2022年高等数学课本习题答案第章函数与极限习题详解.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数与极限习题详解第一章 函数与极限习 题 1-1 1求以下函数的自然定义域：（1）y112x2；2 且x21x解：依题意有1x20,就函数定义域D x x xx20（2）yarccos2x1x36；xx21,就函数定义域D x 2x1解：依题意有3x2x60（3）ylnx23 x2；x|1解：依题意有2 x3 x20,就函数定义域D x 13（4）y 2 x x；解：依题意有 x 3x 0,就函数定义域 D x x | x 且 x 0, 1（5）y sinx 11 , x 1,2,x 1;解：依题意有定义域 D x x | x（6）y arctan 13 x . xx 0解：依题意有,就函数定义域 D x x x 3 且 x 03 x 02已知 f x 定义域为 0,1 ,求 f x 2, f sin , f x a , f x a f x a a 0 的定义域解：由于 f x 定义域为 0,1 ,所以当 0 x 21 时,得函数 f x 2 的定义域为 1,1 ；当 0 sin x 1 时,得函数 f sin x 定义域为 2 ,2 k 1；当 0 x a 1 时,得函数 f x a 定义域为 a , a 1；当 0 x a 1时,得函数 f x a f x a 定义域为：（ 1）如 a 1,x a ,1 a ；0 x a 1 2（2）如 a 1,x 1；（3）如 a 1, x2 2 23设 f x x 12 1a 2 a2 ax xx 2 , 其中 a 0, 求函数值 f 2 , f 1解：由于 f x x 12 1a 2 a2 ax xx 2,就f 2 12 1 a 12,f 1 12 1 a 1 0 , >1,4 a a 2 a 1 a 1 2 ,0< <11 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数与极限习题详解1 | x | 1,4设 f x 0 | x | 1, g x 2 x,求 f g x 与 g f ,并做出函数图形1 | x | 1.x1 2 1 1 x 0解：f g x 0 2 x1,即 f g x 0 x 0,1 2 x1 1 x 012 | x | 1 2 | x | 1g f x 2 0| x | 1,即 g f x 1 | x | 1,函数图形略2 1| x | 1 1 | x | 121 x , x 0, 2 x , x 1,5设 f x 试证：f f x 1, x 0, 1, x 1.1 f x , f x 0 2 x , x 1,证明：f f x ,即 f f x ,得证1, f x 0 1, x 16以下各组函数中,f x 与 g x 是否是同一函数？为什么？2 2（1）f x ln x 3 x , g x ln x 3 3；不是,由于定义域和对应法就都不相同（2）f x 3x52x3, x3x22；是（3）f x 2,g x 2 secxtan2x ；不是,由于对应法就不同（4）f x 2lgx g x , lg2 x ；不是,由于定义域不同7确定以下函数在给定区间内的单调性：0,y 2（1）y3xlnx ,x0,；解：当x0,时,函数y13 x 单调递增,y 2lnx 也是单调递增,就yy 1y 在 内也是递增的（ 2）y1x,x,1x解：y1x11x 11x11,当x,1时,函数y 1x1单调递增,就xx1x11是单调递减的,故原函数y1x是单调递减的y 1x8. 判定以下函数的奇偶性所以x（1）ylgxx21；xlgxx21f x ,解：由于fx lgxx21lgxx211ylgxx21是奇函数y（2）y0；f x 且fxf x , 所 以解：由于fx 0f x ,所以y0是偶函数（3）yx22cosxsinx1；解 ： 因 为fx x22cosxsinx1,f22cosxsinx1既非奇函数,又非偶函数2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数与极限习题详解x x（4）y a a . 2x x x x解：由于 f x a af x,所以函数 y a a 是偶函数2 29设 f x 是定义在 l l 上的任意函数,证明：（1）f x f x 是偶函数,f x f x 是奇函数；（2）f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式 . 证明：（1）令 g x f x f x , f x f x ,就g x f x f x g x , x f x f x h x ,所以 f x f x 是偶函数,f x f x 是奇函数（2）任意函数 f x f x f x f x f x ,由（ 1）可知 f x f x 是偶函2 2 2数,f x f x 是奇函数,所以命题得证210证明：函数在区间 I 上有界的充分与必要条件是：函数在 I 上既有上界又有下界 . 证明：（必要性）如函数 f x 在区间 I 上有界,就存在正数 M,使得 x I,都有f x M 成立,明显 M f x M ,即证得函数 f x 在区间 I 上既有上界又有下界（ 充 分 性 ） 设 函 数 f x 在 区 间 I 上 既 有 上 界 M 2, 又 有 下 界 M 1, 即 有f x M 1 且 f x M 2,取 M max M 1 , M 2 ,就有 f x M ,即函数 f x 在区间 I 上有界11以下函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）y |sin x ；周期函数,周期为 （2）y 1 sin x ；周期函数,周期为 2（3）y x tan x ；不是周期函数f（4）y2 cosx . x,xR 周期函数,周期为 12求以下函数的反函数：（1）yx 31；x 3解：依题意,3xyy1,就xlog3yy1,所以反函数为1 log3xx1,x,01,（2）yaxbadbc；cxd解：依题意,xbdy,就反函数f1 bdxadbccyacxa（3）ylgxx21；10解：依题意,x1 10 2y10y,所以反函数f1 110x2（4）y3cos 2 ,x443 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：依题意,xarccosy第一章函数与极限习题详解x,x0,3,所以反函数f1 arccos332213在以下各题中,求由所给函数构成的复合函数,并求这函数分别对应于给定自变量值 1x 和 x 的函数值：（1）y e , uu x 21, x 1 0, x 2 2；2 v（2）y u 1, u e 1, v x 1, x 1 1, x 2 1x 2 1 5解：（1）y f x e , f 0 e f 2 e（2）y f x e x 11 21,f 0 e 42 e 22,f 1 114在一圆柱形容器内倒进某种溶液,该容器的底半径为 r ,高为 H 当倒进溶液后液面的高度为 h 时,溶液的体积为 V 试把 h 表示为 V 的函数,并指出其定义区间解：依题意有 V r h ,就 2h V2, V 0, r H 2 r15某城市的行政治理部门,在保证居民正常用水需要的前提下,为了节省用水,制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过 4.5 吨时,水费按 0.64 元吨运算超过部分每吨以 5 倍价格收费试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系并运算用水量分别为 3.5 吨、 4.5 吨、 5.5 吨的用水费用0.64 , 0 x 4.5解：依题意有 f x ,所以4.5 0.64 x 4.5 3.2, x 4.5f 3.5 2.24 元,f 4.5 2.88 元,f 5.5 6.08 元 习 题 1-2 1设a n2n1 n11, 2 , 3 ,n9997 , 9取 N 3n（1）求|a 12| , |a 102|, |a 1002|的值；333（2）求 N ,使当 nN 时,不等式|a n2| 104成立；3（3）求 N ,使当 nN 时,不等式|a n2|成立3解： 1 |a 12| |32|1,|a 102| |212|1,34312331393|a 1002| |2012|133013903（ 2）要使|a n2| 104,即3114,就只要3（ n+1）1099971110,故当 n>1110 时,不等式|an2| 104成立93N 时,|a n2 3|（3）要使|an2|成立,n193,取N193,那么当 n3成立 . 2依据数列极限的定义证明：（1）lim n10；|10 |（ 2）lim nn231N1, 所以,对任意0 ,n.n解：（1）0 , 要使11, 只要取n.n.n4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数与极限习题详解存在 N 1,当 n N 时,总有 |n 1. 0|,就 lim n n 1.0 .2 2 0 , 要 使 | nn 31|n n 2 33 n 2 2n 2 , 即 n2 3, 只 要 取23 3 n 3N ,所以 ,对任意的 >0, 存在 N , 当 n N , 总有 | 1| , 就2 2 n2n 3l i m n n . 13如 lim x n a,证明 lim | x n | | a 并举例说明：假如数列 | x n | 有极限,但数列 nxn n未必有极限证明 : 由于 limn x n a , 所以 0 , N , 当 n N 时, 有 | x n a | .不妨假设 a>0, 由收敛数列的保号性可知 : N , 当 n N 时 , 有 x n 0 , 取 N max N 1 , N 2 , 就对0 , N , 当 n N 时, 有 | | x n | a | | | n | a .故 lim | n x n | | a . 同理可证 a 0时, lim |n x n | | a 成立 .n反之 , 假如数列 | x n | 有极限 , 但数列 | x n | 未必有极限 .如：数列 nx 1 , | x n | 1,明显 lim |n x n | 1 , 但 lim n x不存在4设数列 x n 有界,又 lim n y n 0证明： lim n x y n 0证明 : 依题意 ,存在 M>0, 对一切 n 都有 | x n | M , 又 lim n y n 0 , 对 0 , 存在 N , 当 n N 时 , | y n 0 | , 由于对上述 N , 当 n N 时 , | x y n 0 | | x y n | M | y n | M ,由的任意性 , 就 limn x y n 05设数列 x n 的一般项 x n 1n cos n2 3,求 lim n x解: 由于 lim x 1n 0 , | cos n2 3| 1 , 所以 lim x 1n cos n2 30 . 6对于数列 x n,如 x 2 k 1 A k ,x 2 k A k ,证明：x n A n 证明 : 由于 lim k x 2 k 1 A , 所以 , 0 , N 1 0 , 当 k > N 时,有 | x 2 k 1 A | , 同理 , 0 , N 2 0 , 当 k N 时 , 有 | x 2 k A |取 N =max N 1 , N 2 , 0 , 当 n N 时 , | x n A | 成立 , 故 x n A n 习 题 1-3 1当x1时,yx234问等于多少,使当|x1|时, |y4|0.01？解：令|x1|1,就3 2|x1|5,要使22只要 |x1|0.004|y4 | |x234 | |x21| |x1|x51| | x2时, | y1|0.01,所以取0.004,使当|x1|4 | 0.01成立0.001？2当 x|y时,y2x21|2问 X 等于多少,使当|x|X 时, |y2 |x232x2解：要使2 | |12 |x273|<0.001, 只要|x23|7000, 即x237000. 因x235 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此,只要 |x|7003第一章函数与极限习题详解就可以了 ,所以取X70033依据函数极限的定义证明：（1）lim2 x 3 x 1 5；（2）lim x 3x x1 53；2（3）x lim 2 xx 2 44；（4）x lim sinx x0 . 证 明 :1 由 于 | 2 x 1 5| 2 | x 3| , 任 给 0, 要 使| 2 x 1 5| , 只 要| x 3|2因此取2 ,就当 0 | x 3| 时, 总有 | 2 x 1 5| ,故 lim2 x 3 x 1 5 2 由 于 | 3 x 53| 8, 任 给 0 , 要 使 | 3 x 53| , 只 要 8, 即x 1 | x 1| x 1 | x 1|8 8 8 8 8x 1 或 x 1 , 由于 0 ,所以 |1 | |1 | , 取 M |1 |,就当 | x | M 时 , 对0 ,总有 | 3x x1 53| ,故有 lim x 3x x1 532 2 3 由于 | x 4 4 | | x 2 | , 任给 0 ,要使 | x 4 4 | , 只要 | x 2 | , 因x 2 x 22 2此取 , 就当 0 | x 2 | 时, 总有 | xx 2 4 4 | , 故x lim 2 xx 2 44 . 4 由于 | sin x0| |sin x | 1,任给 0,要使 | sin x0 | ,只要 1,即 x 12 ,x x x x x因此取 M 12 ,就当 x>M 时,总有 | sinx x0 | ,故 x lim sinx x0 .4用 X 或 语言,写出以下各函数极限的定义：（1） limx f x 1；（2） lim x f x a ；（3） limx af x b ；（4）x lim3 f x 8解: 1 0, M 0 , 当 x<-M 时, 总有 | f 1| ;2 0, M 0 , 当 | x | M , 总有 | f x a | ; 3 0, 0 , 当 a x a 时 , 总有 | f x b | ; 4 0, 0 当 3 x 3 时, 总有 | f x 8|5证明 : lim | x 0 x | 0 . 证明 : 由于x lim |0 x |x lim0 x 0 , x lim |0 x |x lim0 x 0 ,所以 lim | x 0 x | 0 . 6证明：如 x 及 x 时,函数 f x 的极限都存在且都等于 A ,就 limx f x A 证 明 : 由 于 lim x f x A ,就 对 0 , M 1 0 , 当 x M 1 时 , 有 | f x A | 又x lim f x A,就 M 2 0 ,当 x M ,有 | f A | .取 M max M 1 , M 2 那么对 0 ,当| x | M 时,总有 | f x A | ,故有 lim x f x A.习 题 1-4 1依据定义证明：（1）yx21为当x1时的无穷小；x1（2）y1 sin xx为当 x时的无穷小；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章函数与极限习题详解, 有（3）y13x为当x0时的无穷大x证明 : lim x 11 00,由于|x210 | |x1|,取,就当 0 |x1|时, 总有x0,故x1x21x12 0,由于|1sinx0 |1| sinx|1|,取M1, 就当 |x|M 时, 总有xxx|1sinx0 |sinx|1|, 故lim x1sinx0. x|x|xx3 M0, M13,当 0|x|时,总有|13 x| |13|1|3M,所以xxxlim x 013 x. x2函数yxsinx 在 0, 内是否有界？该函数是否为x时的无穷大？解答 : 取x n2 ,就yn0,因此当x n2 n时, yn0x n故函数yxsinx 当 x时,不是无穷大量下证该函数在0,内是无界的 . M0,x n2 且xnn, 2y n2 sin 2 2 , 取N0M1, x02N00,2222y n2N0M ,所以yxsinx 是无界的 .23证明：函数y1cos1在区间 0,1 上无界,但这函数不是x0时的无穷大xx证明 : 令1 xt,类似第 2 题可得习 题 1-5 1求以下极限：（1）lim n3 n24n1 1；n；（2）lim n1111；n3n21 22 3n n（4）lim n3nn 21；（3）lim n12n2n24；n2n 31n 2（5）lim x 1x22 xx13（6）lim x 2 x 2 x5 x 13；2（8）lim x x 2 2 x5 x 13；2（10）lim x 1 x 2 3 x4 x 11；2（12）lim x 5 x 3 x3 x x1；5（7）lim xx2xx21；（9）lim h 0x3 h x3；h1（11）lim x 1133x1x7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （13）lim x 1313x3x31x x；第一章函数与极限习题详解lim xx31；3 x27（14）1x12x（15）lim2 xx6；（16）lim x 3x3x2x3解: 1 lim n32 n4n1 = lim n31101 nn11n2 n4n 133 n2 n11nn32 lim n1111 = lim n1 11111 22 3n n223= lim1 nn1 113 lim n12n=lim n1n n112n2n2n2n224 lim nn 3n 21=lim n1 2 n322 3n11x12n 31n 2335 lim x 1x214=lim x 1x=lim x 12 x11 21x2 x5 xx1x4x436 lim x 2x2x313=2 23 21335x527 x limx2xx21=x limx2x2 x1x2x2 xxx211=x limx2x1x21=x lim11xx111xx28 lim x2x213=lim x1251223 hx3=lim3 h 0x32 x32 x2 3 x hx25 x9 lim h 03xx 33 xh3xhh232 x xh3x=lim h 0hh10 lim x 113311x=lim x 131x32 x=lim x 111x2xxx1xx2x1=lim x 112x21xx11 lim x5x2x1=lim x5131 2 x10x3 x3 xx2x312 lim x 131x31x1x1x8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即a第一章函数与极限习题详解lim x 0f x ,=lim x 1 1x31x 1x213x31x 231x1x 3112 x 3 1x1x31x1x1x312 x 1xx=lim x 12 1x 231xx1 1x 312 x =6 2 2 1x13 lim x2x31=lim x2x21xx14 lim2 x3 xx3x6=lim x3 x2326lim x 3x13x2x315 lim x 3x323x27=lim x 33 xx27x3x32设f x xe,a ,x0,问当 a 为何值时,极限lim x 0f x存在2xx0.解：由于x lim 0f x x lim 0ex1, lim x 0f x x lim2 0xaa ,所以,当lim x 0f x 1时,lim x 0f x存在3求当 x1时,函数x21ex11的极限x1解：由于lim x 1x21e1lim x 1x1 e110,x1xx1lim x 1x21e1x lim 1x1 e11,x1xx1所以lim x 12 x1e11不存在；xx14已知x lim 5xax2bxc1,其中a,b,c 为常数,求a 和 b 的值解：由于lim 5 xxax2bxclim x5xax25bxc5xax2bxcxax2bxc25= lim x25a x2bxcx lim25a xbbc1,所以25ba0,就ax5a5a1b105xax2bxccxx25运算以下极限：（1）lim x 0xsin10；（2）lim xsinxlim x1 xsinx0;0xx（3）lim x1sin10；（4）lim xarctanx