暑假初一升初二数学教材.docx

暑期七升八衔接班讲义目 录第一讲 与三角形有关线段 3第二讲 与三角形有关角 8第三讲 全等三角形及其判定SSS 11第四讲 全等三角形判定SAS, AAS, ASA 17第五讲 直角三角形全等判定HL及三角形全等判定综合练习 23第六讲 角平分线性质 27第七讲 单元测试第八讲 轴对称 33第九讲 画轴对称图形 39第十讲 等腰三角形 44第十一讲 等边三角形 48第十二讲 本章复习 52第十三讲 同底数幂乘法和幂乘方 54第十四讲 积乘方和整式乘法 58第十五讲 结业考试第一讲 与三角形有关线段知识点1、三角形概念þ 不在一条直线上三条线段首尾顺次相接组成图形叫做三角形。组成三角形线段叫做三角形边，相邻两边所组成角叫做三角形内角，简称角，相邻两边公共端点是三角形顶点。abcþ 三角形表示方法三角形用符号“表示，顶点是A,B,C三角形，记作“ABC三角形ABC用符号表示为ABC。三角形ABC顶点C所对边AB可用c 表示,顶点B所对边AC可用b表示,顶点A所对边BC可用a表示.知识点2、三角形三边关系【探究】任意画一个ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形边爬到C,它有几种路线可以选择各条路线长一样吗为什么？þ 三角形两边之和大于第三边，可用字母表示为a+bc，b+ca，a+cb拓展：a+bc，根据不等式性质得c-ba，即两边之差小于第三边。即a-bca+b 三角形任意一边小于另二边和，大于另二边差【练习1】一个三角形两边长分别为3cm和7cm，那么此三角形第三边长可能是A3cmB4cmC7cmD11cm【练习2】有以下长度三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a、b、c，a+bc，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西看法吗？为什么？【小结】三角形两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18细绳围成一个等腰三角形。1如果腰长是底边2倍，那么各边长是多少？2能围成有一边长为4等腰三角形吗？为什么？【练习】1a=5,b=4,c=3    2a=7,b=2,c=43a=6,b=6,c=12    4a=5,b=5,c=611cm和5cm，求它周长。8cm，一腰中线把三角形周长分为两局部，其中一局部比另一局部长2cm，求这个三角形腰长。4、三角形三边为3，5，3-4a，那么a范围是。5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边长相等，那么第三边长为。6、等腰三角形周长为14，其中一边长为3，那么腰长为7、一个三角形周长为27cm，三边长比为234，那么最长边比最短边长。8、等腰三角形两边为5cm和12cm，那么周长为。9、：等腰三角形底边长为6cm，那么其腰长范围是_。10、：一个三角形两边分别为4和7，那么第三边上中线范围是_。11、以下条件中能组成三角形是A、5cm, 7cm, 13cmB、3cm, 5cm, 9cmC、6cm, 9cm, 14cmD、5cm, 6cm, 11cm12、等腰三角形周长为16，且边长为整数，那么腰与底边分别为A、5，6 B、6，4C、7，2D、以上三种情况都有可能13、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为A、4，6 B、4，6，8 C、6，8D、6，8，1014、ABC中，a=6x，b=8x，c=28，那么x取值范围是A、2x14B、x2 C、x14D、7x1415、等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边2倍。 求这个三角形周长。16、如图，求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD 知识点3 三角形三条重要线段þ 三角形高(1)定义：从三角形一个顶点向它对边所在直线画垂线，顶点和垂足间线段叫做三角形高简称三角形高(2)高表达方法AD是ABC高ADBC，垂足为D点D在BC上，且BDA=CDA=90度【练习】画出、三个ABC各边高,并说明是哪条边高. AB边上高是线段_ AB边上高是线段_ AB边上高是线段_BC边上高是_ BC边上高是_ BC边上高是_AC边上高是_ AC边上高是_ AC边上高是_辨析 高与垂线有区别吗？_探究 画出图1中三角形ABC三条边上高，看看有什么发现？如果ABC是直角三角形、钝角三角形，上面结论还成立吗？试着画一画【结论】_þ 三角形中线1定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点线段叫做三角形中线。三角形三条中线交点叫做三角形重心。【探究2】如图，AD为三角形ABC中线，ABD和ACD面积相比有何关系？【例2】如图，ABC周长为16厘米，AD是BC边上中线，AD=AB，AD=4厘米，ABD周长是12厘米，求ABC各边长。þ 三角形角平分线1定义：三角形一个角平分线与这个角对边相交，这个角顶点和交点之间线段叫做三角形角平分线。辨析 三角形角平分线与角平分线是一样吗？画出ABC各角角平分线, 并说明是哪角角平分线.探究观察画出三条角平线，你有什么发现？_自我检测如图，AD、AE、CF分别是ABC中线、角平分线和高，那么：(1)BD=_=_； (2)BC=2_=2_；(3)BAE=_=_；(4)BAC=2_=2_；(5)_=_=90知识点4 三角形稳定性三角形三边长一旦确定，三角形形状就唯一确定，这个性质叫做三角形稳定性。四边形那么不具有稳定性。钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形稳定性，伸缩门那么是利用四边形不稳定性。你还能举出一些例子吗？【试一试】1、如图，AD是ABC中线，ABD比ACD周长大6cm，那么AB与AC差为_2、如图，D为ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且ABC面积等于DEC面积2倍，那么BE长为3、假设点P是ABC内一点，试说明AB+ACPB+PC【课后作业】ABC高，可表示为 ，AE是ABC角平分线，可表示为 ，BF是ABC中线，可表示为 .2，AD是ABC角平分线，那么 = = ；E在AC上，且AE=CE,那么BE是ABC ；CF是ABC高，那么 = =900，CF AB.3,AD是ABC中线,AE是ABC角平分线,假设BD=2cm,那么BC= ;假设BAC=600,那么CAE= .ABDEC图34,以AD为高三角形共有 .ABDEF图2ABEDC图4C5.三角形一条高是一条 6.以下说法中，正确是 C.三角形高、中线、角平分线一定是三条不同线段 7.以下图形具有稳定性是 8.如图8，ADBC于D,CEAB于E,AD、CE交于点O,OFCE,那么以下说法中正确是 BCE中BC边上高AOC中AC边上高9.某同学把一块三角形玻璃打碎成如下图7-1-7三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，那么最省事方法是 和去10.BD是ABC中线，AC长为5cm，ABD与BDC周长差为3cm.AB长为3cm，求BC长.11.如图11,在ABC中，ACB=900,CD是AB边上高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,AAAA图11求(1) ABC面积；(2)CD长.AEBDC图1212.如图12，D是ABC中BC边上一点，DEAC交AB于点E,假设EDA=EAD,试说明，AD是ABC角平分线.第二讲 与三角形有关角知识点1、三角形内角和定理：三角形内角和等于1800。【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回忆我们小学做过实验，你是怎样操作？把一个三角形两个角剪下拼在第三个角顶点处，用量角器量出BCD度数，可得到A+B+ACB=1800。想一想，还可以怎样拼？剪下A，按图2拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。 图2把和剪下按图3拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。如果把上面移动角在图上进展转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800方法吗？证明：ABC，求证：A+B+C=1800。【例1】如图，C岛在A岛北偏东30°方向，B岛在A岛北偏东100°方向，C岛在B岛北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛视角ACB是多少度？【讨论】直角三角形两锐角之和是多少度结论: 直角三角形两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt表示，直角三角形ABC可以写成RtABC。由三角形内角和定理可得：有两个角互余三角形是直角三角形。知识点2、三角形外角þ 定义：三角形一边与另一边延长线组成角，叫做三角形外角。自我探究 画出图中三角形ABC外角1、判断图中1是不是ABC外角：_ 2、如图，(1)1、2都是ABC外角吗？_(2)ABC共有多少个外角？_请在图中标出ABC其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画辅助线，你能就此图说明ACD与A、B关系吗？CEAB， A=_，_=2又ACD=_+_ACD=_+_结论1_三角形一个外角等于与它不相邻两个内角和；结论2_三角形一个外角大于任何一个与它不相邻内角(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角和。外角作用：1、外角和与它不相邻两个内角中一个，求另一个2、可证一个角等于另两个角和3、证明两个角不相等关系。课后练习1.填空：求出以下各图中1度数. (2)(1)如图，1=_；(2)如图，1=_；(3)如图，1=_； (3) (1) (4) (6)(4)如图，1=_；(5)如图，1=_；(6)如图，1=_. (5) 2、判断正误： (1)三角形一个外角等于两个内角和. (2)三角形一个外角减去它一个不相邻内角，等于它另一个不相邻内角. ( ) (3)三角形一个外角大于与它不相邻一个内角. ( )第3题图第2题图2. ：如图，1=30°，2=50°，3=45°，那么(1)4=_°；(2)5=_°.3.：如图1=40°，2=3，那么 (1)4=_°；(2)2=_°.第5题图第4题图4.如图，ABCD，B=55°，C=40°，那么 (1)D=_°；(2)1=_°.5. 如图，BAE，CBF，ACD是ABC三个外角，它们和是多少？ 解：因为BAE=_+_， CBF=_+_，ACD=_，所以BAE+CBF+ACD=_+_+_+_ =21+_=2×180°=360°.第6题6.：如图，在ABC中，AD是BC边上高，BAC=80°，C=40°，那么BAD=_°.7.：如图，BD是ABC角平分线, 第7题A=100°，C=30°，那么ADB=_°.8.*如图，AD、BE分别是ABC高和角平分线，BAC=100°，C=30°，那么1=_°.第8题9、如下图，D,E分别AC，AB边上点，DB,EC相交于点F，那么A+B+C+EFB=_10.ABC中，B=A+100，C=B+200，求ABC各内角度数第9题11、如下图，1=2，BAC=70度，求DEF度数。第三讲 全等三角形观察与探案1、观察以下图形，都有什么共同特征？你还能举出其他例子吗？ 1þ 定义：能够完全重合两个图形叫做全等形。2、右图中二个图形是全等形吗？思考二个图形满足什么条件时就能完全重合呢？结论： 3、判断以下说法是否正确：五角星都是全等形； 周长相等长方形是全等形； 面积相等三角形是全等形； 周长相等正方形是全等形； 全等两个图形面积相等 全等两个三角形大小和形状完全一样； 4、拿出纸片，对折以后用剪刀剪出两个三角形，观察发现：这两个三角形_、_一样,能够 ,因此，我们把 两个三角形叫做全等三角形。þ 定义：能够完全重合两个三角形叫做全等三角形“全等用“表示，读作“全等于 ，如图中两个三角形全等，记作：ABCDEF5、按要求填空 ABC中，AB边对角是_，AC边对角是_，B对边是_；_是A对边；AB与BC夹角是_，AC与BC夹角是_，B是_和_夹角。问题：你手中两个三角形是全等，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？发现：两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把 重合到一起或 重合到一起时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。þ 表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应位置上，这样便于确定两个三角形对应关系。思考两个三角形全等，它们对应边有什么关系？对应角呢？发现全等三角形性质：全等三角形对应边_，对应角_þ 用几何语言表示全等三角形性质如图：ABC DEFABDE，ACDF，BCEF全等三角形对应边相等AD，BE，CF全等三角形对应角相等思考图中各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形位置，使它能与另一个三角形完全重合一个图形经过平移、翻折、旋转后，_变化了，但_和_没变，即平移、翻折、旋转前后图形全等。思考通过刚刚操作，你能说说每对三角形对应顶点，对应角，对应边吗？试一试以下图形中，至少有两个三角形是全等，请写出你找到对应边、对应角。þ 根据位置元素来推理 a.有公共边，公共边是对应边；b.有公共角，公共角是对应角；c.有对顶角，对顶角是对应角；d.两个全等三角形最大边是对应边，最小边也是对应边；e.两个全等三角形最大角是对应角，最小角也是对应角；练一练图形记作对应边对应角【例1】如图，ABCAEF，AB=AE，B=E，那么对于以下结论，AC=AFFAB=EABEF=BCEAB=FAC,其中正确个数是 A、 1 B、2 C、3 D、4 【例2】如图, ABD EBC 1、请找出对应边和对应角。2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD长.【例3】如图RTABERTECD，点B、E、C在同一直线上，那么结论：AE=EDAEDEBC=AB+CD,ABDC中成立是 A B C D 【课后习题】 三角形全等判定一边边边þ 思考与探究1、问题：一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图2所示残片，你对图中残片作哪些测量，就可以割取符合规格三角形玻璃？ (1) (2)2、是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？A只给一个条件一组对应边相等或一组对应角相等，画出两个三角形一定全等吗？B给出两个条件画三角形时，有几种可能情况，每种情况下作出三角形一定全等吗？分别按以下条件做一做 三角形一内角为30°，一条边为3cm 三角形两内角分别为30°和50°三角形两条边分别为4cm、6cm发现 给出一个或二个条件时，两个三角形不能保证全等思考 如果给出三个条件时，两个三角形会全等吗？这些条件可以怎样分类？条件分类：三条边相等， ，_,_þ 操作 1、一个三角形三条边长分别为6cm、8cm、10cm你能画出这个三角形吗？把你画三角形剪下与同伴画三角形进展比拟，它们全等吗？ 尺规作图先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使AB=AB，BC=BC，CA=CA把画出ABC剪下来，放在ABC上，它们能完全重合吗？即全等吗 画一个ABC，使AB=AB，AC=AC，BC=BC： 1画线段取BC=BC； 2分别以B、C为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A； 3连接线段AB、AC 上述生活实例和尺规作图结果反映了什么规律？1判定方法：三边对应相等两个三角形全等简写成“边边边或“SSS2判断两个三角形全等推理过程，叫做证明三角形全等【例1】如下图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D支架，求证ABDACD【例2】如图,AC=AD,BC=BD, 求证AB是DAC平分线. 【课后作业】第四讲 全等三角形判定SAS,AAS,ASA知识点1、边角边定理探究 通过前面操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？操作11、画AOB=30度。2、在射线OA上取OD=6厘米3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线OB于E，连结DE和同伴画三角形比拟，两个三角形全等吗？思考在以上操作中，满足了哪些条件呢？操作21、画AOB=30度。2、在射线OA上取OD=6厘米3、在身线OB上取OE=4厘米，连结DE和同伴画三角形比拟，两个三角形现在全等吗？思考在以上操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么条件时，就全等呢？知识点2、“边角边定理þ 两边和它们夹角对应相等两个三角形全等可以简写为“边角边或“SAS【例1】如下图有一池塘，要测池塘两侧A、B距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE长就是A、B距离，为什么？【例2】(1)如图3，ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是ADCB()，二是_；还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？)(2)如图4，ABAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)【例3】:如图,AD是BC上中线 ,且DF=DE求证:BECF【例4】如图 , ：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：BED=CED【课后作业】全等三角形判定二知识点3、“角边角定理ASA回忆 三角形中三个元素，包括哪几种情况？_到目前为止，可以作为判别两三角形全等方法有几种？各是什么？_三角形中两角一边有几种可能？_问题 如下图，某同学把一块三角形玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，那么最省事方法是带哪块去？做一做 三角形两个内角分别是60°和80°，它们夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画三角形剪下，与同伴比拟，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？þ 两角和它们夹边对应相等两个三角形全等可以简写成“角边角或“ASA思考 在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“ASA推出“两角和其中一角对边对应相等两三角形全等呢？【例1】如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你结论吗？证明：þ 两个角和其中一角对边对应相等两个三角形全等可以简写成“角角边或“AAS【例2】如以下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C求证：AD=AEABCDO12【例3】如图，AC，BD相交于O，求证：AB=CD OA=OD【例4】如图：D是ABC边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点F，DE=FE,FCAB,求证：AE=CE 【例5】，如图，求证：AB=DE【课后作业】第五讲 直角三角形全等判定HL及三角形全等判定综合练习问题 如图，舞台背景形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量播放课件1你能帮他想个方法吗？2如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住直角边边长，此时能判定两个三角形全等吗？操作画一个RtABC，使BC=BC,AB=AB;1 画MCN=90°。2 在射线CM上取BC=BC。3 以B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A。连接AB。上图给出了画RtABC方法，你是这样画吗？它反映了什么规律？þ 斜边和一条直角边分别相等两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边或“HL【例1】如图，ACBC，BDAD，AC=BD，求证BC=AD【例2】如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF,求证:BF=DE【例3】如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF求证：BD=DG 【例4】如图，有两个长度一样滑梯，左边滑梯高度AC与右边滑梯水平方向长度DF相等，两个滑梯倾斜角ABC和DFE大小有什么关系？【例5】：如图，等腰直角三角形ABC中，ACB=90°，直线l经过点C，ADl，BEl，垂足分别为D，E求证：ACDCBE【课后作业】第六讲 角平分线性质问题 如图，是一个平分角仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角顶点，AB和AD沿着角两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它道理吗？操作作角平分线方法：AOB求作：AOB平分线作法：1以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N2分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧两弧在AOB内部交于点C3作射线OC，射线OC即为所求探索按以下步骤折纸将AOB对折，再折出一个直角三角形使第一条折痕为斜边，然后展开，观察两次折叠形成三条折痕，你能得出什么结论？证明：OC是AOB平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E求证：PD=PE证明： 几何语言描述在平分线上于，于þ 角平分线性质：角平分线上点到角两边距离相等【例1】：AD是ABC角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：B=C【例2】在ABC中， C=90 ° ，AD为BAC平分线，DEAB，BC7，DE3.求BD长。【例3】如图，在ABC中，C=90° AD是BAC平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EBF【例4】如图，ABC角平分线BM、CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA距离相等【课后作业】角平分线判定思考角平分线上点到角两边距离相等，这里条件是_；结论是_如果将条件和结论互换，那么可以得到命题_，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？þ 角内部到角两边距离相等点在角平分线上。【例1】证明如下：PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE求证：点P在AOB平分线上【例2】如图，BD = CD，BFAC，CEAB求证：D在BAC平分线上【例3】如图，ABC外角CBD和BCE平分线相交于点F，求证：点F在DAE平分线上【例4】如图，在ABC中，D是BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC角平分线。【课后作业】1、如图，OC是AOB平分线， PD=PEDCBEA2.如图,在ABC中，ACBC，AD为BAC平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE长。1题 (2题)3.在RtABC中，BD平分ABC， DEAB于E，那么：图中相等线段有哪些？相等角呢？哪条线段与DE相等？为什么？假设AB10，BC8，AC6，求BE，AE长和AED周长。4、:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A平分线上.第八讲 轴对称知识点1、轴对称概念【观察探案】观察下面图片，它们都有些什么共同特征你还可以举出一些例子吗？ þ 概念：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。【试一试】以下各图，你能找出它们对称轴吗？ 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合点是对应点，叫做对称点辨析 轴对称与轴对称图形是同一概念吗？成轴对称两个图形具有怎么关系？_【探究】如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系？ 图中A、A是对称点，AA与MN垂直，BB和CC也与MN垂直 AA、BB和CC与MN除了垂直以外还有什么关系吗？【练习】1.如图，ABC与DEF关于直线a对称，假设AB=2cm，C=55°，那么DE= ，F= 。2. 一辆汽车车牌在水中倒影如下图，你能确定该车车牌号码吗？知识点2、垂直平分线概念：对称轴所在直线经过对称点所连线段中点，并且垂直于这条线段我们把经过线段中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段垂直平分线如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段垂直平分线类似地，轴对称图形对称轴是任何一对对称点所连线段垂直平分线知识点3、重、难点垂直平分线性质探究1如以下图木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，是L上点，分别量一量点P1，P2，P3，到A与B距离，你有什么发现？ 1用平面图将上述问题进展转化，先作出线段AB，