数值分析课后习题部分参考-答案~.doc
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求 的近似值 ，使其相对误差不超过 。2*x%.0解： 。4.1设 有 位有效数字，则 。*xnnxe15.0|)(|*从而， 。15.0|)(|*nre故，若 ，则满足要求。%.n解之得， 。 。4*x（P10）7. 正方形的边长约 ，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超cm10过 1 。2cm解：设边长为 ，则 。a设测量边长时的绝对误差为 ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有e如下估计: 。按测量要求，021|02|e解得， 。215.|eChapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：。012A解：设 。分别求如下线性方程组：， ， 。0A10A先求 的 LU 分解（利用分解的紧凑格式） ，。3)0(21)(即， ， 。L3021U经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，和 ，得， ；01Lyy1和 ，得， ；01LyyU32和 ，得， ； 。10LyyU312所以， 。31201A（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组： 8162513402343x解:平方根法：先求系数矩阵 的 Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式） ，A，即， ，其中， 。1)5(21)5(3)(3402)( 12310LTLA经平方根法的回代程，分别求解方程组和 ，得， 。8162LyyxT1x改进平方根法：先求系数矩阵 的形如 的分解，其中 为单位下三角矩阵，ATLD4)(ijlL为对角矩阵。,4321ddiagD利用计算公式，得；1;1,2,2dlt ;9,2,3331 dl。1,2,16, 4441424 dltt分别求解方程组，和 ，得， 。816LyyxDT1x（P48）12. 已知方程组 的解为 。98.0.21x10,21x（1） 计算系数矩阵的条件数；（2） 取 ，分别计算残量 。TTx)5.,(,)01(*2* )2,(*iAbri本题的计算结果说明了什么？解：（1）设 ，求得， 。98.A 10981A从而， 。3601)(1Cond（2）计算得， ， ； ， 。Tr)01.,(101.r Tr)985.0,.(298.12r这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。Chapter 3（P72）3. 用 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代求解方程组1231xx取初值 ，迭代 4 次，并比较它们的计算结果。Tx)0,()0解：由方程组得， 121332xx从而，Jacobi 迭代格式为：，12)()(1)1(332)()()( kkkkkkxx .,0Gauss-Seidel 迭代格式为：，12)()1()1(332)()()( kkkkkkxx .,20整理得，123)()1(3)(2)()( kkkkkx.,20Jacobi 迭代： TTTTT xxxx )1,3()1,3(),(),()0,( )4)3)2)1)0 Gauss-Seidel 迭代： TTTTTx )5,()7,5(),1(),0(),( )4)3)2)1)0 Jacobi 迭代中 已经是方程组的精确解，而从 Gauss-Seidel 迭代的计算结果，可以预见它)3(x是发散的。（P73）9.设有方程组312124bxa（1） 分别写出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的计算公式，（2） 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的 的取值范围。a解: 由方程组得， 3132214bax从而，Jacobi 迭代格式为：， 3)(1)1(3221)()()(4baxxkkkkk .,20迭代矩阵为： 04aB设 ，求得， ，故 。0|I |5|,5,321 aa |5)(aB另由 Jacobi 迭代格式，得 Gauss-Seidel 迭代格式为： ，31)(32)(2)1(3 22)()()( 44baxaxkkk kkk .,10k迭代矩阵为： 20G设 ， 求得， ，故 。|I23215,0,a25)(aG另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得， 。由迭代收敛的充要条件得，Jacobi 迭代收敛 ；Gauss-Seidel 迭代收敛 。5|a 5|a故，使得两种迭代法都收敛的 的取值范围是相同的： 。|（P74）12.证明对称矩阵 当 时为正定矩阵，且只有当 时，1aA221|aJacobi 迭代解 才收敛。bx解: 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立：A，01,01, aa解之得， 。此时解方程组的 Gauss-Seidel 迭代收敛。12a另外，可得解方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为 0aB解得， 。由收敛的充要条件，Jacobi 迭代收敛当且仅当 。|2)(aB 21|aChapter 5（P140）7.设 为 个互异节点， 为这组节点上的 次nx,10 1),10)(njxljnLagrange 插值基函数，试证：（1） ；nj kjkl0,)(（2） 。njjkj nxl0 ,10,)(证：（1）对于固定的 ，设 ，则 为次数不超过 的,1knjjkxlP0)()()(Pn多项式，且， kiix)(n,1而对于多项式函数 当然也满足如上的等式条件以及次数 ，由 Lagrange 插值问题的适kx 定性， 。P)(（2）对于固定的 ，,21nk njjiki ikiijnj jkikijj xlxCxCxllx 0000 )()1()1()()(，证完。0)()1(0 kiki kii xxC
