2022年《一次函数》经典例题解析.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载类型一：正比例函数与一次函数定义1、当 m 为何值时,函数 y=- （m-2）x +（m-4）是一次函数？思路点拨： 某函数是一次函数,除应符合 y=kx+b 外,仍要留意条件 k 0解：函数 y=-（ m-2） x +（ m-4）是一次函数,m=-2. 当 m=-2 时,函数 y=- （m-2）x举一反三：+（m-4）是一次函数【变式 1】假如函数是正比例函数,那么（）. Am=2 或 m=0 Bm=2 Cm=0D m=1 【答案】：考虑到 x 的指数为 1,正比例系数k 0,即 |m-1|=1；m-2 0,求得 m=0,选 C 【 变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时, y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时,求 y 的值；（3）当 y=4 时,求 x 的值解析：（ 1）由于 y-3 与 x 成正比例,所以设 y-3=kx 把 x=2 ,y=7 代入 y-3=kx 中,得 7-32k, k 2 y 与 x 之间的函数关系式为（2）当 x=4 时, y=2× 4+3=11y-3=2x ,即 y=2x+3 （3）当 y 4 时, 4=2x+3, x= . 类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2,-1）,且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式思路点拨： 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2,就可设此表达式为y=2x+b ,再将点（ 2,-1）代入,求出 b 即可解析： 由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b ,图象经过点（2,-1）, -l=2 ×2+b b=-5 ,所求一次函数的表达式为 y=2x-5. 总结升华： 求函数的解析式常用的方法是待定系数法,要依据详细的题设条件求出；举一反三：详细怎样求出其中的待定系数的值,【变式 1】已知弹簧的长度y（cm）在肯定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 一次函数, 现已测得不挂重物时, 弹簧的长度为6cm,挂 4kg 的重物时, 弹簧的长度是7.2cm,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载求这个一次函数的表达式分析 : 题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式 y=kx+b ,再由已知条件可知,当 x=0 时, y=6 ；当 x=4 时, y=7.2求出 k,b 即可解：设这个一次函数的表达式为 y=kx+b 由题意可知,当x=0 时, y=6；当 x=4 时, y=7.2. 把它们代入 y=kx+b 中得这个一次函数的表达式为 y=0.3x+6 【 变式 2】已知直线 y=2x+1 （1）求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标；（2）如直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称,求 k,b 的值解析：直线 y=kx+b 与 y=2x+l 关于 y 轴对称,两直线上的点关于 y 轴对称又直线 y 2x+1 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A（-,0）, B（ 0,1）, A（-,0）,B（0,1）关于 y 轴的对称点为 A （,0）,B （0,1）直线 y=kx+b 必经过点 A （,0）,B （0,1）把 A （, 0）,B （0,1）代入 y=kx+b 中得k-2,b1所以（ 1）点 M （0,1）（2）k=-2,b=1 【 变式 3】判定三点 A（3,1）,B（0, -2）,C（4,2）是否在同一条直线上分析： 由于两点确定一条直线,应选取其中两点, 求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,如成立, 说明第三点在此直线上；如不成立, 说明不在此直线上解：设过 A,B 两点的直线的表达式为 y=kx+b 由题意可知,过 A ,B 两点的直线的表达式为 y=x-2 当 x=4 时, y=4-2=2 点 C（4,2）在直线 y=x-2 上三点 A（3, 1）, B（0,-2）,C（4,2）在同一条直线上类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某始终线上的行驶过程中,汽车离细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -动身地的距离skm 和行驶时间学习必备欢迎下载th之间的函数关系,依据图中供应的信息,回答以下问题：1汽车共行驶了 _ km ；2汽车在行驶途中停留了 _ h；3汽车在整个行驶过程中的平均速度为 _ km/h ；4汽车自动身后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是 _. 思路点拨： 读懂图象所表达的信息,弄懂并熟识图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程,横轴代表行驶时间,纵轴代表汽车的位置 .图象上的最高点就是汽车离动身点最远的距离 . 汽车来回一次,共行驶了 120× 2=240千米 ,整个过程用时4.5 小时,平均速度为 240÷4.5= 千米 /时,行驶途中 1.5 时2 时之间汽车没有行驶 . 解析： 1240； 20.5； 3 ； 4从目的地返回动身点 . 总结升华： 这类题是课本例题的变式,来源于生活,贴近实际,是中考中常见题型,应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区分 距离,横坐标表示汽车的行驶时间 . 举一反三：.此题图象上点的纵坐标表示的是汽车离动身地的【变式 1】图中,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车竞赛中所走的路程s 与时间 t 的函数关系,求它们行进的速度关系；解析： 比较相同时间内,路程s 的大小 .在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以 .甲比乙快A,再走下坡路到达点B,【 变式 2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点最终走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如下列图；放学后,假如他沿原路返回,且走平路、 上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一样, 那么他从学校到家需要的时间是A.14 分钟 B.17 分钟 C.18 分钟 D.20 分钟【答案】:D 分析：由图象可知,上坡速度为 80 米/分；下坡速度为 200 米 /分；走平路速细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载10 分钟,下坡路需要2 分钟,度为 100 米/分；原路返回,走平路需要8 分钟,上坡路需要一共 20 分钟；【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时 ,经受了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如下列图：依据图象解答以下问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升. 求排水时 y 与 x 之间的关系式；假如排水时间为 2 分钟,求排水终止时洗衣机中剩下的水量 . 分析： 依题意解读图象可知：从0 4 分钟在进水, 415 分钟在清洗,此时,洗衣机内有水 40 升, 15 分钟后开头放水 . 解：（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟；清洗时洗衣机中的水量是 40 升；（2）排水时 y 与 x 之间的关系式为：y=40-19x-15 即 y=-19x+325 假如排水时间为2 分钟,就 x-15=2 即 x=17,此时, y=40-19×2=2. 所以,排水终止时洗衣机中剩下的水量为 2 升. 类型四：一次函数的性质4、己知一次函数 y=kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A（一 6,0）,交 y 轴于点 B,且 AOB的面积为 12,y 随 x 的增大而增大,求 k,b 的值思路点拨： 设函数的图象与 y 轴交于点 B（0,b）,就 OB= ,由 AOB 的面积,可求出 b,又由点 A 在直线上,可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值解析： 直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点 B（ 0,b）,点 A 在直线上,就 ,由,即,解得 代入,可得,由于 y 随 x 的增大而增大,就 k0, 取 就总结升华： 该题考查的是待定系数法和函数值,认真观看所画图象,找出隐含条件；举一反三：细心整理归纳 精选学习资料 【 变式 1】已知关于x 的一次函数 第 4 页,共 7 页 （1）m 为何值时,函数的图象经过原点. （2）m 为何值时,函数的图象经过点（0, 2）. （3）m 为何值时,函数的图象和直线y=x 平行 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（4）m 为何值时, y 随 x 的增大而减小？解析：（1）由题意, m 需满意,故 m=3 时,函数的图象经过原点；（2）由题意得： m 需满意,故 时,函数的图象经过点（0, 2）；（3）由题意, m 需满意,故 m=4 时,函数的图象平行于直线 y=x；（4）当 3 m0 时,即 m3 时, y 随 x 的增大而减小【变式 2】 如直线（）不经过第一象限, 就 k、b的取值范畴是_, _【 答案】：k<0 ；b0；分析：直线不经过第一象限,有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限,留意不要漏掉经过原点的情形；【 变式 3】直线 l1：与直线 l2：在同一坐标系中的大致位置是（）ABCD【答案】：C；分析：对于A,从 l1看 k0,b0,从 l2看 b0,k0,所以 k,b 的取值自相冲突,排除掉 A ；对于 B,从 l 1看 k0,b0,从 l 2看 b0,k 0,所以 k,b 的取值自相冲突,排除掉 B；D 答案同样是冲突的,只有 C 答案才符合要求；【变式 4】函数 在直角坐标系中的图象可能是（）【答案】：B；分析：不论 k 为正仍是为负,都大于 0,图象应当交于 x 轴上方；应选 B 类型五：一次函数综合5、已知：如图,平面直角坐标系中,A （ 1,0）,B（0,1）,C（-1,0）,过点 C的直线绕 C 旋转,交 y 轴于点 D,交线段 AB 于点 E；（1）求 OAB 的度数及直线AB 的解析式；CE 的解析式；如y 轴上的一点P 满（2）如 OCD 与 BDE 的面积相等,求直线足 APE=45° ,请直接细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载写出点 P 的坐标；思路点拨：（ 1）由 A ,B 两点的坐标知, AOB 为等腰直角三角形, 所以 OAB=45° （ 2） OCD与 BDE 的面积相等,等价于 ACE 与 AOB 面积相等,故可求E 点坐标,从而得到CE的解析式；由于E 为 AB 中点,故 P 为（ 0,0）时, APE=45° . 解析：（ 1） A（ 1,0）, B（0,1）,OA=OB=1 , AOB 为等腰直角三角形 OAB=45°设直线 AB 的解析式为： y=kx+b, 将 A （ 1,0）,B（0,1）代入,解得 k=-1 ,b=1 直线 AB 的解析式为： y=-x+1 （2）即,将其代入 y=-x+1 ,得 E 点坐标（）设直线 CE 为 y=kx+b ,将点 C（-1,0）,点 E（）代入,解得 k=b=直线 CE 的解析式：点 E 为等腰直角三角形斜边的中点当点 P（0,0）时, APE=45° . 总结升华： 考虑面积相等这个条件时,直接算比较困难,往往实行补全成一个简单运算的面积来解决问题；举一反三：【 变式 1】在长方形 ABCD 中, AB=3cm ,BC=4cm ,点 P 沿边按 ABCD 的方向向点 D 运动（但不与 A ,D 两点重合）；求 APD 的面积 y 与点 P 所行的路程 x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范畴；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【 答案】：当 P 点在 AB 上运动时,当 P 点在 BC 上运动时,当 P 点在 CD 上运动是,【变式 2】如图,直线与 x 轴 y 轴分别交于点E、F,点 E 的坐标为（ -8,0）,点A 的坐标为（ -6,0）；（1）求 的值；（2）如点 P（, ）是其次象限内的直线上的一个动点,在点 P 的运动过程中,试写出 OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（3）探究：在（ 2）的条件下,当点 P 运动到什么位置时, OPA 的面积为,并说明理由；解：1将 E（-8,0）代入,得; 细心整理归纳 精选学习资料 2设 P 点坐标为（） 第 7 页,共 7 页 S=（-8<x<0 ）3令,解得,代入,算出 P 点纵坐标为当 P 点的坐标为时 , OPA 的面积为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -