2022年《线性代数》答案及课件.docx
名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1求以下齐次线性方程组的通解 . （ 1）2 x 13 x 2x 35 x 40 ,1903 x 1x 22x 37x 40 ,4x 1x 23 x 36x 40 ,x 12x 24x 37x 40 ,解: 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换得到：2315r 12 r 4079A3127071014r 23 r 44136091934r 34 r 4124712470015r 12 r 20710140919346412470150107A7101471064912991934919129由克莱姆法就可知,方程组只有零解；（2）x 1x 2x 34x 43x 50 ,432x 1x 23 x 35 x 45x 50 ,x 1x 23 x 32x 4x 50,3 x 1x 25x 36x 47x 50 .解: 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换得到：A11143r 22 r 11112135501131r 3r 11132102262r 43 r 13156702262r 1r 210212, 01131r 32 r 100000r 42r 100000原方程组的同解方程组：x 12x 3x 42x 5x 2x 33 x 4x 5,方程的通解：x 12 k 1k22k 3, 第 1 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x 2k 13 k2k 3,x 3 k 1 ,其中 k 1 , k 2 , k 为任意实数；x 4 k 2 ,x 5 k 3 .2. 求以下非齐次线性方程组的通解 . （1）5 x 1 x 2 2 x 3 x 4 7 ,2 x 1 x 2 4 x 3 2 x 4 1 ,x 1 3 x 2 6 x 3 5 x 4 0 .解: 对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到：5 1 2 1 7 0 14 32 24 7r 1 5 r 3A 2 1 4 2 1 0 7 16 12 1r 2 2 r 31 3 6 5 0 1 3 6 5 00 0 0 0 5r 1 2 r 2 0 7 16 12 1 B . 1 3 6 5 0矩阵 B 所对应的方程组中存在冲突方程：0 5 ,方程组无解；（ 2）3 x y 4 z 2 w 5 ,x 5 y 2 z 3 w 11 ,x 9 y 2 z 5 w 15 ,5 x 3 y 6 z w 1 .解: 对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到：3 1 4 2 5 0 14 2 7 28r 1 3 r 21 5 2 3 11 1 5 2 3 11A r 3 r 21 9 2 5 15 0 4 0 2 4r 4 5 r 25 3 6 1 1 0 28 4 14 560 14 2 7 28 0 0 2 0 14r 2 r 11 9 0 4 17 r 1 14 r 3 1 0 0 12 8r 414 r 23 r 10 1 0 12 1 r 2 9 r 3 0 1 0 12 10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 712 r 1 10 01 00 12 12 81 . 0 0 0 0 0原方程组的同解方程组：x 12 w 8 ,y 12 w 1 ,取 w 2 k ,z 7 .得到方程组的通解：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -xk8,y7k1 ,其中为任意常数；2133213 第 3 页,共 19 页 z,w2 k.（ 3）x 12x 2x 33x 42x 51,2x 1x 2x 3x 43 x 56,x 1x 22x 32x 42x 52,2x 13 x 25 x 317x 410 x 55 .解: 对方程组的增广矩阵A 作初等行变换得到：A121321r 22r 11211136031774r 3r 1112222r 1011541r 42235171050171163r 12 r 3103763r 41 42r 2107600485100125 41 4r 23 r 3r 2011541011541r 4r 3r 30081610200000010019 415 4r 13 r 200125 41 4. r 3r 2010311 45 4000000同解方程组：x 1x 49 4x 515 4,x 23x 411 4x 55 4,x 32x 45 4x 51 4,x 4x 4,x 5x 5,取x 1k x2k 2,得到方程组的通解：x 1k19k215 4,x23 k111 k25 4,x32k 15 k21 4,x4k1,x54k2.3. 争论：当a b 为何值时,以下方程组：x 1x 2x 3x 4x 51,3 x 12 x 2x 3x 43x 5a,x 22x 32x46 x 53 ,5 x 14 x 23 x 33 x 4x 5b.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -有解,在有解的情形下,求它的通解 . 解: 对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：1111111111113：A32113ar 33 r 101226a012263r 45 r 1012263554331b01226b101152r 2r 3012263. r 4r 300000a00000b2明显,当a0,b2时,方程组有解；此时,方程组的同解方程组为x 1x 3x 45 x 52,x 22x 32x 46x 53,得到方程组的通解：x 1k 1k 25 k32,xy得到：. 第 4 页,共 19 页 x22k 12k 26k 33 ,x3k 1,x4k2,x5k3.其中k 1,k 2,k 为任意实数；34. 求x y z w 使得：3xyx6z4zw12 ww3解：由3 x3 y1xz4w6xy3 z3 w2 w33 xx4,4 ,z1 ,w3.3y6xy,解得：x2 ,y3 z1zw,3 w2 w3.125,求 2AB和BA；215. （1）已知A10,B34034327201,求 2AB3A 及T A B（2）设A104 ,B517680421解：（ 1）2AB2211251034034细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -18102162021252410m 矩阵 . 92215184430BA1 325211521.104010334（2）2AB3327201327A2 1045173 1041212680421680496211518292 1485301225162；28862182403840124316201231316T A B20851736166. 7404216435（3）设 A 是kl矩阵, B是mn矩阵,假如ACB 有意义,就 C 应为 l6运算：（1）x 1a 11a 12a 13x1a x 23 3x a x 3 31 1a x 32 2a x 33 331a x x；ij i jx2x 3a 21a22a23x2x 1x 2a 31a 32a33x3a x 11 1a x 2a x3x3a x 1a22x 2a x3a x 1a x 2a x3x a x 1 11 1a x 12 2a x 13 3x a x 2 21 1a x 22 2i j4（2）1325025；7311211; 1001100 第 5 页,共 19 页 （3）21224；336（4）113111111111110011007举例说明以下命题是错误的：AE（1）如2 A0,就A0；（2）如2 AA ,就A0,或 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）如AXAY,且A0,就XY. 解：（ 1）取A110, 而2 A0ABB2 第 6 页,共 19 页 11（ 2）取A10, 就A0,AE,而2 AA00（ 3）取A10,X10,y10,000001就XY A0,而AXAY. 8已知 n 阶方阵A B 可交换,即 ABBA ,证明：（1）AB 22 A2ABB2（2）2 A2 BABAB（3） AB mm A Bm, m 为正整数；证：（1）AB2AB AB2 AABBA2 B2 A2ABB2；（2）ABAB 2 AABBAB22 AAB2 AB2；m A Bm（3）归纳法：当m1时,明显 ABAB ；设：AB m1m A1Bm1,就AB mAB m1AB m A1Bm1BAm A1m B A留意到m B ABB AABm,故AB mm A1ABmm 个b 12,0109设A001,求全部与A 交换的矩阵 B . 000b 11b 12b 13解：设Bb 21b 22b 23b 31b 32b 33010b 11b 12b 13b 11b 12b 13AB001b 21b 22b 23b 21b 22b 23,000b 31b 32b 33000b 11b 12b 130100b 11b 12BAb 21b 22b230010b 21b 22,b 31b 32b 330000b 31b 32由 ABBA 得到：b 21b 31b 320,b 22b 11,b 23b 32b 21 ,b 33b 22b 11因此：b 11b 12b 13B0b 11b 12. 00b 11细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -10设：f x 3 E5xx 2,A21,证明：fA 0. 332证：f A 3 E 5 A A3 0 10 5 7 5 0 0 .0 3 15 15 15 12 0 0n1 011运算：121 0 1 0 1 0 1 0解：（归纳法）当 n 2 时,；1 1 1 2 1n 11 0 1 0设：；就1 n 1 1n n 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0. 1 1 1 n 1 1 1 n 112.设 A 是反对称矩阵,B 是对称矩阵,试证：21）A 是对称矩阵；2） AB BA 是对称矩阵；3）AB是反对称矩阵的充分必要条件是 AB BA .证： 1）因 A TA , A 2 T AA TA A T T A A A ,故 2A 为对称矩阵；2T T T T T2）因：A A B B , AB BA AB BA T T T TB A A B B A A B AB BA , AB BA是对称矩阵；3）必要性：如 AB 是反对称矩阵,即 AB TAB ,由此得到：T TB A B A BA AB , BA AB充分性：如 AB BA ,就 AB TB A T TB A BA AB 即 AB 为反对称矩阵；13如 n 阶方阵 A 满意：A 22 A 4 E 0,试证, A E 是可逆矩阵,并求 A E 1. 证：由 A 22 A 4 E 0,得到：A 22 A E 5 E ,即 A E 25 E,5 A E A E E ,所以 A E 可逆,且 A E 1 15 A E . 14. 设 n 阶方阵 A 满意：A 34 A 23 A E 0,试证： A 可逆,并求 A 1. 证 ：由 A 34 A 23 A E 0, 得 到 A A 24 A 3 E 故 A 可 逆 ,且1 2A A 4 A 3 E . T 115. 设：A a ij m n , 且 A 1, 又 A A,试证：A E 不行逆 . 证：因 A 1 A E E A 1E A T A E T,两 边 取 行 列 式 得 到：A 1 A E A 1 A E A E TA E, 因 A 1 1 1, 代 入 上 式 得 到 ：AA E 0,故A E 不行逆 . 3 0 116 （1）设矩阵 A 1 1 0 满意 AX A 2 X ,求矩阵 X . 0 1 4细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -101（2）设矩阵A020满意AXEA2X ,其中 E 为 3 阶单位阵,求矩阵X . ,解：（ 1）由AX1012 E XA XA2 1AA2X得到AA2EE101100101100010010r2r 1011110r 2r 2r 3101101200101200100r 1r 3100211011110010221r2r3,001111001111211A2E1221XA2E1111301522211A221110432. 111014223（2）由AXE2 AX得到AE X2 AEAEAEAE00110010100,201；E ,故 第 8 页,共 19 页 AE 可逆,因此XAE030. 10217设 A为 n 阶方阵,证明：2（1） 如 A 3 A 2 E 0,就A12A3 K A1（2） 如AK0,就EA 1EA2 A证明：（ 1）由A23A2E0得到A A3 2A2A3 E 故A12A3 K AEE ,所以（3） 因EA EA2 AK A1EA2 AAK1AA2AK1EA 1EA2 AK A118 设 A 为 n 阶可逆方阵,证明：n 2（1） A A A n 2；A1 AA（2）A1A1. 证：（1）因A可逆,A11 AA,A1A1 AA AA11 AA,又由于AAA1,因此A* A* A1,因细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AA A1An1 AAn1,故：AAA*1An11 AAAn2AA1A1. （2）因A11 AA1A111 AA ,故 : A*A1 * * AA1 A* A A1 A AE ,19 求以下矩阵方程的解：（1）2 31X3224. 25331解：X2 3112432. 12124322231533231531471463122（2）110X1110117解：r 1223100r 12r 30251024 73 7110010110010r 2r 31010011010012r 20071241 7r 1r 20 0 1011 72 701101111011r 310100101001r2r 10011 72 74 71001 72 74 70101 75 73 7r 1r 30101 75 74 7r3r 10011 72 73 70011 72 7311122231101532103710112411231210X153117141277（3）X1241772814111111022110. 110211解：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -111100111100022010r 3r 1022010A111 62 2 214110001021101r 3r 210211 2010211 20r 11 2r 201101 2001101 201 2r 20031110011 31 31 3r 2r 31001 31 31 62 31 3110101 31 602212r 12r 31 30011 311022X111121412281102124222A1,B2, 就 ：66211222458010100143（4）100X00120100101012001011431001解：X10020100100112001001014310021010020100113400112001010220 填 空 ：（1 ） 设A B是两 个3阶 方 阵 ,2T A B1223 TA B218T A2 B21 8A2128 11 4212 1B（ 2 ） 设A B是 两 个4阶 方 阵 ,A16,B, 就 ：B2A11 2A13 2A1234A1168 11616 8 181A1 2（3）设 A 是 4 阶数量矩阵,且A16,就：A11 21 2E . 1 2（4）设A B 是 n阶可逆方阵,如A5,就：B1K A BB1B AKB1B AK5K 第 10 页,共 19 页 （5）设矩阵 A 可逆,就矩阵kA 可逆的充分必要条件是k0. 21 求以下矩阵的逆阵. 10003200（1）1200（2）21002130008312140052细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）0032（4）0a 10a0100a2000450004100n（5）620000（6）an000013572100123320000125718（7）000113161200350000001230002210003430000005解：将 p 分块成：1000P1A1010200 第 11 页,共 19 页 p1200A0,2130CB1 B CA1B1214114018A11201240,B2112412120121324261 B CA114021211241312111242435240
