一元二次不等式的应用 导学案--高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

2.3.2一元二次不等式的应用导学案【学习目标】1. 会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题2会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解3会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决.【学习重难点】重点： 有关不等式恒成立求参数的值或范围问题难点： 对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决.【学习过程】一、课前预习预习任务一：知识预习预习课本P5354，思考并完成以下问题(1)怎样解分式不等式？ (2) 利用一元二次不等式解决实际问题的可分哪些步骤？ 预习任务二：简单题型通关1不等式>0的解集是()A.B.C. D.2若集合Ax|12x13，B，则AB()Ax|1x<0 Bx|0<x1Cx|0x2 Dx|0x13已知不等式x2ax4<0的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4 B4<a<4Ca4或a4 Da<4或a>44现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是_二、新知精讲1不等式与不等式组的同解关系ab0或，ab0或，ab >0或，ab <0或.2一元二次不等式恒成立的情况ax2bxc0(a0)恒成立；ax2bxc0(a0)恒成立.三、题型探究题型一 可化为一元二次不等式的分式不等式例1解下列不等式：(1) (2) 归纳总结1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解活学活用1已知关于x的不等式axb>0的解集是(1，)，则关于x的不等式>0的解集是()A. B.C. D.题型二 一元二次不等式中的恒成立问题例2 设函数ymx2mx1.若对于一切实数x，函数值y<0恒成立，求m的取值范围. 归纳总结一元二次不等式的解集为R的条件不等式的解集为R(或恒成立)不等式ax2bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0活学活用2关于x的不等式(1m)x2mxm<x21对xR恒成立，求实数m的取值范围题型三 一元二次不等式的实际应用例3某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润(出厂价投入成本)×年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？归纳总结用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解活学活用3.某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围题型四 一元二次方程根的分布问题例4已知方程x22mxm120的两根都大于2，求实数m的取值范围归纳总结设关于x的一元二次方程ax2bxc0(a>0)对应的二次函数为yax2bxc(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题(此时b24ac)：(1)方程ax2bxc0在内有两个实根的条件是 (2)方程ax2bxc0有一根大于k，另一根小于k的条件是ak2bkc<0.(3)方程ax2bxc0在内有两个实根的条件是(4)方程ax2bxc0的一根小于k1，另一根大于k2且k1<k2的条件是活学活用4关于x的方程2kx22x3k20的两根，一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围四、达标检测1已知Ax|x2x60，Bx|xa>0，AB，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca<3 Da32对于xR，式子恒有意义，则常数m的取值范围为()A0<m<4 B0m4C0m<4 D0<m43若不等式x2ax10对一切x恒成立，则a的最小值为()A0 B2C D34已知关于x的方程x2(a1)x2a0两根均在之间，则实数a的取值范围是_五、本课小结1解分式不等式的同解变形法则2处理不等式恒成立问题的常用方法3利用一元二次不等式解决实际问题的步骤参考答案课前预习1解析：>0等价于(4x2)(3x1)>0，原不等式解集为.答案：A2解析：Ax|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x1答案：B3解析：依题意应有a2160，解得4a4，故选A.答案：A4解析：5%<<6%，解得x的范围是100<x<400克题型探究例1解析(1)原不等式等价于即2x<3.原不等式的解集为x|2x<3(2)原不等式可化为1>0，即<0.等价于(3x2)(4x3)<0.<x<.原不等式的解集为.活学活用1解析：选A依题意，a>0且1.>0(axb)(x2)>0(x2)>0，即(x1)(x2)>0x>2或x<1.例2 解析(1)若m0，显然1<0恒成立；若m0，则4<m<0.m的取值范围为4<m0.活学活用2解析：原不等式等价于mx2mxm1<0，对xR恒成立，当m0时，0·x20·x1<0对xR恒成立当m0时，由题意，得 m<0.综上，m的取值范围为m0.例3解析(1)由题意，得y1.2×(10.75x)1×(1x)×1 000×(10.6x)(0<x<1)，整理得y60x220x200(0<x<1)(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式组，得0<x<，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.活学活用3.解析：设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)×800×600，整理得x2700x600×1000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去例4解析设方程x22mxm120的两根为x1，x2.由题意知即，解得.所以<m4.活学活用4解析：因为关于x的方程2kx22x3k20有两不同实根，所以2k0.又因为一个小于1，一个大于1，所以设f(x)2kx22x3k2，则有当k>0时，f(1)<0，即2k23k2<0，整理后得k>4，所以k>0.当k<0时，f(1)>0，即2k23k2>0，整理后得k<4，所以k<4.综上可得当k<4或k>0时，方程2kx22x3k20的两根，一个根小于1，一个根大于1.达标检测1解析：Ax|x2x60x|(x3)(x2)0x|2x3，Bx|xa>0x|x>a，因为AB，所以a3.故选B.答案：B2解析：m0时，mx2mx11满足题目要求，m0时，mx2mx1>0恒成立，需解得0<m<4，0m<4.答案：C3解析：由x2ax10对一切x恒成立，所以ax1x2，所以ax.又x，所以a.即a的最小值为.答案：C4解析：依题意有：0<a32.学科网（北京）股份有限公司