2022年万有引力知识点.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第六章学习必备欢迎下载万有引力与航天7. 万有引力与重力的关系：1 “黄金代换” 公式推导：当 G F 时,就会有 mg GMm2 GM gR 2；R2 留意： 重力是由于地球的吸引而使物体受到的力,但重力不是万有引力；只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力；重力的方向竖直向下,但并不肯定指向地心,物体在赤道上重力最小,在两极时重力最大；随着纬度的增加,物体的重力减小,物体在赤道上重力最小,在两极时重力最大；物体随地球自转所需的向心力一般很小,物体的重力随纬度的变化很小,因此在一般粗略的运算中, 可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力,8. 万有引力定律与天体运动：运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动；从力和运动的关系角度分析天体运动：即可得到“ 黄金代换” 公式；天体做匀速圆周运动运动,其速度方向时刻转变,其所需的向心力由万有引力供应,即F 需=F 万；如下列图,由牛顿其次定律得：2,轨道半F 需ma ,F 万GMm,从运动的角度分析向心加速度：2 Lanv22L22L2f2L.LT（3）重要关系式：GMmmv2m2Lm22Lm 2f2L .L2LT2、地球绕太阳公转的角速度为1,轨道半径为R1,月球绕地球公转的角速度为径为 R2,那么太阳的质量是地球质量的多少倍？解析： 地球与太阳的万有引力供应地球运动的向心力,的向心力,最终算得结果为12R 13；2R2月球与地球的万有引力供应月球运动9. 运算大考点： “填补法” 运算匀称球体间的万有引力：谈一谈： 万有引力定律适用于两质点间的引力作用,对于外形不规章的物体应赐予填补,变成一个外形规章、便于确定质点位置的物体,再用万有引力定律进行求解；模型： 如右图所示,在一个半径为R,质量为 M的匀称球体中,紧贴球的边缘挖出一个半径为 R/2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距 d 的质点 m的引力是多大？思路分析： 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和,即可求解；依据“ 思路分析” 所述,引力F 可视作 F=F1+F2：4R34R3RM1M 第 1 页,共 7 页 已知FGMm,因半径为R/2 的小球质量为M'd232323483细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以F 2GM'm2G8Mm2,F 1F学习必备欢迎下载Mm2GMm7d228 dR2R2就挖去F2GMmG8d2d2RdR 2dR 2Rd8d222 2小球后的剩余部分对球外质点 m的引力为 GMm 7 d 8 dR 2 R2；2 R8 d d2 才能提升 某小报登载：×年× 月× 日,× 国发射了一颗质量为 100kg,周期为 1h 的人造环月球卫星； 一位同学记不住引力常量 G的数值且手边没有可查找的材料,但他记得月球半径约1 1为地球的 4,月球表面重力加速度约为地球的 6,经过推理, 他认定该报道是就假新闻,试写出他的论证方案；地球半径约为 6.4 × 10 3km 2 3证明： 由于 GMm R 2m 4T 2 R,所以 T2 GM,R1又 GMm R 2 mg得 gGM R 2 ,故 Tmin 2 GM2 R 3R月g月2 4R地16g地63R地 3× 6.4 ×102 2g地2 2× 9.8 s 6.2 × 10 3s1.72h ；环月卫星最小周期约为1.72h ,故该报道是就假新闻；§ 6-3 由“ 万有引力定律” 引出的四大考点 一、解题思路“ 金三角” 关系：（1）万有引力与向心力的联系：万有引力供应天体做mv2m2rm22rm 2n2r匀速圆周运动的向心力,即GMmma是本章解题的主线索；r2rT（2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力,即GMmmg,gr2为对应轨道处的重力加速度,这是本章解题的副线索；（3）重力与向心力的联系：m gmv2m2rm22r,g为对应轨道处的重力加速rT度,适用于已知g 的特别情形；二、天体质量的估算 模型一：围绕型：谈一谈： 对于有卫星的天体,可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动,中心天体对卫星的万 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 有引力供应卫星做匀速圆周运动的向心力,利用引力常量G和环形卫星的v、 、T、r 中任意两个量进行估算（只能估量中心天体的质量,不能估算围绕卫星的质量）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -已知 r 和 T:GMmm22rM学习必备.欢迎下载42r3r2TGT2已知 r 和 v:GMmmv2Mrv2.Mv3 T.r2rG已知 T 和 v:GMmmv2m2 T2rr2r2G模型二：表面型：谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星,但不知道卫星运行的相关物理量）,可忽视天 体自转的影响,依据万有引力等于重力进行粗略估算；GMmmgMgR2.R2G变形： 假如物体不在天体表面,但知道物体所在处的 的质量：g,也可以利用上面的方法求出天体处理： 不考虑天体自转的影响,天体邻近物体的重力等于物体受的万有引力,即：GMm2mg'Mg'Rh 2.T,轨道可Rh G 触类旁通 1 、2022 ·福建理综, 13 设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为视作半径为r 的圆；已知万有引力常量为G,就描述该行星运动的上述物理量满意 A AGM4 2r2T3BGM4 2r2T2 C GM4 2r3T2DGM4 r 2 T32 42 可得 T解析： 此题考查了万有引力在天体中的应用；是学问的简洁应用；由GMm 2 rmrGM4 2r 3T 2 ,A 正确 ；2、2022 ·全国大纲卷, 18 “嫦娥一号” 是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行,运行周期为 127 分钟；已知引力常量 G6.67 × 1011N·m2/kg2,月球半径约为 1.74 × 103km；利用以上数据估算月球的质量约为 D A8.1 ×1010kg B7.4 × 1013kg C5.4 × 1019kg D7.4 × 1022kg 解析：此题考查万有引力定律在天体中的应用；解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力供应；由 GMm r 2 mr 4r 2 得 M24GT 2r2 ,又 rR月h,代入数 3值得月球质量 M 7.4× 10 22kg,选项 D 正确；3、宇航员站在一颗星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一个小球；经过时间 t ,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为 L；如抛出时的初速度增大到 2 倍,就抛出点与落地点之间的距离为 3 L；已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为 R,万有引力常数为 G；求该星球的质量 M；解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同,依据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要留意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载23LR2；而非水平方向的位移的大小；然后依据万有引力等于重力,求出该星球的质量3 Gt2三、天体密度的运算模型一：利用天体表面的4g 求天体密度：.变形GMmmg,MR343gR23GR物体不在天体表面：GMm2mg,'M43 R3 g'Rh 2.Rh 343 GR模型二：利用天体的卫星求天体的密度：GMmm42r,M4R34M342r33r33.2 GT4 R 33r2T23RGT2R3四、求星球表面的重力加速度：在忽视星球自转的情形下,物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小,即：mg 星GM星 mg星GM星.2 R 星2 R 星 牛刀小试 （2022 新课标全国卷, 21）假设地球是一半径为R、质量分布匀称的球体；一矿井深度为 d；已知质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零；矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A 2 2A1d R B1d R C. RR d D. R Rd解析： 设地球的质量为 M ,地球的密度为 ,依据万有引力定律可知,地球表面的重力加速度 gGM R 2 ,地球的质量可表示为 M 43R 3因质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零,所以矿井下以 Rd为半径的地球的质量为M 4 3 Rd 3,解得 M RdR 3M ,就矿井底部处的重力加速度g GM 2,所以Rd矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比gg1 d R,选项 A 正确§ 6-4 宇宙速度 & 卫星 一、涉及航空航天的“ 三大速度”：（一）宇宙速度：1. 第一宇宙速度：人造地球卫星在地面邻近围绕地球做匀速圆周运动必需具有的速度叫第一宇宙速度,也叫地面邻近的围绕速度,v1=7.9km/s ；它是近地卫星的运行速度,也是人造卫星 最小发射 速度；（待在地球旁边的速度）2. 其次宇宙速度：使物体摆脱地球引力的束缚,成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的 最小速度 ,v2=11.2km/s ；（离弃地球,投入太阳怀抱的速度）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3. 第三宇宙速度：使物体学习必备欢迎下载最小速度 ,摆脱太阳引力的束缚,飞到太阳以外的宇宙空间去的v2=16.7km/s ；（离弃太阳,投入更大宇宙空间怀抱的速度）（二）发射速度：1. 定义： 卫星在地面邻近离开发射装置的初速度；2. 取值范畴及运行状态：v 发v 1v 1.7 9 km/s, 人造卫星只能“ 贴着” 地面近地运行；v 发.7 9 km/s,可以使卫星在距地面较高的轨道上运行；v 1v 发v 2, 即 7 9.km/sv 发11 . 2 m/s, 一般情形下人造地球卫星发射速度；（三）运行速度：1. 定义： 卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度 ；2. 大小： 对于人造地球卫星,GMmmv2vGM,该速度指的是人造地球卫星在r2rr轨道上的运行的围绕速度,其大小随轨道的半径r 而 v ；3. 留意： 当卫星“ 贴着” 地面飞行时,运行速度等于第一宇宙速度；当卫星的轨道半径大 于地球半径时,运行速度小于第一宇宙速度； 牛刀小试 1 、地球的第一宇宙速度约为8 km/s,某行星的质量是地球的6 倍,半径是地球1.5 倍,可得 v 增大的 1.5 倍；该行星上的第一宇宙速度约为 A A16 km/s B32 km/s C 46 km/s D 2 km/s 解析： 由公式 mv2= GMm ,如 M增大为原先的 2 r6 倍,r 增大为原先的r为原先的 2 倍；二、两种卫星：（一）人造地球卫星：1. 定义：在地球上以肯定初速度将物体发射出去,的人造卫星；物体将不再落回地面而绕地球运行而形成2. 分类： 近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等；3. 三个” 近似” ：近地卫星贴近地球表面运行,可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径；在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力；天体的运动轨道可近似看成圆轨道,万有引力供应向心力；4. 四个等式：运行速度：GMm2mv2havGMv1h3,h,v；h,T；RhRRhR角速度：GMm2m2RhGMRhR1h,；Rh Rh3 h 22R周期：；GMm2m3h T2TRh 3RhTGM向心加速度：GMm2maGM2a1h 2ha；Rh RhR（二）地球同步卫星：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1. 定义： 在赤道平面内,以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星；2. 五个“ 肯定”：周期 T 肯定：与地球自转周期相等（24h）,角速度 也等于地球自转角速度；轨道肯定：全部同步卫星的运行方向与地球自转方向一样,轨道平面与赤道平面重合；运行速度 v 大小肯定：全部同步卫星绕地球运行的线速度大小肯定,均为 3.08km/s ；离地高度 h 肯定：全部同步卫星的轨道半径均相同,其离地高度约为 3.6 × 10 4km；向心加速度 an 大小肯定：全部同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等,约为0.22m/s 2；注：全部国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆,静止；三、卫星变轨问题：它们都在同一轨道上运动且都相对1. 缘由： 线速度 v 发生变化,使万有引力不等于向心力,从而实现变轨；2. 条件： 增大卫星的线速度v,使万有引力小于所需的向心力,从而实现变轨；3. 留意： 卫星到达高轨道后,在新的轨道上其运行速度反而 减小； 当卫星的线速度 v 减小时,万有引力大于所需的向心力,卫星就做向心运动,但到了低轨道后达到新的稳固运行状态时速度反而增大；4. 卫星追及相遇问题：某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分,但它们都处在同一条直线上； 由于它们轨道不是重合的,因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理, 而是通过卫星运动的圆心角来衡量,如它们初始位置在同始终线上,实际内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为 时刻；四、与卫星有关的几组概念的比较总结：的整数倍时就是显现最近或最远的1. 天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的比较： 卫星的轨道半径 r 是指卫星绕天体做匀速圆周运 动的半径, 与天体半径 R的关系是 r=R+h（h 为卫星距离天体表面的高度）,当卫星贴近天体 表面运动时,可视作 h=0,即 r=R；2. 卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较：（1）卫星运行的加速度：卫 星 绕 地 球 运 行 , 由 万 有 引 力 提 供 向 心 力 , 产 生 的 向 心 加 速 度 满 足GMmma, 即aGM, 其方向始终指向地心,大小随卫星到地心距离r 的增大而减小；r2r2（2）物体随地球自转的向心加速度：当地球上的物体随地球的自转而运动时,万有引力的一个分力使物体产生随地球自转 的向心加速度,其方向垂直指向地轴,大小从赤道到两极逐步减小；3. 自转周期和公转周期的比较：自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间,公转周期是某星球绕中心天体做圆周运动一周的时间；一般两者不等（月球除外）,如地球的自转周期是24h,公转周期是365天；4. 近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较：（1）近地卫星和赤道上的物体：细心整理归纳 精选学习资料 不同点内容近地卫星赤道上的物体相同点质量相同时,受到地球的引力大小相等受力情形只受地球引力作用且地球引力等于卫星受地球引力和地面支持力作用,其合力做圆周运动所需向心力供应物体随地球自转做圆周运动的向心 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载力 运动情形 角速度、线速度、向心加速度、周期均不等（2）近地卫星和同步卫星：相同点：都是地球卫星,地球的引力供应向心力；不同点：近地卫星的线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星的大,而周期比同步卫星的 小；（3）赤道上的物体和同步卫星：细心整理归纳 精选学习资料 不同点内容近地卫星赤道上的物体相同点角速度都等于地球自转的角速度,周期都等于地球自转的周期受力情形只受地球引力作用且地球引力等于卫星受地球引力和地面支持力作用,其合力做圆周运动所需向心力供应物体做圆周运动的向心力轨道半径同步卫星的轨道半径比赤道上的物体的轨道半径大许多运动情形同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -