值范畴是_解析 如 x1<0,就 aR；如 x10,就xa2>x12 对任意的x1, 恒成立,即 a1a12x>0 对任意的 x1, 恒成立,所以 Error. 舍去 或Error. 对任意的 x1,恒成立,解得 a<1.综上, a<1.答案 ,12 2 29设 a,b,c 是正实数,且 abc9,就 的最小值为 a b c_细心整理归纳 精选学习资料 解析 abc 2a2b2 cb 2c 2 第 10 页,共 14 页 a 2b 2c a 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - a·2a b·2b c·2 c 218,2 2 2 2 2 2 2, 的最小值为 2. a b c a b c答案 2102022 ·陕西卷 设 a,b,m,nR,且 a2b25,manb5,就m2n2 的最小值为 _解析 由柯西不等式,得 a2b2m2n2ambn2,即 5m2n225,m2n25,当且仅当 anbm 时,等号成立m2n2 的最小值为5 .答案 511对任意 x,yR,|x1|x|y1|y1|的最小值为 _解析 |x1|x|y1|y1|1x|x|1y|1y|1xx|1y1y|123,当且仅当 1x ·x0,1y · 1y0,即 0x1,1y1 时等号成立,|x1|x|y1|y1|的最小值为 3.答案 3412如不等式 |x1|x4|a ,对任意的 xR 恒成立,就实数 a 的取 a值范畴是 _4解析 只要函数 fx|x1|x4|的最小值不小于 a 即可由于 a|x1|x4|x1x4|5,所以 5|x1|x4|5,故只要4 45a 即可当 a>0 时,将不等式 5a 整理,得 a25a40,无解；a a4当 a<0 时,将不等式 5a 整理,得 a25a40,就有 a4 或1a<0.综上可知,实数 a 的取值范畴是 , 41,0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案 ,41,0二、解答题13已知不等式 2|x3|x4|<2a.1如 a1,求不等式的解集；2如已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范畴解1当 a1 时,不等式即为2|x3|x4|<2,如 x4,就 3x10<2,x<4,舍去；如 3<x<4,就 x2<2,3<x<4；8 如 x3,就 103x<2, <x3. 综上,不等式的解集为 Error. .2设 fx2|x3|x4|,就fxError.作出函数 fx的图象,如下列图由图象可知, fx1,12a>1,a> ,即 a 的取值范畴为 21 2,142022 ·新课标全国卷 已知函数 fx|x1|2|xa|,a>0. 1当 a1 时,求不等式 fx>1 的解集；2如 fx的图象与 x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范畴解1当 a1 时, fx>1 化为|x1|2|x1|1>0. 当 x1 时,不等式化为 x4>0,无解；2当 1<x<1 时,不等式化为3x2>0,解得 <x<1；3当 x1 时,不等式化为 x2>0,解得 1x<2. 所以 fx>1 的解集为 Error. .细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2由题设可得, fxError. 所以函数 fx的图象与 x 轴围成的三角形的三2a1 个顶点分别为 A 3,0,B2a1,0,Ca,a1, ABC 的面积为2 3 a12.2 由题设得 3 a12>6,故 a>2.所以 a 的取值范畴为 2,15设函数 fx|x1|xa|. 1如 a1,解不等式 fx3；2假如 . xR,fx2,求 a 的取值范畴解1当 a 1 时,fx|x1|x1|,fxError.作出函数 fx|x1|x1|的图象由图象可知,不等式 fx3 的解集为 Error. .2如 a1,fx2|x1|,不满意题设条件；如 a<1,fxError.fx的最小值为 1a；如 a>1,fxError.fx的最小值为 a1.对于 . xR,fx2 的充要条件是 |a1|2,a 的取值范畴是 , 13, 162022 ·福建卷 已知 a>0,b>0,c>0,函数 fx|xa|xb|c 的最 小值为 4.1求 abc 的值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 1 2求 4 a2 b2c2的最小值9解1由于 fx|xa|xb|c|xaxb|c|ab|c,当且仅当 axb 时,等号成立又 a>0,b>0,所以 |ab|ab,所以 fx的最小值为 abc.又已知 fx的最小值为 4,所以 abc4.2由1知 abc4,由柯西不等式得细心整理归纳 精选学习资料 1 a21 9 b2c2 491 第 14 页,共 14 页 a ×2b×3c ×1 2abc216,3118即4 a2 b2c2 . 9 71 a 21 b 3c当且仅当23 ,18182即 a ,b7,c 时等号成立118故4 a2 b2c2的最小值为 97 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -